九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）（解析版）

重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）【题型细目表】题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、填空题1．（2023·安徽阜阳·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．【答案】【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．二、解答题2．（2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．(1)点P的坐标为______；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求关于n的函数表达式和的最小值．【答案】(1)(2)，t的最小值为【分析】（1）先求得A、B两点的坐标，再求得二次函数的对称轴，即可求得点P的坐标；（2）利用抛物线上点的坐标的意义以及勾股定理构造关于n的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：把代入，得，即，把代入，得，解得，即，∵二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为直线，把代入，得，∴点P的坐标为，故答案为：；（2）解：∵，∴，∵点C在抛物线上，∴，∴，∴，∵，二次函数顶点坐标为，∴，∴当时，t有最小值，最小值为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点、抛物线的顶点坐标等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键．3．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为．①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)，(2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为9【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标，用建立方程组求解即可；②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值．【详解】（1）解：将点代入，得，解得，∴直线的解析式为；当时，，∴将点，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）①设，则，∵过点P作x轴的平行线，与直线交于点C，∴，∴，当点P在x轴上方时，，是钝角，∴，∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴或（舍去），∴当时，是等腰三角形；②当点在轴下方时，，∴∵，则，点,∴，，∵，，∴，∴当时，p最大，最大值为9，∴当时，的周长最大，最大值为9．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出的长度．4．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求，的值；(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；②若点是线段的中点，试求点的坐标．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出，进而求出直线的解析式是．由，得到，则直线的解析式为．再由，即可得到；②由①得直线的解析式为．求出，，再根据是线段的中点，得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：把，分别代入，得：，解得，；（2）解：①由（1）知抛物线的解析式为．在中，令，则．∴；设直线的解析式为，把，分别代入，得，解得∴直线的解析式是．∵，∴．∴直线的解析式为．∵点在抛物线上，点的横坐标为，∴点，则．∴；②由①知直线的解析式为．在中，令，得．∴，在中，令，得．∴，∵是线段的中点，∴P、E两点的纵坐标互为相反数，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．5．（2023·安徽·校联考一模）如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．(1)试确定二次函数的表达式；(2)已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，过点C作轴于点D，再证明，可得，，从而得到点C坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解．（2）先求出该二次函数图象的对称轴为直线，可设点P坐标为，再由，得到关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵点，点，∴，过点C作轴于点D，∴，∵∴，，∴，∵，∴，∴，，∵点C在第一象限，∴点C坐标为，∵二次函数的图象经过点B，C，∴，解得，∴二次函数的表达式为；（2）解：∵，∴该二次函数图象的对称轴为直线，设点P坐标为，∵，∴，∴，解得，∴点P坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了全等三角形的判定和性质，求二次函数的解析式等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．6．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）已知二次函数．(1)若，，且该二次函数的图象过点，求a的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点，，其中，，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与x轴，AC分别交于点M，N，与y轴相交于点E，且满足．①求关于x的一元二次方程根的判别式的值；②若，令，求T的最小值．【答案】(1)(2)①16；②【分析】（1）由题意将代入，从而求得结果；（1）①根据题意，表示出和，根据，得出，从而求得结果；②根据，从而得出，从而求得的值，进而得出，的关系式，将其代入，进一步求得结果．【详解】（1）解：∵，，即：，把代入得：，解得：；（2）①由得，，，∴，∵抛物线的顶点坐标为：，∴，∵，∴，即：，∴，即：，∴一元二次方程根的判别式的值为16；②由①知，∴，则由题意可知对称轴为：，，则，∴∵，则，∴，解得，∴，则，∴，∴当时，．