2024-2025学年高中数学第一章统计1.5.1估计总体的分布学案含解析北师大版必修3

PAGE§5用样本估计总体5．1估计总体的分布学问点一频率分布直方图[填一填]1．极差的概念极差是一组数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据的差值，极差又叫全距．2．频数、频率的概念将一批数据按要求分为若干组，对落在各个小组内数据的个数进行累计，这个累计数叫作各个小组的频数，各个小组的频数除以样本容量，即得该小组的频率．3．频率分布直方图在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值，各小长方形的面积等于落在各小组内的频率，全部长方形面积之和等于1.[答一答]1．将数据的样本进行分组的目的是什么？提示：从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中干脆看出样本所包含的信息．假如把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清晰地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布状况．用样本估计总体，是探讨统计问题的一种基本思想方法，而对于总体的分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计．学问点二频率分布折线图[填一填](1)在频率分布直方图中，依据分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点起先，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就得到一条折线，我们称之为频率折线图．(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．[答一答]2．绘制频率分布折线图的作用是什么？提示：频率分布折线图也是用一个单位长度表示肯定的数量．但是，它是依据数量的多少在图中描出各个点，然后把各点用线段顺次连接成的折线．因此，它不但可以表示出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清晰而直观地表示出数量增减的变更状况．几种表示频率分布的方法的优缺点1．频率分布表反映详细数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太便利．2．频率分布直方图能够特别直观地表明数据分布的形态，一般是中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构．但是从直方图本身得不到详细的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原始数据不能在图中表示出来．3．频率分布折线图的优点是它能够反映数据的变更趋势．假如样本容量不断增加，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋近于总体分布的密度曲线．4．列频率分布直方图的步骤：(1)计算数据中最大值和最小值的差．知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大；(2)确定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离；(3)确定分点；(4)列频率分布表；(5)绘制频率分布直方图．5．列频率分布直方图的留意事项：(1)组距的选择应力求“取整”，假如极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．(2)分点数的确定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．类型一频率分布表和频率分布直方图【例1】从某中学高三年级随机抽取100名男生的身高如下：(单位：cm)依据上面的数据列出频率分布表，画出频率分布直方图，估计这所学校高三年级男生身高在(165,175]cm之间的比例．【思路探究】可以先制作频率分布表，然后制作频率分布直方图，最终由图形分析．【解】频率分布表如下所示：频率分布直方图如下图所示．估计这所学校高三年级男生身高在(165,175]cm之间的比例为(0.14＋0.33)×100%＝47%.规律方法频率分布直方图的绘制方法与步骤：第一步：先制作频率分布表，然后作直角坐标系．其次步：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，标明界点．第三步：在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的eq\f(频率,组距).每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．留意：因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．给出如下样本数据：10,8,6,10,8,11,13,11,10,12,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12，并分组如下：(1)完成上面的频率分布表；(2)依据上表，在平面直角坐标系中作出频率分布直方图．解：(2)频率分布直方图如图：类型二频率分布直方图的应用【例2】为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为24171593，其次小组频数为12.(1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？【思路探究】小长方形的面积就是频率的大小，故小长方形的面积之比即为频率之比，即可求出其次小组的频率，而样本容量等于频数除以频率．【解】(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，因此其次小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为其次小组频率＝eq\f(其次小组频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(其次小组频数,其次小组频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由图可估计该校高一学生的达标率约为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.规律方法频率分布直方图中的性质(1)图中每个小矩形的面积表示相应各组的频率，即小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积的总和等于1.(3)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．