四川省中等职业学校对口升学考试-数学-第五章《三角函数》总复习-课件

中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第五章三角函数中职-对口升学-数学考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握角的概念推广、终边相同的角√弧度制√任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数√各象限角的三角函数值的正负判断√同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tanα=sinα/cosα√诱导公式:2kπ+α、-α、π±α的正弦、余弦及正切公式√正弦函数的图像和性质√余弦函数的图像和性质√已知三角函数值求指定范围内的角√两角和与差的正弦、余弦、正切公式√二倍角公式√y=Asin(ωx+φ)的图像与性质√用“五点法”画正弦型函数的图像√正弦定理与余弦定理√命题趋势一命题规律考点近几年常考题型及分值20152016201720182019三角函数的概念和计算选择题,8分选择题,4分选选择题,4分选选择题,4分选选择题,4分选三角公式选择题,4分选解答题,12分解答题,13分解答题,12分填空题,4分三角函数的图像与性质解答题,12分选择题,4分填空题,4分—选择题,4分解斜三角形填空题,4分选择题,4分选择题,4分选择题,4分解答题,12分命题趋势本章内容在历年真题中既有选择题和填空题,也有解答题,其分值比例约占25%.主要从以下几个方面进行考查:一是考查任意角的三角函数;二是考查三角函数的基本公式;三是考查三角函数的图像和性质;四是考查解斜三角形。真题在线一第一节三角函数的概念和计算真题在线一1.（2015年·四川对口升学）与340°角终边相同的是（）.A.-160°B.-20°C.20°D.160°2.（2015年·四川对口升学）已知α∈π2,π，cos2α=35，则tanα=（）.A.2B.12C.-12D.-23.（2016年·四川对口升学）sin150°=

.4.（2018年·四川对口升学）sin2π+π6=（）.A.32B.－32C.12D.－125.（2019年·四川对口升学）已知角α的终边经过（-1,1），则cosα=（）.A.－22B.22C.－12D.12知识清单一知识点一角的概念的推广1.正角、负角和零角知识清单一角可以看成平面内一条射线从初始位置(始边)出发，绕着它的端点(顶点)旋转到终止位置(终边)而成.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角称为正角，按顺时针方向旋转形成的角称为负角，没有旋转的角为零角.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角.因此，我们在确定一个角的大小时，不仅要看它的始边与终边的位置，而且要看它是如何旋转而成的.2.象限角我们常在直角坐标系内讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限.3.终边相同的角知识清单一任意一个角唯一地确定一条终边.但是，反过来任意一个终边位置都可以表示无数个角.一个角，角增加或减少360°，终边又回到原来的位置，终边相同的角周而复始地出现.当角的终边绕其顶点，按逆时针方向旋转n圈时，就形成n·360°+α的角，按顺时针方向旋n转圈时，就形成-n·360°+α的角，这些角与角α都有相同的终边.因此，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.知识清单一知识点二弧度制1.幂函数的概念知识清单一（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.它的单位符号是“rad”，读作“弧度”.（2）角度与弧度的互化.①360°=2πrad,180°=πrad.②1°=π/180rad≈0.01745rad,1rad=180/π°≈57.30°=57°18′.说明：用弧度表示角的大小时，“rad”或“弧度”可以省略不写.常用特殊角的度数与弧度数的对照见表5-1.注意：采用弧度制后，每一个角都对应唯一的实数；反之，每一个实数都对应唯一的角.这样，角与实数之间就建立起一一对应的关系.1.幂函数的概念知识点二弧度制一(3)角α的弧度数的绝对值等于弧长除以半径，即|α|=l/r.(4)扇形的弧度与面积公式.扇形的弧长公式：l=|α|r或l=nπr/180.扇形的面积公式：S=1/2lr=1/2|α|r2或S=nπr2/360.(5)象限角和轴线角的表示法.第一象限角：{α|2kπ＜α＜2kπ+π/2，k∈Z}.第二象限角：{α|2kπ+π/2＜α＜2kπ+π，k∈Z}.第三象限角：{α|2kπ+π＜α＜2kπ+3π/2，k∈Z}.第四象限角：{α|2kπ+3π/2＜α＜2kπ+2π，k∈Z}.与y轴重合的角：{α|α=kπ+π/2，k∈Z}.与x轴重合的角：{α|α=kπ，k∈Z}.与坐标轴重合的角：{α|α=kπ/2，k∈Z}.知识清单一知识点三任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，设α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是（x,y），它到原点的距离是r=x2+y2(r>0)（见表5-2）知识点三任意角的三角函数一(2)象限角的三角函数值符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”（见图5-1）知识点三任意角的三角函数一(3)特殊角的三角函数值（见表5-3）.知识点三任意角的三角函数一知识清单一知识点四同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1.(平方关系)sinα/cosα=tanα;cosα/sinα=cotα.(商数关系)tanαcotα=1.(倒数关系)知识点四同角三角函数基本关系式一知识清单一知识点五诱导公式同名三角函数的诱导公式如下.（1）第一象限的诱导公式.sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα.(k∈Z)（2）第二象限的诱导公式.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.（3）第三象限的诱导公式.sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.（4）第四象限的诱导公式.sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.记忆此公式口诀：“函数名不变，符号看象限.”知识点五诱导公式一典例解析一注意：例1写出-360°~720°与-330°的终边重合的角.【解析】因为与-330°的终边相同的角可表示为{β|β=-330°+k·360°，k∈Z},所以k=0,1,2.当k=0时，β=-330°；当k=1时，β=30°；当k=2时，β=390°.【技巧点拨】写出在某个范围内与角α终边相同的角的关键有两点：一是正确写出与角α终边相同的角的集合；二是正确判断k的值，不要出现漏解和多解.同时请注意：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.将75°转化为弧度为.【解析】由角度与弧度的换算关系可得75°=π/180×75=5/12π.【技巧点拨】角度化为弧度,分母是180;弧度化为角度,分母是π.典例解析一例2

