2025年外研版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷677考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[－2，2]C．D．2、抛掷两枚骰子；所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为（）

A.

B.

C.

D.

3、已知P是正方形EFGH所在平面外一点；且PE⊥面EFGH，则面PEF（）

A.与面PFG；面PEH都垂直。

B.与面PFG；面PEH都相交；但不垂直。

C.与面PFG垂直；与面PEH相交但不垂直。

D.与面PEH垂直；与面PFG相交但不垂直。

4、【题文】从装有3个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到全是全是同色球的概率是（）A.B.C.D.5、【题文】已知则的大小关系是A.B.C.D.6、下列在曲线(为参数)上的点是（）A.B.C.D.7、设随机变量娄脦

的概率分布列为P(娄脦=k)=c2kk=12346

其中c

为常数，则P(娄脦鈮�2)

的值为(

)

A.34

B.1621

C.6364

D.6463

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知等差数列的前项和为若则9、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有____种．10、已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图1所示，则时速在的汽车大约有____辆.11、【题文】求值：___________.12、【题文】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.

则的表达式为____.13、【题文】（3分）（2011•重庆）已知单位向量的夹角为60°，则|2﹣|=____．14、【题文】已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝(a＋1)n2＋a,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为___▲15、正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程为═0.72x-58.2，张红同学（20岁）身高为178cm，她的体重应该在______kg左右．16、已知正实数mn

满足m+n=3

则mn

的最大值为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共18分)23、某市为研究市区居民的月收入调查了10000人；并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）求月收入在[3000；3500）内的被调查人数；

（Ⅱ）估计被调查者月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

24、【题文】已知某山区小学有100名四年级学生；将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.

（1）若抽出的一个号码为22；则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；

（2）分别统计这10名学生的数学成绩；获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；

（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．25、已知命题p：x2-5x-6≤0，命题q：x2-2x+1-4a2≤0（a≥0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．评卷人得分五、综合题(共3题，共9分)26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．28、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【解析】【答案】C2、B【分析】

可用列表法表示出同时抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，发现共有36种可能。（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）由于没有顺序；因此发现，在这36种结果中，一个恰是另一个的两倍的情况出现了22次．

∴一个点数能被另一个点数整除的概率是．

故答案为B．

【解析】【答案】列举出所有情况；看朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的情况数占总情况的多少即可．

3、A【分析】

对于A；∵PE⊥面EFGH，EH⊂面EFGH，∴PE⊥EH；

∵EFGH是正方形；∴EH⊥EF；

又∵PE∩EF=E；∴EH⊥面PEF；

∵EH⊂面PEH；

∴面PEH⊥面PEF；

同理面PEF⊥面PFG；故A正确，B，C，D不正确；

故选A．

【解析】【答案】先证明线面垂直；再证明面面垂直，即可得到结论．

4、D【分析】【解析】解：由题意知本题是一个古典概型；试验发生包含的事件是任取两球的取法有10种；

满足条件的事件是取到同色球的取法有两类共有3+1=4种；根据古典概型概率公式得到P="2/"5．

故选D．【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】P=2-3/2=（1/2）3/2=（根号2/2）3=0.7073，选B。【解析】【答案】B6、B【分析】【解答】曲线化普通方程代入点的坐标验证可知点成立。

【分析】参数方程化为普通方程主要是消去参数，常用代入法加减法消参，本题借助了三角函数公式7、B【分析】解：隆脽P(娄脦=k)=c2kk=12346

隆脿c隆脕(12+14+18+116+132+164)=1

解得c=6463

隆脿P(娄脦鈮�2)=P(娄脦=1)+P(娄脦=2)

=6463(12+14)

=1621

．

故选B．

由P(娄脦=k)=c2kk=12346

知c隆脕(12+14+18+116+132+164)=1

解得c=6463

由此能求出P(娄脦鈮�2)=P(娄脦=1)+P(娄脦=2)

的值．

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是基础题.