【点睛】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．7．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线与直线相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段下方抛物线上一动点，过点M作∥轴交于点G．(1)当∥轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；(2)当时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；【答案】(1)①，；②(2)是定值，理由见解析【分析】（1）①利用轴，则，将代入抛物线的解析式求得值，则点，的横坐标可求，纵坐标为8，结论可得；②设，分别用A，B，M，G的坐标表示出线段，，，代入运算即可得出结论；（2）将两解析式联立求得A，B的坐标，设，则，分别用A，B，M，G的坐标表示出线段，，，代入运算即可得出结论．【详解】（1）解：①当轴时，，则，对于，当时，，解得，，．②∵点为线段下方抛物线上一动点，设，则，，，，．（2）是定值．∵，∴直线：，设，则，．令，解得，，∵点A在点B的左侧，点为线段下方抛物线上一动点，，，，，，．∴当时，的值为定值，这个定值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，二次函数的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）先根据A点坐标求出一次函数的解析式，然后求出B点坐标，再根据A、B的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）设，则，然后可以得到，利用二次函数的性质求解即可.【详解】解：（1）直线经过A（4，3），∴∴，∴直线的解析式为，又∵直线与x轴交于B点，令即，解得∴B（-2，0）抛物线经过点A（4，3）、B（-2，0），则

∴抛物线为

（2）设，则

∴∵

∴当时，PQ取得最大值．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．（2023·安徽·九年级专题练习）已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点代入，即可求解；（2）连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P，先求出点A、C、D的坐标，可得，从而得到的最小值为PD+PH=DH的长，求出DH，即可求解．（1）解：把点代入得：，解得：；（2）解：连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P，由（1）得：二次函数的解析式为，令y=0，则，解得：，∴点A（-3，0），C（5，0），∴抛物线的对称轴为直线，∴点D（1，0），∴AD=4，∵点，∴，∴，∴AB=2OA，∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值为PD+PH=DH的长，∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的性质，垂线段最短解决线段和的最小值问题．解题的关键是作辅助线，转化的最小值为PD+PH=DH的长．10．（2023·安徽合肥·统考二模）已知：抛物线与轴交于点A、B（点B在轴正半轴），顶点为C，且．(1)求a的值；(2)求的面积；(3)若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．【答案】(1)；(2)的面积为8；(3)最小值为．【分析】（1）先求得抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用，即可求解；（2）由（1）得到抛物线的解析式，点A、B的坐标，对称轴为，求得顶点，利用三角形的面积公式即可求解；（3）设，求得，利用两点之间的距离公式求得，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：令，则，即，解得，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，抛物线的解析式为，点，对称轴为，∴顶点，∴的面积为；（3）解：设，∵轴，∴，

∵，∴，∵，∴当时，取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了二次函数图象和性质以及待定系数法求函数的解析式以及平行的知识，解决（3）问需要求出的长，利用二次函数的求解．11．（2023·安徽芜湖·一模）已知抛物线与直线交于点(1)若抛物线经过时，求抛物线解析式；(2)设P点的纵坐标为，当取最小值时，抛物线上有两点，，，比较与的大小；(3)若线段两端点坐标分别是，，当抛物线与线段有公共点时，求出m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将代入解析式求解．（2）将代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．【详解】（1）解：将代入得：，解得，；（2）将代入得，时，取最小值，，时，y随x增大而减小，，；（3），抛物线顶点坐标为，抛物线随m值的变化而左右平移，将代入得，解得或，将代入得，解得或，时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段有交点，时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段有交点．或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．12．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）如图1，已知抛物线：与直线交于、两点（M在N的左侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线的上方的抛物线上有一点C，若，求点C的坐标；(3)如图2，将抛物线平移后得到新的抛物线，的顶点为原点，为抛物线第一象限内任意一点，直线与抛物线交于A、B两点，直线与y轴交于点G，分别与直线PA、PB交于E、F两点．若，求点P的横坐标．【答案】(1)(2)或；(3)点横坐标为．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点C作轴交于点G，设，则，可得，即可求出点C的坐标；（3）先求平移后的函数解析式为，设，联立方程组，分别求出，，再由待定系数法分别求出直线的解析式、直线的解析式，可求，，从而建立方程求解即可．