2024-2025学年新教材高中数学第五章函数应用5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课时分层作业含解析北师大版必修第一册

PAGE课时分层作业(二十九)利用函数性质判定方程解的存在性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有()A．0个 B．1个C．2个 D．不能确定C[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()A．(1，0) B．1C．eq\f(1,2) D．－1B[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]3．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)C[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．]4．函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点的个数是()A．0 B．1C．2 D．3C[如图，画出y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象，由图知y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点有2个．]5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连绵不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根D[由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]二、填空题6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．－3[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，依据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．3[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]8．若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．(1，＋∞)[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]三、解答题9．推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.[解](1)令f(x)＝0即eq\f(x＋3,x)＝0，故x＝－3.所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．10．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－eq\f(a,2).(1)求证：函数g(x)有两个零点；(2)探讨函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数．[解](1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－eq\f(3,2)a－b，∴Δ＝b2－4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a－b))＝(2a＋b)2＋2a2.∵a>0，∴Δ>0恒成立，故函数f(x)有两个零点．(2)依据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，又∵a>0，∴g(1)＝－eq\f(a,2)<0，故函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，故在区间(0，2)内至少有一个零点．(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1，2)内有一零点，综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．11．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4B[函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.]12.方程lgx＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于()A．2B．3C．4D．5B[令f(x)＝lgx＋2x－8，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续．因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg2－4<0，f(3)＝lg3－2<0，f(4)＝lg4>0，所以f(3)f(4)<0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.]13．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．(－∞，2)[由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.]14．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点为________．－2和2[f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.]15．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．[解](1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x