2025年上海闵行区高三一模高考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．1．设集合，，则．2．不等式的解集为．3．直线的倾斜角为．4．已知正实数、满足，则的最小值为．5．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为．6．的二项展开式中，项的系数为．7．已知函数为奇函数，则.8．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为．9．已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为．10．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则．11．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为平方米．（结果保留整数）12．已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列函数中，在区间上是严格减函数的为（

）A． B． C． D．15．设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题：①对于任意的，任意的，都有是严格增数列；②对于任意的，存在，使得是严格减数列．以下说法正确的为（

）A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点．(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小．18．已知(1)若，求函数的值域；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．19．为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：睡眠时长（小时）人数150270180注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足．(1)估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？(2)估计该市高三学生日均睡眠时长；(3)若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．20．已知圆，双曲线，直线，其中．(1)当时，求双曲线的离心率；(2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；(3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值”(1)设，求的值；(2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合；(3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．##【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故答案为：2．【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可.【详解】不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：3．【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】设直线的倾斜角为．由直线化为，故，又，故，故答案为．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．4．2【分析】利用基本不等式求出最小值即可.【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故答案为：25．【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为，所以圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积.故答案为：.6．28【分析】利用二项式定理求出含的项，进而求出其系数.【详解】在的二项展开式中，含的项为，所以项的系数为28.故答案为：287．【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解.【详解】因为函数为奇函数，当时，所以.故答案为：8．144【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解.【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种，所以不同的值班安排方法种数为（种）.故答案为：1449．6【分析】由的整数次幂的周期性求出的取值集合，进而列举出所有结果即可得解.【详解】依题意，，，则，因此，，所以的值中不同虚数有：，共6个.故答案为：610．【分析】首先求出、，设Ax0,y0，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得.【详解】椭圆，则、，设Ax0,y0即，又，解得，不妨取，则的方程为，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案为：.11．137【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解.【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示，当分别于圆弧相切时，取得最大值，由对称性，只讨论，设与圆弧相切于点，连接，设，因为≌，≌，则，，因为，所以，，，，所以，因为，所以，令，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以平方米，即该游乐区面积的最大值为137平方米．故答案为：137.12．【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，即，，所以，当且仅当时，成立，所以，必要条件：，解得；若，即时，必然成立；若，因为，，不妨设，则，，且，所以，，所以①，②，①②两式联立得，即，所以，又，所以，，当时，，不符合条件；当时，，则，此时；当时，，则或，此时或，因为，所以；综上，或，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件.13．A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.故选：A14．B【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可.【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是；对于B，函数在上是严格减函数，B是；对于C，函数在上是严格增函数，C不是；对于D，当时，在上是严格增函数，D不是.故选：B.15．D【分析】根据给定条件，结合同角公式，逐项分析确定的取值的正负情况即可判断得解.【详解】对于A，若，，由，解得，显然，令方程的根为，，当时，，当时，，而当时，，当时，，取，则，A不是；对于B，当为第二象限时，，，取，，则，B不是；对于C，当为第三象限时，，取，，，C不是；对于D，当为第四象限时，，，则，当为第四象限时，，D正确.故选：D16．A【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数.【详解】对于①，时，，，时，；时，，也有，故①为真命题.对于②，时，，，当时，，，不严格递减；当时，，，不严格递减；当时，，若，则，同理当时，，则存在，使得，则，，不严格递减.综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可.17．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量m=x,y,z，易知平面ABC的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.【详解】（1）证明：如图所示：连接，因为、分别为和的中点，所以，又平面，平面，所以直线平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，即，令，得，则，易知平面ABC的一个法向量为：，设二面角的大小为，则，二面角的大小为.18．(1)；(2).【分析】（1）把代入，结合二次函数性质及对勾函数的单调性分段求出求出值域即可得解.（2）由给定条件，可得，再代入化简并结合辅助角公式及正弦函数的性质求出范围.【详解】（1）当时，函数，当时，，当且仅当时取等号，当时，在上单调递增，在上单调递减，，所以函数的值域是.（2）当时，，由，得，则，整理得，而，，因此，所以实数的取值范围.19．(1)4.95（万人）(2)（小时）(3)【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可；（2）用样本平均数估计总体平均数即可；（3）由古典概型结合组合数公式即可求解.【详解】（1）由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人），所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）；（2）随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时），所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）；（3）从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为，所以睡眠时长在抽取（人），睡眠时长在抽取（人），睡眠时长在抽取（人），则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为.20．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据离心率公式即可；（2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明；（3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可.【详解】（1）由题意，，所以，，因此，双曲线的离心率.（2）由直线与圆相切，得，即，联立得，即，该一元二次方程的判别式，因此有两个不相等的实数根，且两根之积为，因此两根一正一负，即与双曲线的左右两支各有一个公共点.（3）设，联立，得，得，由可得.联立得，得且分别交于左右两支可得又，又、、、四个点在同一直线上，，，还可得，，即，化简后可得:，代入后化简可得:，解得，由，得.经检验，此时与两支分别有交点，为唯一满足条件的实数.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得，即，再代入韦达定理式计算即可.21．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据题意可知有唯一解，由可求出结果；（2）求以及，研究的单调性，分析的图像，可得出的函数值中不存在值时的情况，列出等式可解出的取值；（3）从充分性以及必要性两种情况来证.【详解】（1）由题设知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值为.（2），当时，由可得：或，由可得：或，所以在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，当时，，且，，画简图如下：若的函数