【详解】（1）解：将代入，∴，解得，∴，将代入，，∴，将，代入，∴，解得，∴；（2）解：过点C作轴交于点G，设，则，∴，∴，解得或，∴C点在直线上方，∴或，∴或；（3）解：∵，∴抛物线的顶点为∵的顶点为原点，∴抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，∴平移后的函数解析式为，设，联立方程组，解得或，∴，，∵直线与y轴交于点G，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，∴，，∴，，∵，∴解得，∴，∴点横坐标为．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，抛物线平移的性质是解题的关键．13．（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围．【答案】(1)(2)存在，，理由见详解(3)【分析】（1）将，代入抛物线求解即可：（2）连接BC，BC与对称轴的交点即点P，此时的周长最小；（3）过点E作轴，进而得到，由三角函数即可求解；【详解】（1）解：将，代入抛物线得，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）由解得：，∴，，设BC的解析式为：，将，代入得，解得：，∴，抛物线的对称轴为：，当点P在BC上时，的周长最小，∴将代入中，，∴．（3）设点，由，可求得CD的解析式为：，过点E作轴，∴，将代入得，，将代入得，，∴，∵轴，∴，∴，∴，当时，最大，∵，∴，∴的取值范围为：．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、三角函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．题型二：面积问题一、单选题1．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设点横坐标为,则点纵坐标为点的纵坐标为轴，∴点纵坐标为∵点是抛物线上的点，∴点横坐标为轴,∴点纵坐标为∵点是抛物线上的点，∴点横坐标为故选：D.2．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为9∶10，则c的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，，由点D是的中点，与的面积比为9∶10，得到，由中点坐标公式得，，，M为顶点，求得点M的横坐标，代入解析式，由纵坐标相等得到关于c的方程，解之即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，，∵点D是的中点，∴，∵与的面积比为9∶10，∴，∴，∵E是的中点，∴由中点坐标公式得，，当时，，∴，∴，∵，，∴，∵M为顶点，∴，将代入得，，解得，故选：C【点睛】此题考查了二次函数的面积综合题，求得是解题的关键．二、解答题3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．设平移的距离为，两个三角形重叠部分(阴影四边形)的面积为(1)当时，求的值．(2)试写出与间的函数关系式，并求的最大值．(3)是否存在的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为：？如果存在，请求出此时的平移距离；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，最大值为(3)或【分析】（1）由正方形的性质得到和都为直角边为的等腰直角三角形，从而判定出也为等腰直角三角形，得到，从而得到的长，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可求出；（2）同理得到从而得到的长为，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可表示出，根据二次函数的性质即可求解；（3）由正方形的性质得到和都为等腰直角三角形，根据直角边方程为和，分别表示出邻边和，进而表示出两者之比等于已知的比值，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】（1）解：如图所示，由题意可知和都为等腰直角三角形，且，，又由平移可知，也为等腰直角三角形，，，又∵，；（2）由题意可知和都为等腰直角三角形，，又由平移可知，也为等腰直角三角形，，当时，有最大值，其最大值为；（3）存在．理由如下：由题意得到和都为等腰直角三角形，，，或，解得：或，或时，重叠部分的四边形的相邻两边之比为．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．4．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）已知关于x的二次函数（m是常数）．(1)若该二次函数的图像经过点，①求m的值；②若该二次函数的图像与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求的面积；(2)若该二次函数的图像与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；【答案】(1)①；②(2)2【分析】（1）①直接利用待定系数法求解，再由二次函数的定义即可得出结果；②先求出二次函数与x轴的交点，然后求面积即可；（2）先确定纵坐标的解析式，然后化为顶点式即可求解．【详解】（1）解：①关于x的二次函数的图像经过点，，整理得，解得，，，，；②，该二次函数表达式为，当时，即，解得，，点B在点C的左侧，点B坐标为，点C坐标为，的面积；（2）当时，，点P的纵坐标为，又∵，，抛物线开口向下，时，y有最大值2，点P纵坐标的最大值为2．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括待定系数法确定解析式，与坐标轴的交点，一般式化为顶点式等，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．5．（2023·安徽安庆·统考一模）如图1，在中，，，，点D在边上（不与点B重合），以为一边作正方形，连接．(1)如图2，当时，①求正方形的边长；②求证：；(2)当点D在上运动时，求面积的最大值．【答案】(1)①，②见解析(2)8【分析】（1）①判定是直角三角形，再用勾股定理即可求得；②根据正方形的性质得到全等条件，可证，从而可得证；（2）过作交的延长线于，可证，从而可证，设长为，则，根据面积公式即可求解．