(4)频率分布直方图中，各小矩形的面积之比等于频率之比，各小矩形的高度之比也等于频率之比．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．依据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为(B)A．18B．36C．54D．72解析：样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.类型三频率分布折线图【例3】为了解某片经济林的生长状况，随机测量其中100株树木的底部周长得到如下数据(单位：cm)：(1)编制频率分布表；(2)绘制频率分布直方图、折线图；(3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木所占的比例和底部周长不小于120cm的树木所占的比例．【思路探究】频率分布表中的数字和频率分布直方图的形态都与组数(或组距)有关，频率分布直方图还与坐标系的单位长度有关．它们都由样本确定，因而它们会随着样本的变更而变更，样本容量越大，抽样方法越科学，样本的频率分布就越接近总体的频率分布．【解】(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，极差为55.可将其分为11组，组距为5，第1组从[80,85)起先，将各组的频数、频率和eq\f(频率,组距)填入表中.(2)这组数据的频率分布直方图、频率折线图如图．(3)从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占21%，周长不小于120cm的树木约占19%.规律方法频率分布表从数值上直观地反映了各组的频率，频率分布直方图则更形象地反映了各组数据的频率与样本分布趋势，所以往往将两者综合来考查样本．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率．解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：(3)样本数据不足0的频率为：0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.类型四综合应用【例4】某中学部分学生参与全国初中数学竞赛，取得了优异成果，指导老师统计了全部参赛同学的成果(成果都为整数，试题满分为120分)，并且绘制了“频率分布直方图”，如下图所示，请回答：(1)该中学参与本次数学竞赛的有多少人？(2)假如90分以上(含90分)获奖，那么获奖率是多少？(3)这次竞赛成果的中位数落在哪个分数段内？(4)上图还供应了其他信息，再写出两条．【解】(1)参与本次数学竞赛的人数有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．(2)90分以上(含90分)有7＋5＋2＝14(人)，因此获奖率为eq\f(14,32)×100%＝43.75%.(3)这次竞赛成果的中位数落在80～90分的分数段内．(4)参赛同学的成果均不低于60分，在80～90分的分数段的学生人数最多．规律方法留意本题中竖轴表示人数，求成果的中位数应把成果由低到高排列，取处于中间位置的成果．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解高二年级500名学生的视力状况，从中抽查了一部分学生的视力状况，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图.请你依据给出的图表回答：(1)填写频率分布表中未完成部分的数据；(2)在这个问题中，总体是500.样本容量是50；(3)在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是多少？(4)请问：用样本估计总体，可以得到哪些信息(写一条即可)?解：(3)梯形ABCD的面积为第3组与第4组对应小矩形的面积．也即是第3、4组的频率之和0.3＋0.5＝0.8.(4)本题有多个结论，只要是依据频率分布表或频率分布直方图得到的有关信息，并且用样本估计总体所反映的结论都是合理的即可．例如：该校高二年级学生视力在[4.55,4.85)内的人数最多，约250人；该校高二年级学生的视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右等．——易错警示——频率分布直方图中忽视纵轴的意义致误【例5】中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5712106，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________．【易错点分析】虚线处对频率分布直方图理解不正确，将纵轴上的0.5误认为是第五小组的频率，从而导致答案不正确．【防范措施】1.留意对图形的视察图表试题解题三个步骤：一观、二识、三解，做到观图要细、识图要全、解图要准．如本例中，要从频率分布直方图中看出小组距，求出第五组的频率．2．重视对性质的理解和应用在频率分布直方图中，小长方形的高＝eq\f(频率,组距)，小长方形的面积＝eq\f(频率,组距)×组距＝频率．如本例中，0.5×0.3＝0.15才是第五个小组的频率．【解析】由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×eq\f(5,6)＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60000×0.125＝7500(人)．【答案】7500人某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d(单位：km)．由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4km的人数为48.解：不超过4km的频率为(0.1＋0.14)×2＝0.48，故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4km的人数有0.48×100＝48(人)．一、选择题1．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为(B)A．640B．320C．240D．160解析：0.125＝eq\f(40,n)，故n＝320.2．下列叙述中正确的是(C)A．从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B．频数是指落在各个小组内的数据C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D．组数是样本平均数除以组距解析：A中表示样本数据对于平均数波动大小的为方差与标准差；B中频数为落在各小组内数据的个数；D中组数是极差除以组距．二、填空题3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.解析：本