2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.8函数y＝Asinωx＋φ的图像与性质学案含解析北师大版必修4

PAGE§8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质学问点一“五点法”作图[填一填]1．“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的简图，先分别令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最终向左、右分别扩展，即可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．[答一答]1．在用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π的是x吗？提示：不是．是ωx＋φ这个整体．学问点二A、ω、φ的意义及对图像的影响[填一填]2．A、ω、φ的意义函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)，在这里常数A叫振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫周期，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)叫频率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω>0，A>0)的最大值为A，最小值为－A，周期为eq\f(2π,ω).3．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响(ω>0且ω≠1)(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响(A>0)[答一答]2．由函数y＝sinx的图像经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像？提示：明确相位变换和周期变换的依次，也要借助阅历的积累．将y＝sinx的图像变换成y＝sin(ωx＋φ)的图像一般有两个途径．途径一：先相位变换，再周期变换．先将y＝sinx的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图像．途径二：先周期变换，再相位变换．先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\f(|φ|,ω)个单位长度，得到y＝sin(ωx＋φ)的图像．学问点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质[填一填]4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质[答一答]3．函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,ω)，对吗？提示：不对．当ω>0时，最小正周期为eq\f(2π,ω)，否则，最小正周期为eq\f(2π,|ω|).1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义的四点说明(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．(2)T：T＝eq\f(2π,ω)，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间，称为周期．(3)f：f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．2．精确理解“变换法”作图的两种主要途径(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移类型一五点法作图【例1】用五点法画出函数y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的图像，并指出函数的单调区间．【思路探究】五点法作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π，然后求出相应的x，y值，作出图像．【解】①列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy020－20列表时，2x＋eq\f(π,3)的取值分别为0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，再求出相应的x值和y值．②描点．③用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))，x∈R的简图(图略)．可见在一个周期内，函数在[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为[kπ＋eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(7π,12)](k∈Z)．同理，递增区间为[kπ－eq\f(5,12)π，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．规律方法(1)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴的交点．(2)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的步骤是：第一步：列表：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy0A0－A0其次步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像(图略)．用五点法作出函数y＝2sin(x－eq\f(π,3))＋3的图像，并指出它的最小正周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．解：(1)列表：xeq\f(π,3)eq\f(5,6)πeq\f(4,3)πeq\f(11,6)πeq\f(7,3)πx－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy35313(2)描点．(3)作图如图所示：将函数在一个周期内的图像向左、向右两边扩展即得y＝2sin(x－eq\f(π,3))＋3的图像(图略)．周期T＝2π，频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2π)，相位x－eq\f(π,3)，初相－eq\f(π,3)，最大值5，最小值1，函数的减区间为[2kπ＋eq\f(5,6)π，2kπ＋eq\f(11,6)π](k∈Z)，增区间为[2kπ－eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5,6)π](k∈Z)．类型二利用图像变换作函数图像【例2】如何由y＝sinx得到函数y＝3sin(2x－eq\f(π,3))的图像？【思路探究】可以按变换依次φ—ω—A进行图像变换，也可以按变换依次ω—φ—A进行图像变换．【解】解法一：解法二：规律方法本题用了由函数y＝sinx(x∈R)的图像变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图像的两种方法，第一种方法是先进行相位变换；其次种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，我们要留意下一步的变换平移的长度．(1)要得到y＝3sin(2x＋eq\f(π,4))的图像，只需将y＝3sin2x的图像(C)A．向左平移eq\f(π,4)个单位长度B．向右平移eq\f(π,4)个单位长度C．向左平移eq\f(π,8)个单位长度D．