【详解】（1）解：①如图，，，，，是直角三角形，，，，在中；②由①可知，四边形是正方形，，，，，在和中，．（2）解：过作交的延长线于，，，，在和中，，，设长为，则，，，当时，．【点睛】本题考查了动点的二次函数最值、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理等，掌握性质及判定方法，“化动为静”找出函数关系式是解题的关键．6．（2023·安徽池州·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（－1，0），连接AC、BC，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？【答案】(1)(2)t=2时；最小值为4【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC−S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可．【详解】（1）解：∵二次函数y＝−x2＋bx＋c的图象经过点A（3，0），B（−1，0），∴，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝−x2＋2x＋3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，由点P的运动可知：，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图所示：，即H（3−t，0），又∵Q（−1＋t，0），∴S四边形BCPQ＝S△ABC−S△APQ＝×4×3−×[3−(−1＋t)]t＝（t−2）2＋4∵，，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴，∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4．【点睛】本题考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用△ABC的面积减去△APQ的面积得出四边形BCPQ的面积，是解决本题的关键．7．（2023·安徽·九年级专题练习）已知直线与x轴交于A点、与y轴交于B点，点P是线段AB上任意一点．(1)求A、B两点的坐标；(2)设P点的坐标为（m，n），且以P为顶点的抛物线W经过C（﹣2，0）和D（d，0），求m与n的函数关系式及△PCD面积的最大值．【答案】(1)A（6，0），B（0，3）(2)，8【分析】（1）当x＝0时，y＝3可得B点坐标；当y＝0时，x＝6，可得A点坐标；（2）将点P的坐标代入直线AB的解析式，即可得到m和n的函数关系式；由于抛物线是关于对称轴对称的，可得，再表示出△PCD的面积，求最值即可．（1）当x＝0时，y＝3；当y＝0时，即，解得x＝6，∴A（6，0），B（0，3）；（2）∵P在线段AB上，∴，∴m与n的关系式为：，以P为顶点的抛物线W的对称轴为，∵C（﹣2，0），D（d，0）是抛物线与x轴的两交点，∴，∴，∴当时，取得最大值，最大面积为．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合问题，掌握二次函数关于对称轴对称是解题的关键．8．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，和y轴相交于点B，连接、．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)在直线上方的抛物线上，找一点D，使，并求出此时点D的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求出，进而求出，过点作轴于点，利用进行计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点两点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）解：，当时，，∴，∵，∴，∵，∴；如图所示，设在直线上方的抛物线上，找一点的坐标为，作轴于点，连接，则：．即，解得．∴点的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．9．（2023·安徽·校联考一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值；(2)若，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．①是否存在点Р使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；②如图2，连接，相交于点M，当的值最大时，求直线的表达式．【答案】(1)(2)①存在点Р使得，点P的坐标为或②直线的解析式为【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可得，抛物线的顶点纵坐标为，根据，可知，当时，的值最小，最后进行求值即可；（2）①如图1，连接、，由可得抛物线的解析式为，即可求出A、B点的坐标，从而求出的长，再设点P的坐标为可得，根据求出a的值，即可求出点P的坐标；②由图2可知，当的值最大时，则的值最大，设点P的坐标为，再根据，，可得时，有最大值，即可求出点P的坐标，再设直线的解析式为，把P、B的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求出结果．【详解】（1）解：抛物线，∴抛物线的顶点纵坐标为，，，∴当时，的值最小，最小值为，∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是；（2）解：①存在点Р使得，如图1，连接、，当，则，设点P的坐标为，∵抛物线与x轴相交于点A、B，∴时，即，解得：，，∴点B的坐标为，点A的坐标为，，，，，且，，即，解得：，，∵当时，，当时，，∴存在点Р使得，点P的坐标为或；②由图2可知，当的值最大时，的值最大，即的值最大，∵抛物线与y轴相交于点C，当时，，∴点C的坐标为，，由①可知，点B的坐标为，点A的坐标为，，，，，设点P的坐标为，

