2024-2025学年高二上学期期末数学考点《利用导数研究函数切线》含答案解析

高中高中专题10利用导数研究函数切线+单调性+极值+最值问题（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点6．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（

）A． B．C． D．8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A． B． C． D．二、填空题9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.10．已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是．11．已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是．12．函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是.13．已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为．14．设.若是函数的极大值点，则.15．已知函数，当时，是唯一的极值点，则的取值范围是．16．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是.17．已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是.三、解答题18．已知函数，其中.(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；(2)讨论函数的单调性.19．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性．20．设函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，判断的单调性．21．设函数在处取得极值.(1)求的解析式；(2)当时，求函数的最值.22．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围.23．已知函数.(1)当时，求函数在处的切线;(2)当时，若的极小值小于0，求的取值范围24．已知函数．(1)当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；(2)求函数在区间上的最小值．25．已知函数在点处取得极大值5，其导函数y=f′x的图象经过点1,0，2,0(1)的值；(2)，，的值；(3)函数在区间上的最大值和最小值.26．已知函数在处取得极大值6.(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最小值.27．已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．28．已知函数在时取得极大值3.(1)求实数，的值；(2)求函数在区间上的最值.29．已知函数．(1)若是上的单调函数，求的取值范围；(2)当时，求在的最小值．30．设函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值与最小值.专题10利用导数研究函数切线+单调性+极值+最值问题（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、由奇偶性求参数【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；【详解】因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，经检验符合题意，则，曲线y=fx在点处的切线斜率为，又所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.故选：D2．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的乘除法【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程.【详解】由函数，可得，所以且，因为函数与偶函数在交点处的切线相同，所以函数与相切于，且，又因为为偶函数，所以，且，所以函数在处的切线方程为，即．故选：D.3．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，则函数的图象在点处的切线方程为，由切线过点，得，令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，而当时，恒有，又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.4．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据零点所在的区间求参数范围【分析】设过点P的直线与曲线相切点，斜率相等列等式可得方程有3个不同的实数根，最后结合零点存在定理列式计算即可.【详解】设过点P的直线与曲线相切于点，则=，其中表示直线的斜率，即，整理，得.过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根.设，则.由，得或，易知和是的两个极值点.方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点，所以，即，解得.故选:B．5．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点【答案】D【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程、抛物线中的直线过定点问题、求抛物线的切线方程【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.【详解】设，则，，由于，故过点的切线方程为，即，即，同理可得过点的切线方程为，设，过点的两切线交于点，故，整理得，同理，整理得，故直线的方程为，斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.故选：D6．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知切线（斜率）求参数【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解.【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，则切点的横坐标，则，即.又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故选：D7．抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.【详解】设直线与抛物线相切的切点为，与抛物线相切的切点为，由求导得：，由求导得：，则抛物线在点处切线为，即，抛物线在点处切线为，即，依题意，，解得，因此两条公切线方程分别为，，由，解得，所以两条公切线的交点坐标为.故选：C8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】导数的加减法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则两个切点都在直线上,设两个切点分别为则两个曲线的导数分别为,由导数的几何意义可知,则且切点在各自曲线上,所以则将代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故选：D.二、填空题9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数的单调区间求参数【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上函数，所以设，，函数在区间上单调递增，所以只需即可.故答案为：.10．已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是．【答案】．【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数的单调区间求参数【分析】将函数在上单调递减转化为在上恒成立,然后分离参数转化为最值问题来解决.【详解】由题意得，函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，∴，∴，故实数a的取值范围是，故答案为：．11．已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】解：依题意，当时，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，构造函数，则，由得x>1，由得所以函数在区间上递减，在区间上递增，所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，所以，，即实数的取值范围是故答案为：.12．函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是.【答案】【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用在内有解即可.【详解】函数，求导得，由函数在内存在单调递增区间，得不等式在内有解，不等式，而函数在上单调递增，当时，，因此，所以的取值范围是.故答案为：13．已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为．【答案】【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、由函数在区间上的单调性求参数【分析】求导得，由题意可得在区间上能成立，根据二次函数的单调性即可求解.