向右平移eq\f(π,8)个单位长度(2)把函数y＝sinx的图像上全部点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移eq\f(π,4)个单位长度，则所得图像的解析式为(C)A．y＝sin(2x－eq\f(π,4)) B．y＝－sin2xC．y＝cos2x D．y＝sin(2x＋eq\f(π,4))解析：(1)y＝3sin2x的图像y＝3sin2(x＋eq\f(π,8))的图像，即y＝3sin(2x＋eq\f(π,4))的图像．类型三y＝Asin(ωx＋φ)型三角函数的性质【例3】求下列各函数的周期：(1)f(x)＝sin2x；(2)f(x)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))．【思路探究】该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理．【解】(1)假如令X＝2x，则sin2x＝sinX是周期函数，且周期为2π.∴sin(2x＋2π)＝sin2x，即sin[2(x＋π)]＝sin2x.∴f(x)＝sin2x的周期是π.(2)∵2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6)＋2π)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))，即2sin[eq\f(1,2)(x＋4π)－eq\f(π,6)]＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))，∴f(x)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))的周期是4π.规律方法由上面的例题我们看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝eq\f(2π,ω).完成下列填空：(1)函数y＝2sin(eq\f(π,3)－eq\f(π,2)x)的最小正周期为4；(2)函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的最小正周期为eq\f(2π,3)，则ω＝3；(3)函数y＝4sin(3x＋eq\f(π,4))＋3sin(3x－eq\f(π,4))的最小正周期为eq\f(2,3)π.解析：依据y＝Asin(ωx＋φ)最小正周期为T＝eq\f(2π,|ω|).(1)T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4，∴应填4.(2)∵eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)，∴ω＝3，∴应填3.(3)∵4sin(3x＋eq\f(π,4))与3sin(3x－eq\f(π,4))的最小正周期都为eq\f(2π,3)，∴应填eq\f(2π,3).【例4】(1)求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＋1的单调递减区间；(2)求函数y＝eq\r(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))的单调递增区间．【思路探究】可把3x＋eq\f(π,4)与2x－eq\f(π,4)分别看成一个整体，利用函数y＝sinx和y＝cosx的单调区间求解，同时留意函数的定义域．【解】(1)∵函数y＝sinx的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，∴2kπ＋eq\f(π,2)≤3x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，∴eq\f(2,3)kπ＋eq\f(π,12)≤x≤eq\f(2,3)kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)．故该函数的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,3)＋\f(π,12)，\f(2kπ,3)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．(2)由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))≥0，得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当2kπ－π≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)时，函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))单调递增，∴2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)．故该函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．规律方法求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法解答．解题时应留意如下几个方面：(1)把“ωx＋φ”作为一个整体；(2)假如ω<0，那么把x的系数化为正的；(3)A的正负影响函数的单调性．求函数y＝sin(－2x)的单调区间．解：y＝sin(－2x)＝－sin2x.当2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z时，原函数是减函数；当2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，即kπ＋eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z时，原函数是增函数．所以，函数y＝sin(－2x)的单调递增区间是[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3,4)π]，k∈Z，单调递减区间是[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,4)]，k∈Z.类型四依据图像确定函数解析式【例5】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．【思路探究】解决此类问题的关键在于确定参数A、ω、φ.其基本方法是在视察图像的基础上，利用待定系数法求解．【解】(方法一：逐肯定参法)由题图可知函数的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).∵A>0，∴A＝eq\r(3).由题图易知eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2.又∵eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(5π,6)))＝eq\f(7π,12)，∴图像上的最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，\r(3)))，∴eq\r(3)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(7π,12)＋φ))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋φ))＝1，可取φ＝－eq\f(2π,3)，∴该函数的一个解析式为y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)(方法二：待定系数法)由题图可知A＝eq\r(3)，又图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，依据五点法作图原理(以上两点可推断为“五点法作图”中的第一点与第三点)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝0，,\f(5π,6)·ω＋φ＝π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝－\f(2π,3).))