2025年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷583考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知双曲线的离心率为则=（）A.B.C.D.2、将正方形ABCD沿对角线AC折起；当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（）

A.

B.

C.

D.

3、如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离；则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

①若p=q=0；则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；

②若pq=0；且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；

③若pq≠0；则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

上述命题中；正确命题的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

4、下列命题中，a，b，c为三直线，α，β，γ为三平面，①若a∥α，a∥β，则β∥α；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；③若c⊥α，c⊥β，则α∥β；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b．其中正确的个数有（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5、【题文】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A.－6B.－4C.－2D.26、【题文】直线L过点且与双曲线有且仅有一个公共点；则这样的直。

线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条7、一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A.8B.15C.16D.308、若椭圆y2100+x236=1

上一点P

到焦点F1

的距离等于6

点P

到另一个焦点F2

的距离是(

)

A.20

B.14

C.4

D.24

9、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关；对该班50

名学生进行了问卷调查，得到如图的2隆脕2

列联表．

。喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有(

)

的把握认为喜爱打篮球与性别有关．

附参考公式：K2=n(ad鈭�bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

。P(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.78910.828A.95%

B.99%

C.99.5%

D.99.9%

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、已知函数f（x）是定义在（-3，3）上的偶函数，当x＞0且x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式xf（x）＜0的解集是____．

11、已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），则|PA|+|PF|取最小值时P点的坐标为____．12、有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有____种不同的方法（用数字作答）.13、【题文】抛物线C：被直线l：截得的弦长为____14、【题文】的三内角成等差数列，且则=____.评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共1题，共6分)22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．评卷人得分五、综合题(共2题，共6分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：根据双曲线的公式，由离心率为所以由：解得：所以答案为A.考点：1.双曲线的离心率；2.解方程.【解析】【答案】A2、D【分析】

设O是正方形对角线AC、BD的交点，将正方形ABCD沿对角线AC折起，

可得当BO⊥平面ADC时；点B到平面ACD的距离等于BO；

而当BO与平面ADC不垂直时；点B到平面ACD的距离为d，且d＜BO

由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时；BO⊥平面ADC．

设B'是B折叠前的位置；连接B'B；

∵AD∥B'C；∴∠BCB'就是直线AD与BC所成角。

设正方形ABCD的边长为a

∵BO⊥平面ADC；OB'⊂平面ACD

∴BO⊥OB'；

∵BO'=BO=AC=a；

∴BB'=BC=B'C=a；得△BB'C是等边三角形，∠BCB'=60°

所以直线AD与BC所成角为

故选D

【解析】【答案】将正方形ABCD沿对角线AC折起；可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B'是B折叠前的位置，连接B'B，可得。

∠BCB'就是直线AD与BC所成角；算出△BB'C的各边长，得△BB'C是等边三角形，从而得出直线AD与BC所成角的大小．

3、C【分析】

①正确；此点为点O；

②不正确；注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有4个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；

③正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点；

故选C．

【解析】【答案】题目中点到直线的距离；分别为p；q，由于p、q的范围是常数p≥0，q≥0，所以对p、q进行分类讨论，验证①②③是否成立．

4、B【分析】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中；

①AB是直线a，平面A1C1，CD1分别是平面α；β；

虽然满足a∥α；a∥β，但β∩α；故①错；

②AB是直线a，AD是直线b，平面A1C1是γ，显然满足a∥γ，b∥γ，但a与b相交；故②错；

③④根据根据线面垂直的性质定理可知③④正确；

故选B．

【解析】【答案】在长方体ABCD-A1B1C1D1中；举出反例即可说明①②不正确，根据线面垂直的性质定理可知③④正确．

5、A【分析】【解析】根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.【解析】【答案】A6、C【分析】【解析】分析：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2-y2=2的右顶点，方程为x=满足条件，当直线的斜率存在时；

若直线与两渐近线平行；也能满足满足条件．

解答：解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2-y2=2的右顶点，方程为x=满足条件．

当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2-y2=2有且仅有一个公共点；

综上；满足条件的直线共有3条；

故选C．【解析】【答案】C7、A【分析】解：利用分类计数原理的加法原理：

（1）选择第1种方法来完成工作的有：3种选法。

（2）选择第2种方法来完成工作的有：5种选法。

所以；有3+5=8种不同的选法；

故选：A．

根据题意；分别计算利用选择第1种方法来完成工作和选择第2种方法来完成工作的情况数目，由加法原理计算可得答案．

本题考查加法原理的运用，注意分类计数原理与分步计数原理的不同．【解析】【答案】A8、B【分析】解：由椭圆y2100+x236=1

焦点在x

轴上，a=10b=6c=8

P

到焦点F1

的距离等于6

即丨PF1

丨=6

由椭圆的性质可知：丨PF1

丨+

丨PF2

丨=2a=20

隆脿

丨PF2

丨=14

隆脿

点P

到另一个焦点F2

的距离14

故选：B

．

由题意可知：椭圆y2100+x236=1

焦点在x

轴上，a=10b=6c=8

丨PF1

丨=6

由由椭圆的性质可知：丨PF1

丨+

丨PF2

丨=2a=20

因此丨PF2

丨=14

即点P

到另一个焦点F2

的距离14

．

本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆定义的应用，属于基础题．【解析】B

9、C【分析】解：K2=50隆脕(20隆脕15鈭�10隆脕5)230脳20脳25脳25隆脰8.333>7.879

隆脿

有99.5%

的把握认为喜爱打篮球与性别有关．

故选C．

利用公式求得K2

与临界值比较，即可得到结论．

本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】

因为函数f（x）是定义在（-3，3）上的偶函数，所以根据偶函数图象的对称性，做出函数的图象，如图：

不等式xf（x）＜0等价为；

当x＞0时；f（x）＜0，此时1＜x＜3．

当x＜0时；f（x）＞0，此时-1＜x≤0．

综上1＜x＜3或-1＜x≤0．

故不等式的解集为{x|1＜x＜3或-1＜x≤0}．

故答案为：{x|1＜x＜3或-1＜x≤0}．

【解析】【答案】利用函数奇偶性的定义；结合图象确定不等式的解集．

11、略

【分析】

由题意可得F（0），准线方程为x=-作PM⊥准线l，M为垂足；

由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|；

故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|=3-（-）=

此时；P点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为2，故P点的坐标为（2，2）；

故答案为：（2；2）．

【解析】【答案】作PM⊥准线l；M为垂足，由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|，此时，P点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为1，从而得到P点的坐标．

12、略

【分析】种。【解析】【答案】126013、略

【分析】【解析】

试题分析：即代入整理得：

设弦端点为A()，B()，则由韦达定理得所以由圆锥曲线“弦长公式”得|AB|=

考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系。

点评：容易题，涉及弦长问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】因为成等差数列,,所以

又所以【解析】【答案】三、作图题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共1题，共6分)22、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．五、综合题(共2题，共6分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；