典例解析一注意：例3设sinα>0且tanα<0,则α是().A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】因为sinα>0,所以α是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角;又因为tanα<0,所以α是第二象限角或第四象限角.综上所述,α是第二象限角,故选择B.【技巧点拨】掌握三角函数值在各象限的正负性是解题的关键.

典例解析一注意：例4已知角α的终边经过点P（-3,4）,求:sinα,cosα,tanα.【解析】因为角α的终边经过点P（-3，4），即x=-3,y=4,所以r=√（x2+y2）=5.故sinα=y/r=4/5,cosα=x/r=-3/5,tanα=y/x=-4/3.【技巧点拨】掌握三角函数的定义是解题的关键.典例解析一注意：例5已知sinα+cosα=4/5,求下列各式的值：(1)2sinαcosα;(2)sinα-cosα.【解析】（1）因为sinα+cosα=4/5，两边同时平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=16/25,即1+2sinαcosα=16/25,所以2sinαcosα=-9/25.(2)因为(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2sinαcosα,所以(sinα-cosα)2=34/25,所以sinα-cosα=±√34/5.【技巧点拨】掌握三角函数的定义是解题的关键.真题在线一第二节三角公式真题在线一1.（2016年·四川对口升学）已知向量a=(3,sinθ2)b=(－1,10cosθ2)，且a⊥b.（1）求sinθ；（2）若0＜θ＜π2，求2sinπ4+θ-cosπ-θ.2.（2017年·四川对口升学）cos2π3=（）.A.32B.－32C.12D.－121.两角和与差的三角函数公式知识清单一（1）sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.（2）cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.（3）tan(α±β)=tanα±tanβ/(1∓tanα·tanβ).2.倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα/(1-tan2α).3.降次公式知识清单一(1)sin2α=1-cos2α2;(2)cos2α=1+cos2α2.4.升幂公式(1)1-cos2α=2sin2α;(2)1+cos2α=2cos2α.5.和、差角公式、二倍角公式及内在联系和、差角公式、二倍角公式及内在联系见图5-2.（1）sinαcosα；（2）（2sinα－cosα）/（sinα－2cosα）.【解析】（1）解法一：由已知可得方程组得sinα=3cosα，cos2α=1/10.故sinαcosα=3cosαcosα=3cos2α=3/10.【技巧点拨】对于三角函数的化简和运算，一般情况下，分子分母同时除以cosα，转化成含tanα的式子，化简求值；对于含“1”的式子，要与紧密联系在一起化简求值，或者利用关系式sin2α+cos2α=1的关系后代入式子中，再化简求值.典例解析一注意：例1已知tanα=3,求:（1）求cosα的值；（2）若sin(α-β)=-3/5，β∈(π/2,π)，求cosβ的值.【技巧点拨】(1)利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可将sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三者有机地结合起来，做到“知一求二”.(2)灵活运用倍角公式和降次公式解决此类问题.典例解析一例2已知α∈(π/2,π)，且sin(α/2)+cos(α/2)=√6/2.（1）sin(α-β);(2)cos(α-β).【解析】(1)因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α=9/25,又因为α是第二象限角，所以sinα>0，即sinα=3/5,同理:cosβ=-5/13.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=3/5×(-5/13)-(-4/5)×12/13=33/65.(2)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-4/5)×(-5/13)+3/5×12/13=56/65.