∴该函数的一个解析式为y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)(方法三：图像变换法)∵A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2，∴图像应由y＝eq\r(3)sin2x的图像向右平移eq\f(π,3)个单位长度得到，∴该函数的一个解析式为y＝eq\r(3)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)规律方法对于方法二，将若干个特别点的坐标代入函数式，可以求得相关的待定系数A，ω，φ.这里须要留意的是，要认清所选择的点是“五点法作图”中的哪一个位置的点，并能将其坐标正确代入函数解析式得出等式．依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)的横坐标满意ωx＋φ＝0；“其次点”[即图像的“峰点”(最高点)]的横坐标满意ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)的横坐标满意ωx＋φ＝π；“第四点”[即图像的“谷点”(最低点)]的横坐标满意ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图像又上升时与x轴的交点)的横坐标满意ωx＋φ＝2π.当然所取的特别点可以是五个关键点，也可以是图像上的其他点．对于方法三，运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asinωx，依据图像平移规律确定相关的参数．A，ω的值是唯一确定的，初相φ的值却不唯一，但一般取最小正值或取肯定值较小的值．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图像如图，则点(ω，φ)的坐标是(4，eq\f(2π,3))．解析：由题图可知A＝2，T＝eq\f(2π,ω)＝2×(eq\f(5π,24)＋eq\f(π,24))＝eq\f(π,2)，∴ω＝4.又由题图可知当x＝－eq\f(π,24)时，f(x)＝2，∴4×(－eq\f(π,24))＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(2π,3)，因此点(ω，φ)的坐标是(4，eq\f(2π,3))．——规范解答——函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的求法【例6】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A<0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线x＝eq\f(π,6)是其图像的一条对称轴，则函数的解析式可能是()A．y＝4sin(2x＋eq\f(π,6))B．y＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))＋2C．y＝－2sin(x＋eq\f(π,3))＋2D．y＝2sin(2x＋eq\f(π,2))＋2【审题】先由最大值为4，最小值为0求得A，m，再依据最小正周期为π求得ω，最终由对称轴为x＝eq\f(π,6)求得φ应满意的条件．【解题】由题意，得|A|＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(4－0,2)＝2，∵A<0，∴A＝－2，m＝eq\f(ymax＋ymin,2)＝eq\f(4＋0,2)＝2.又ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，∴y＝－2sin(2x＋φ)＋2.由图像的对称轴方程，知2x＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∵直线x＝eq\f(π,6)是其中一条对称轴，代入得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴φ可取eq\f(π,6).故符合条件的解析式是y＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))＋2.【答案】B【小结】由函数性质或图像确定解析式的方法由性质或图像确定三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A，ω≠0)的解析式，在视察图像的基础上可按以下方法来确定A，ω，φ，b.(1)A：可由函数的最大值、最小值来确定，A＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因为T＝eq\f(2π,|ω|)，所以往往通过求周期T来确定ω的值，而周期T可以由函数的图像来确定．(3)φ：可由最高点来确定，也可由图像变换、单调性来确定，还可由“五点法”中的第一个点(－eq\f(φ,ω)，k)(也叫初始点)作为突破口，但要依据图像的升降状况找准第一个点的位置．(4)b：可由函数的最大值、最小值来确定，b＝eq\f(fxmax＋fxmin,2).某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并干脆写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图像上全部点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像．若y＝g(x)图像的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．解：(1)依据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).数据补全如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)eq\f(13,12)πAsin(ωx＋φ)050－50函数f(x)的解析式为f(x)＝5sin(2x－eq\f(π,6))．(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq\f(π,6))，故g(x)＝5sin(2x＋2θ－eq\f(π,6))．因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ，k∈Z.又函数y＝g(x)的图像关于点(eq\f(5π,12)，0)中心对称，因此可以令eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ＝eq\f(5π,12)，解得θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z.又θ＞0，所以当k＝1时，θ取最小值eq\f(π,6).一、选择题1．函数y＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))在一个周期内的三个“零点”横坐标是(B)A．－eq\f(π,3)，eq\f(5π,3)，eq\f(11π,3) B．－eq\f(2π,3)，eq\f(4π,3)，eq\f(10π,3)C．－eq\f(π,6)，eq\f(11π,6)，eq\f(23π,6) D．－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)，eq\f(5π,3)解析：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq\f(2,3)π，k∈Z，此时y＝0.2．函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))图像的对称轴方程可能是(D)A．x＝－eq\f(π,6