，，时，有最大值，最大值为2，时，，∴点P的坐标为，设直线的解析式为，∵直线的图象经过点，，∴把P、B的坐标代入解析式可得：，解得，∴直线的解析式为．【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键．10．（2023·安徽六安·校联考一模）已知抛物线：经过点，．(1)求抛物线的解析式．(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于，，两点（其中点在点的左侧），与y轴交于点，连接．为第一象限内抛物线上的一个动点．①当面积最大时，求点的坐标．②抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点，交x轴点于．当点在线段上时，求的取值范围．【答案】(1)(2)①点的坐标为；②【分析】（1）将，，代入得，，求解的值，然后代入即可；（2）①由题意可知平移后抛物线的解析式为．令，则，可得．令，可得，解得或，可得，．如图1，过作轴，交于．设直线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，设，则，，令到的距离为，到的距离为，则，根据，以及，可得的面积最大时的值，进而可得点坐标；②如图2，由题意知，，为等腰直角三角形，则．为等腰直角三角形．计算当点与点、点分别重合时，对应的的值，根据交点从点到点对应的三角形面积逐渐增大，进而可得面积的取值范围．【详解】（1）解：将，，代入得，，解得，，∴抛物线的解析式为．（2）①解：由题意可知平移后抛物线的解析式为．令，则，∴．令，可得，解得或，∴，．如图1，过作轴，交于．设直线的解析式为，将点坐标代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，，令到的距离为，到的距离为，则，∴，∵，∴当时，的面积最大，点的坐标为．②如图2，由题意知，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴．∵，，∴，∴为等腰直角三角形．当点与重合时，．在中，由勾股定理得，∴，

∴；当点与重合时，．在中，由勾股定理得，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与面积综合，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．11．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考一模）如图1，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)点为抛物线上一动点．①如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，连接，．当时，求点的坐标；②如图3，若点在直线上方的抛物线上，连接与交于点，求的最大值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）将，，代入解析式即可得到答案；（2）①根据得到点到直线的距离是点到直线距离的2倍，求出直线的解析式，过点作的平行线与轴交于点，设直线的解析式为：，根据C点坐标求出点，直线解出的解析式，根据平移规律即可得到答案；②过点作轴的平行线与交于点，设点，则点，根据平行得到，表示出，利用函数的性质即可得到答案；【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，，∴，解得：，；（2）①，点到直线的距离是点到直线距离的2倍，令，则，，，，直线的解析式为：，如图，过点作的平行线与轴交于点，设直线的解析式为：，轴，，，在直线上，，，直线的解析式为：，直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线：，则它与抛物线的交点就是满足条件的点，（将直线向上平移4个单位得到直线，它与抛物线没有交点）令，解得：，，当时，；当时，，点的坐标为或；②如图，过点作轴的平行线与交于点，设点，则点，，轴，，，，的最大值为．【点睛】本题考查二次函数综合问题，主要有待定系数法求解析式，动点围成三角形面积问题及线段问题，解题的关键是根据题意列出函数根据函数性质求解．12．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点．(1)试求抛物线和直线的函数解析式；(2)若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为．①请用含的式子表示的面积；②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标．【答案】(1)抛物线和直线的函数解析式分别为，(2)①，②【分析】（1）先得到，，再根据待定系数法求出解析式即可；（2）①令，过点作轴交于点，则，表示出，从而可表示出的面积；②要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，从而可得到点的坐标．【详解】（1）解：经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点，，，代入得：，解得：，，令，解得：，，把、代入得：，解得，，答：抛物线和直线的函数解析式分别为，；（2）解：①令，过点作轴交于点，，则，此时面积为，②，要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，由①得，当时，最大，此时，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，采用数形结合的思想，添加适当的辅助线是解题的关键．13．（2023·安徽宿州·统考二模）已知抛物线：经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上的一个动点．①当面积最大时，求点D的坐标；②抛物线的对称轴交x轴于点G，过点D作于点E，交x轴于点F．当点F在线段上时，求的取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①由面积，即可求解；②证明为等腰直角三角形，则，进而即可求解．【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，故抛物线的解析式为：；（2）解：由题意可知抛物线的表达式为：，当时，，即点，令，解得：或3，即点A、B的坐标分别为：；①由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，过点D作轴交于点H，如图，设点，则点，，∴当时，面积最大，此时点；②由点B、C的坐标知，，则，∴为等腰直角三角形，则，当点F和点A重合时，，则；当点F和点G重合时，，则．∴的取值范围为：．【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移等知识．利用数形结合的思想是解题关键．14．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．15．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．【答案】(1)(2)8，【分析】（1）确定代入解析式计算即可．（2）过点M作轴，垂足为E，交直线于点D，设，则，计算，表示四边形的面积为，构造二次函数计算即可．