【详解】由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递减区间，即在区间上能成立.设，，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则，即实数a的取值范围为.故答案为:.14．设.若是函数的极大值点，则.【答案】【知识点】根据极值点求参数【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值.【详解】由题意得，，因为是函数的极大值点，所以有，解得或.又当时，，或，，故函数在和递增，在递减，此时是函数的极小值点，不符题意；而当时，，或，，故函数在和递增，在递减，此时是函数的极大值点.故答案为：.15．已知函数，当时，是唯一的极值点，则的取值范围是．【答案】【知识点】根据极值点求参数【分析】由的导函数形式，结合极值点的概念可得在时无变号零点，根据的单调性求的取值范围即可.【详解】由题意可得，因为当时，是唯一的极值点，所以是的唯一变号零点，所以在时恒大于等于0或恒小于等于0，又由指数函数的单调性可知在上单调递增，所以，所以，解得，故答案为：16．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则、根据极值点求参数、已知函数最值求参数【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.【详解】由函数，可得，当或时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即为函数的极小值点；要使得函数在区间上有最小值，则满足，即，因为，可得，即，解得，所以，即实数的取值为.故答案为：17．已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是.【答案】/【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数【分析】利用导数求的最小值，根据题设知先增后减，得到，应用导数及其最大值，列方程求参数值.【详解】对于，有，时，即在上单调递减，时，即在上单调递增，所以，故的最大值为1，对于且，有，显然先增后减，故，时，即在上单调递增，时，即在上单调递减，所以，则.故答案为：三、解答题18．已知函数，其中.(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析.【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值.（2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间.【详解】（1）函数，求导得，由曲线在点处的切线垂直于直线，得，所以.（2）函数的定义域为，，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，方程中，，若，则，，函数在上单调递增；若，则，关于x的方程有两个正根，，，当或时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.19．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)答案见解析【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）利用导数求得的极值.（2）先求得f′x，对进行分类讨论，从而求得的单调区间.【详解】（1）当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的极大值是，极小值为.（2），，当时，单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.综上：当时，fx在上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.20．设函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，判断的单调性．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)答案见解析【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）对求导，将代入，结合导数正负求解原函数的极值即可；（2）结合，和二次函数性质判断导数正负，再判断单调性即可.【详解】（1）由已知，的定义域为，，当时，令，得，又，所以．当时，；当时，．因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．（2）由已知，的定义域为，，令，则在上递减，在上递增，因此，有最小值．①当时，，则，此时，函数在上单调递增；②当时，令，可解得，或此时，函数在和上单调递增；上单调递减．综上：时，在上单调递增；时，在和上单调递增；上单调递减.21．设函数在处取得极值.(1)求的解析式；(2)当时，求函数的最值.【答案】(1)；(2)最大值为3，最小值为.【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数【分析】（1）根据函数极值有，列方程求参数，注意验证；（2）利用导数确定的区间单调性，进而求最值.【详解】（1）由题设，且，，所以，故，此时，故在上，在上，所以fx在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极值，满足题设，综上，.（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，所以，在区间中，在上递增，在上递减，由，，，，综上，函数的最大值为3，最小值为.22．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】根据极值求参数、利用导数证明不等式【分析】（1）当时，证明出即可；（2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在其定义域上的单调性，可得出，根据题意可得出，可得出，利用导数分析函数在上的单调性，再利用函数的单调性可解不等式即可.【详解】（1）证明：要证，只需证.当时，则，其中，可得，令得，，列表如下：1递减极小值递增所以，函数在处取得即小值，亦即最小值，即，所以，.（2）解：因为，其中，则，当时，，，此时，函数在上单调递增，当时，令，可得，列表如下：递减极小值递增所以，，由题意可得，即.令，其中，且.不等式即为，.，当且仅当时，即时，.所以，函数在单调递增，又，则.因此，实数的取值范围是.23．已知函数.(1)当时，求函数在处的切线;(2)当时，若的极小值小于0，求的取值范围【答案】(1)(2).【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）求出切线斜率与切点坐标，应用直线的点斜式求解即可；（2）利用导数求出的极小值，再构造，利用导数研究函数，解即可.【详解】（1）当时，，所以，所以，所以函数在处的切线为，即；（2）的定义域为，且，当时，令，则，所以单调递增；令，则，所以单调递减.故当时，取极小值，所以.设，则，所以是增函数.因为，所以时，.综上所述，的取值范围是.24．已知函数．(1)当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)(2)【知识点】利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，进而结合题意求解即可；（2）先对函数求导，然后分，，三种情况讨论函数的单调性，进而求解最小值.【详解】（1）当时，，则，令f′x>0，得；令f′所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，，要使关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，则，即实数的取值范围为.（2）由，，则，由得．①当，即时，f′x>0，在上为增函数，则；②当，即时，在时，，为减函数，在时，f′x≥0，则；③当，即时，f′x<0，在上为减函数，则．综上所述，．25．已知函数在点处取得极大值5，其导函数y=f′x的图象经过点1,0，2,0(1)的值；(2)，，的值；(3)函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，，(3)，【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数【分析】（1）根据导函数图象可得原函数单调性，知在处取得极大值，求得；（2）利用，，构造方程组可求得结果；（3）根据函数的单调性，可知，，求出函数值即可得到结果.【详解】（1）由图象可知：在上，；在上，；在上，在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，；（2）因为且，，，得：，解得：，，；（3）由（2）得，则，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，又，，，，，.26．已知函数在处取得极大值6.(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最小值.【答案】(1)，(2)1【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可.（2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值.【详解】（1），因为在处取得极大值6.所以，得此时，令f′x<0可得：；令f′x>0所以在上单调递减，在，上单调递增所以在处取得极大值，符合题意，所以.又，所以（2），所以列表如下：00,1122,33f+00+1极大值6极小值510由于，故时，.27．已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)最大值为36，最小值为【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）求导，再利用导数的几何