2025年湘师大新版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有四个交点；则椭圆的离心率的变化范围是（）

A.（0，）

B.（0，）

C.（1）

D.（1）

2、下面的流程图，求输出的y的表达式是（）A.B.C.D.3、【题文】．已知△ABC所在平面上的动点M满足则M点的轨迹过△ABC的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心4、【题文】已知可以在区间（）上任意取值，则的概率是A.B.C.D.5、抽取以下两个样本：①从二（1）班数学成绩最好的10名学生中选出2人代表班级参加数学竞赛；②从学校1000名高二学生中选出50名代表参加某项社会实践活动．下列说法正确的是（）A.①、②都适合用简单随机抽样方法B.①、②都适合用系统抽样方法C.①适合用简单随机抽样方法，②适合用系统抽样方法D.①适合用系统抽样方法，②适合用简单随机抽样方法6、设集合则满足且的集合S的个数是（）A.32B.28C.24D.87、已知A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0）且直线AB与直线CD平行，则m的值为（）A.0或1B.0C.0或2D.1评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、等差数列中，若则的值为.9、点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则3x+27y+3取值范围为____．10、不等式|x+2|-|x+4|＞1的解集为____．11、已知集合则_________.12、【题文】已知，则______________．13、【题文】假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①②③④．则其中属于“互为生成函数”的是____________．14、【题文】在一个边长为的正方形内部有一个边长为的正方形；向大正。

方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是____。15、如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)23、【题文】已知a，b，c是全不相等的正实数，求证24、【题文】已知数列中，

（1）求（2）试猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。25、已知函数f（x）=x2e-2ax（a＞0）

（1）已知函数f（x）的曲线在x=1处的切线方程为y=-2e-4x+b，求实数a、b的值．

（2）求函数在[1，2]上的最大值．26、某校高三(1)

班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏；但可见部分如下，据此解答如下问题．

(1)

求全班人数及分数在[80,90)

之间的频数；并估计该班的平均分数；

(2)

若要从分数在[80,100]

之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]

之间的概率．评卷人得分五、计算题(共3题，共12分)27、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．28、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．29、解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵以椭圆的两个焦点为直径端点的圆与椭圆有四个交点；

∴有c＞b

∴c2＞a2-c2

∴2c2＞a2；

∴

又e＜1

∴椭圆的离心率的变化范围是（1）

故选C．

【解析】【答案】根据以椭圆的两个焦点为直径端点的圆与椭圆有四个交点，可得c＞b；由此可求椭圆的离心率的变化范围．

2、D【分析】由程序框图可知当x<0时，y=x+3;当x=0,y=0;当x<0时，y=x-5.【解析】【答案】D3、D【分析】【解析】∵

∴M在边AB的垂直平分线；

由三角形外心的定义知；M点的轨迹过△ABC的外心；

故选D．【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、C【分析】【解答】解：对于①；由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法，对于②，由于样本容量比较大，且抽取的人数较较多，故采用系统抽样方法；

故选C．

【分析】根据简单随机抽样方法和系统抽样方法的定义即可判断．6、B【分析】【分析】因为A中有5个元素，所以集合S有个，又因为所以要去掉只含有1,2的集合，所以集合S的个数是故选B.7、A【分析】解：由题意；

∵直线AB与直线CD平行；

∴kAB=kCD；

∴

∴m=0或1；

故选：A．

利用直线AB与直线CD平行；斜率相等，即可求出m的值．

本题考查两直线平行的条件，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】试题分析：注意等差数列的性质在解题中的应用，尤其注意差跟和的性质，等差数列中，若则∴∴=考点：等差数列的性质.【解析】【答案】169、略

【分析】

∵点（x；y）在直线x+3y-2=0上，可得x=2-3y

∴3x+27y=32-3y+27y=9×（）y+27y≥2=6

由此可得：3x+27y+3≥6+3=9

即3x+27y+3的取值范围是[9；+∞）

故答案为：[9；+∞）

【解析】【答案】根据题意用x=2-3y代入，可得3x+27y=9×（）y+27y，再利用基本不等式得3x+27y≥6，从而得3x+27y+3的最小值为9；得到所求取值范围．

10、略

【分析】

由于|x+2|-|x+4|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到-4对应点的距离，而-到-2对应点的距离减去它到-4对应点的距离正好等于1；

故不等式|x+2|-|x+4|＞1的解集为

故答案为．

【解析】【答案】根据|x+2|-|x+4|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到-4对应点的距离，而-到-2对应点的距离减去它到-4对应点的距离正好等于1；由此可得不等式的解集．