【技巧点拨】解答此类问题，一是要熟练掌握两角和与差的三角公式，二是要关注三角函数值的符号与象限的关系.典例解析一例3已知cosα=-4/5,sinβ=12/13,α,β均是第二象限角，试求：（1）(√3-tan15°)/(1+√3tan15°);(2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°.【解析】(1)(√3-tan15°)/(1+√3tan15°)=(tan60°-tan15°)/(1+tan60°tan15°)=tan(60°-15°)=1.(2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°=tan(15°+30°)(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.【思路点拨】(1)题逆用两角差的正切公式；（2）题利用公式的变形进行转换.典例解析一例4化简下列各式：真题在线一第三节三角函数的图像与性质真题在线一1.（2017年·四川对口升学）函数y=12sinxcosx的最小正周期是（）.A.2πB.πC.π/2D.π/42.（2018年·四川对口升学）若将函数y=sin2x－π3的图像变为函数y=sin2x+π2的图形，则需将第一个函数的图像（）.A.向左平移5π/12个单位B.向左平移π/12个单位C.向右平移5π/12个单位D.向右平移π/12个单位3.（2019年·四川对口升学）函数fx=sin(2x+π/3)在区间[－π,π]上的图像大致为（）.A.B.C.D.1.“五点法”描图知识清单一(1)y=sinx的图像在［0，2π］上的五个关键点的坐标为（0，0），π2,1(π,0),32π,-1,(2π,0).(2)y=cosx的图像在［0，2π］上的五个关键点的坐标为（0，1），π2,0(π,-1),32π,0,(2π,1).2.正弦、余弦函数的图像和性质正弦、余弦函数的图像和性质见表5-4.2.正弦、余弦函数的图像和性质知识清单一表5-4续表3.已知三角函数值求角知识清单一根据角x的三角函数值求角x，通常有如下几个步骤：（1）找出与函数值的绝对值对应的锐角α1.（2）根据所给值的符号，判断角α所在象限，求得［0，2π）范围内的角α，即如果适合条件的角在第二象限，则α=π-α1;如果α在第三角限，则α=π+α1；如果α在第四象限，则α=2π-α1.其中0<α1<π/2(3)将以上求得的角α各加上2kπ，即用终边相同的角的表达式写出所有适合条件的角.4.正弦型函数知识清单一（1）正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质：定义域为R；值域为［-|A|,|A|］；最大值为|A|；最小值为-|A|；最小正周期为T=2π/|ω|.其图像可由“五点法”或“平移法”作出来.（2）将三角函数式化为正弦型函数式.(3)函数的图像变换（A>0,ω>0）.A——振幅变化：由y=sinx的图像，在保持横坐标不变的情况下，把所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到y=Asinx的图像.ω——周期变化：由y=Asinx的图像，在保持纵坐标不变的情况下，将各点的横坐标压缩或伸长为原来的1/|ω|倍，得到y=Asinωx的图像，它的周期为T=2πω.φ——左右平移变化：当φ>0时，将函数y=Asinωx的图像向左移φ/ω个单位；当φ<0时，将函数y=Asinωx的图像向右移|φ|/ω个单位，得到y=Asin(ωx+φ)的图像.A.向左平移π/3个单位B.向右平移π/3个单位C.向左平移π/6个单位D.向右平移π/6个单位【解析】D【技巧点拨】一般的，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像可以看作是用下面的方法得到：先把正弦曲线y=sinx上所有点向左（φ>0）或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的1/ω倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）.典例解析一注意：例1要得到y=sin(2x-π/3)的图像,只需将函数y=sin2x的图像().A.(0,π)B.(-π/2,0)C.(3π/2,2π)D.(-π,-π/2)【解析】由函数图像可知，其单调递减区间为[kπ,kπ+π/2],故选D.【技巧点拨】根据图像即可判断其单调性.典例解析一注意：例2下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是().函数f(x)=sinx-√3cosx(x∈［-π/2,π/2］)的最小正周期是