解题时要认真审题，仔细解答．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】试题分析：由得2（）=7.考点：等差数列的性质【解析】【答案】79、略

【分析】

分两类，第一类，甲组选1名男同学，1名女同学，乙组选2名男同学，有C51C31C62=225

第二类，甲组选2名男同学，乙组选1名男同学，1名女同学，有C52C61C21=120

∴共有225+120=345种．

故答案为：345．

【解析】【答案】因为选出的4人中恰有1名女同学；这一女同学可能是从甲组中选，也可能是从乙组中选，所以可按分类计数原理，按女学生从那一组中选分成两类，把每一类方法数求出，再相加即可．

10、略

【分析】【解析】试题分析：由已知中的频率分布直方图为200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，我们可得到样本容量，再由图中分析出时速在[50，60]的频率，即可得到该组数据的频数，进而得到答案。即为由已知可得样本容量为200，又∵数据落在区间的频率为（0.03+0.04）×10=0.7∴时速在[50，60]的汽车大约有200×0.7=140，故答案为140。考点：本试题主要考查了频率分布直方图的运用。【解析】【答案】14011、略

【分析】【解析】

试题分析：

考点：三角恒等变形.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】解：根据前面四个发现规律：f（2）-f（1）=4×1，f（3）-f（2）=4×2，f（4）-f（3）=4×3，f（n）-f（n-1）=4（n-1）这n-1个式子相加可得：f（n）=2n2-2n+1．

故答案为：f（n）=2n2-2n+1【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：利用向量模的平方等于向量的平方；将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．

解：=

=

=5﹣4cos60°

=3

∴

故答案为

点评：本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】120°15、略

【分析】解：由题意；y=0.72×178-58.2=69.96（kg）．

故答案为：69.96

x=178代入体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程；可得体重估计．

本题考查回归方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】69.9616、略

【分析】解：mn鈮�(m+n)24=94m=n=32

时取等号；

隆脿mn

的最大值是94

故答案为：94

．

已知m+n

的值；利用基本不等式求得mn

的最大值．

本题主要考查了基本不等式的应用.

注意“一正、二定、三相等”条件的满足．【解析】94

三、作图题(共6题，共12分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共18分)23、略

【分析】

（I）10000×0.0003×500=1500（人）

∴月收入在[3000；3500）内的被调查人数1500人。

（II）=2400

∴估计被调查者月收入的平均数为2400

【解析】【答案】（I）在频率分步直方图中小长方形的面积为频率；用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，可得月收入在[3000，3500）内的被调查人数．

（II）利用区间中值乘以该组的频率；然后相加即可求出估计被调查者月收入的平均数．

24、略

【分析】【解析】

试题分析：

(1)根据系统抽样的方式,可以得到100名学生要分10组,每组10人,每组抽取一人,第三组编号为20-29,故22号为第三组学生,因为间隔为10,所以22依次加或者减10即可得到各组被抽到学生的编号.

(2)首先根据茎叶图可得还原这10名学生的成绩,然后求的平均数,10名学生的成绩分别减去平均数的平方和再除以10即为方差.

(3)根据茎叶图可得成绩不低于73分的学生有5名,首先列出五选二的所有的基本事件共有10种,即为（73；76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）,而成绩之差不小于154分的有7种,再根据古典概型的概率计算公式即可求的相应的概率.

试题解析：

（1）由题意；得抽出号码为22的组数为3.（2分）

因为2＋10×(3－1)＝22；所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.（4分）

（2）这10名学生的平均成绩为：

×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71；（6分）

故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）

（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生；共有如下10种不同的取法：

（73；76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（10分）

其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73；81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（12分）

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：（13分）

考点：古典概型茎叶图方差系统抽样【解析】【答案】(1)第3组02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.(2)(3)25、略

【分析】

根据所给的两个命题对应的不等式；写出变量对应的范围，进而写出非命题对应的范围，根据￢p是￢q的必要不充分条件，得到两个范围对应的集合之间的关系，得到结果．

本题考查必要不充分条件问题，本题解题的关键是把条件问题转化成集合间的关系，根据集合之间的关系得到字母系数的取值．【解析】解：∵x2-5x-6≤0

∴-1≤x≤6；

∴非P：A={x|x＜-1或x＞6}

∵x2-2x+1-4a2≤0（a≥0）；

∴q：1-2a≤x≤1+2

∴非q：B=（x|x＜1-2a或x＞1+2a

∵￢p是￢q的必要不充分条件。

∴B是A的真子集。

∴1+2a≥6；1-2a≤-1，a＞0

∴a

即当a时，￢p是￢q的必要不充分条件五、综合题(共3题，共9分)26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在