11、略

【分析】【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：对分子分母同除以得===3．

考点：同角三角函数基本关系式【解析】【答案】313、略

【分析】【解析】

试题分析：向左移动个单位，在向上移动个单位可得的图像；

又故②；④没有。

考点：三角函数图象的平移变换。【解析】【答案】①③14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】解：取AA'的中点E；连接BE，EN

BE∥NC；∴异面直线B′M和CN所成角就是直线BE与直线B'M所成角。

根据△ABE≌△B'MB；∠BMB'=∠AEB；

∴∠B'MB+∠AEB=∠AEB+∠B'MB=90°

∴BE⊥B'M

∴异面直线B′M和CN所成角为90°

故答案为90°．

取AA'的中点E；连接BE，EN，异面直线B′M和CN所成角转化成直线BE与直线B'M所成角，利用三角形全等求出直线BE与直线B'M所成角即可．

本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解析】90°三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)23、略

【分析】【解析】

试题分析：解：∵a，b；c全不相等。

∴与与与全不相等。

∴

三式相加得

∴

即

考点：不等式的证明。

点评：主要是考查了基本不等式的运用，来证明不等式，属于基础题。【解析】【答案】利用均值不等式来分析证明即可。24、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由得3分。

（2）猜想6分。

证明：①当7分。

②假设8分。

则当12分。

即时猜想也成立。13分。

因此；由①②知猜想成立。14分。

考点：本小题主要考查归纳猜想和数学归纳法的应用.

点评：应用数学归纳法时，要严格遵守数学归纳法的证题步骤，尤其是第二步一定要用上归纳假设，否则不是数学归纳法.【解析】【答案】（1）（2）猜想严格按数学归纳法的步骤进行即可25、略

【分析】

（1）求导f′（x）=（2x-2ax2）e-2ax，从而可得f′（1）=（2-2a）e-2a═-2e-4；从而解出a，代入求b；

（2）由（1）可得f（x）=x2e-4x，f′（x）=（2x-4x2）e-4x；从而可得f（x）在[1；2]上单调递减；从而求最大值．

本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，属于中档题．【解析】解：（1）∵f（x）=x2e-2ax，f′（x）=（2x-2ax2）e-2ax；

∴f′（1）=（2-2a）e-2a═-2e-4；

解得；a=2；

则f（x）=x2e-4x，f（1）=e-4；

故直线y=-2e-4x+b过点（1，e-4）；

故b=3e-4；

（2）由（1）得；

f（x）=x2e-4x，f′（x）=（2x-4x2）e-4x；

则当x∈[1，2]时，f′（x）=（2x-4x2）e-4x＜0；

故f（x）在[1；2]上单调递减；

故fmax（x）=f（1）=e-4．26、略

【分析】

(1)

由茎叶图；利用频数；频率与样本容量的关系求出全班人数，计算该班的平均分；

(2)

利用列举法求出基本事件数；计算对应的概率值．

本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．【解析】解：(1)

由茎叶图知；分数在[50,60)

之间的频数为2

频率为0.008隆脕10=0.08

全班人数为20.08=25

所以分数在[80,90)

之间的频数为25鈭�2鈭�7鈭�10鈭�2=4

分数在[50,60)

之间的总分为56+58=114

分数在[60,70)

之间的总分为60隆脕7+2+3+3+5+6+8+9=456

分数在[70,80)

之间的总分数为70隆脕10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747

分数在[80,90)

之间的总分约为85隆脕4=340

分数在[90,100]

之间的总分数为95+98=193

所以，该班的平均分数为114+456+747+340+19325=74

(2)

将[80,90)

之间的4

个分数编号为1234[90,100]

之间的2

个分数编号为56

在[80,100]

之间的试卷中任取两份的基本事件为：

(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,4)(3,5)(3,6)

(4,5)(4,6)(5,6)

共15

个；

其中；至少有一个在[90,100]

之间的基本事件有9

个；

隆脿

至少有一份分数在[90,100]

之间的概率是915=0.6

．五、计算题(共3题，共12分)27、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．28、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=229、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；

因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0；

若a=0；不等式化为﹣2（x﹣2）＞0，则解集为{x|x＜2}；

若a≠0时，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的两根分别为2；

①若a＜0，则＜2，此时解集为{x|＜x＜2}；

②若0＜a＜1，则＞2，此时解集为{x|x＜2或x＞}；

③若a=1，则不等式化为（x﹣2）2＞0；此时解集为{x|x≠2}；

④若a＞1，则＜2，此时解集为{x|x＞2或x＜}【分析】【分析】已知不等式左边分解因式后，分a=0与a≠0两种情况求出解集即可．六、综合题(共1题，共5分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直