，最大值是

，最小值是

.【解析】因为f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-π/3),所以f(x)的最小正周期T=2π.因为-π/2≤x≤π/2，所以-5π/6≤x-π/3≤π/6，故当x-π/3=π/6即x=π/2时，fmax=1，当x-π/3=-π/2即x=-π/6时，fmin=-2.【技巧点拨】求解此类问题，首先要掌握正弦型函数的值域，其次利用正弦、余弦函数取最值时x的取值范围列出等式，最后求解等式即可；同时可将函数y=asinωx+bcosωx(a>0,b>0)转化为y=√(a2+b2)sin(ωx+φ),其中tanφ=b/a.典例解析一注意：例3（1）f(x)=sinxcosx;(2)f(x)=|sinx|+1.【解析】(1)函数f(x)=sinxcosx的定义域为R.对于任意x∈R,均有-x∈R，且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),故原函数是R上的奇函数.（2）函数f(x)=|sinx|+1的定义域为R，对于任意x∈R,均有-x∈R,且f(-x)=|sin(-x)|+1=|sinx|+1=f(x),故原函数是R上的偶函数.【技巧点拨】判断函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称则再利用f(-x)=±f(x)来判断.典例解析一例4判断下列函数的奇偶性:真题在线一第四节解斜三角形真题在线一1.(2015年·四川对口升学)已知△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=5,c=2√3，A=2π/3.（1）求sinC的值；（2）求5sinC+√2sin(C+π/4).2.(2016年·四川对口升学)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinA/sinB=2,b=√2,则a=（）.A.22B.2C.2D.223.(2018年·四川对口升学)在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=54c·sinA.（1）设△ABC的面积为S，证明S=1/2absinC；（2）已知△ABC的面积为1，记u=a2+b2－abcosC，证明u≥2√3.4.(2019年·四川对口升学)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，tanC=-2,△ABC的面积为2.（1）求边b的长；（2）求cosB的值.三角形具有以下性质：知识清单一(1)角的关系.内角和定理：A+B+C=180°.(2)边的关系.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.(3)边与角的关系.①正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆的半径）.②余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA⇒cosA=(b2+c2-a2)/2bc;b2=a2+c2-2accosB⇒cosB=(a2+c2-b2)/2ac;c2=b2+a2-2bacosC⇒cosC=(a2+b2-c2/)2ab;(4)sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;sin(A+B)/2=sin[(π-C)/2]=cosC/2.(5)三角形的面积公式：S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA.【解析】因为A=180°-(B+C)=75°,所以sinA=sin75°=(√6+√2)/4.又因为b/sinB=a/sinA,sinB=sin60°=√3/