【详解】（1）∵直线交轴于点，交轴于点，∴，代入解析式得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）过点M作轴，垂足为E，交直线于点D，设，则，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴=，故当时，面积取得最大值，且最大值为8，此时即，∴四边形的面积最大值为8，．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，构造二次函数求面积的最值，熟练掌握待定系数法，正确利用函数解析式表示四边形的面积是解题的关键．16．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，抛物线过点，，且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线的交点(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．【答案】(1)(2)见解析(3)；【分析】（1）将点A、B坐标代入列方程求出a、b即可得；（2）由、且，利用平行线分线段成比例定理可得；（3）利用待定系数法求得直线解析式，从而求得点E的坐标，作轴于点F，轴于点G，设点，根据的面积为列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．【详解】（1）解：将点，代入，得：，解得：，则抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，则、，∵，∴，即；（3）解：∵点、，∴设直线解析式为，则，解得：，∴直线解析式为；当时，，∴，如图，作轴于点F，轴于点G，设点，则的面积为：，，∴当时，S取得最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定义及割补法求三角形的面积．17．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式．(2)若是抛物线上位于第四象限上的点，求点到直线距离的最大值．(3)已知，，线段以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向上平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据经过点，对称轴为直线，分别列方程解出即可；（2）连接，，，过点作轴交于点，设，，表示出的面积，并求出最大值，然后根据面积求点到直线距离的最大值即可；（3）秒后，，，抛物线的解析式为．若抛物线与线段有两个交点，则点在抛物线上（或右侧），且点在抛物线上（或左侧），分类讨论列方程即可．【详解】（1）解：根据题意可得解得∴抛物线的解析式为．（2）解：如图，连接，，，过点作轴交于点．∵抛物线的解析式为，∴，，∴．设，易得直线的解析式为，∴，∴，∴，当时，的面积最大，最大值为，此时点到的距离最大，最大距离为．（3）解：秒后，，，抛物线的解析式为．若抛物线与线段有两个交点，则点在抛物线上（或右侧），且点在抛物线上（或左侧），当点恰好在抛物线上时，则，∴，∴，（舍去）．当点恰好在抛物线上时，则，解得或7（舍去），∴．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、求最大距离、图像的平移等，熟悉二次函数的知识点是解题关键．18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知二次函数，其中．

(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）将代入函数解析式求出函数解析式，接可求出顶点坐标；（2）结合函数解析式求出顶点横坐标，代入解析式即可求得顶点纵坐标，即可求得顶点坐标，结合分析，即可证明；（3）如图，过作轴于，由题意设平移后的函数解析式为，则其顶点坐标横为，代入直线解析式即可求得，由于B在y轴的负半轴故，再由可得，最后根据二次函数的最值即可求解．【详解】（1）解：将代入函数解析式得：，解得：或，，，故函数解析式为：，函数顶点横坐标为：，当时，，；（2）二次函数，顶点的横坐标为：，当时，，，，，，即：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，过作轴于，设平移后的函数解析式为：，其顶点坐标横为：，当时，，则的顶点坐标为：，在直线上，，解得：，，B在y轴的负半轴，，，，，，当时，，此时有最大值，最大值为．

【点睛】此题考查了求二次函数解析式及顶点坐标，平移的性质，函数图象上点的特征，二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握以上知识，综合求解．题型三：角度问题一、解答题1．（2023·安徽宣城·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标；(3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为：，再把点B的坐标代入，求a，即可；（2）先求出，然后分两种情况讨论：当点P在点D的右侧时；当点P在点D的左侧时，分别求出对应的直线的表达式，即可求解；（3）在线段上取点N，使，连接，可得，从而得到，过点N作于点H，先求出，在中，可得，从而得到，进而得到，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵顶点D的坐标为，∴可设抛物线的表达式为：，将点B的坐标代入上式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）解：令，，解得：，∴点，∴，当点P在点D的右侧时，设直线交x轴于点T，如图，∵直线将的面积分成两部分，∴将的面积分成两部分，即点T将分为两部分，∴，∴，即点，设直线的表达式为：，把点，代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，联立：解得：或，∴此时点P的坐标为；当点P在点D的左侧时，同理得，直线的表达式为：，联立，解得：或，∴点P的坐标为，综上，点P的坐标为或；（3）解：如图，在线段上取点N，使，连接，∴，当时，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，过点N作于点H，∵，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，当点Q在x轴下方时，∴，∴点Q的坐标为，∴，∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，∴；当点Q在x轴上方时，同理得，点Q的坐标为，∴，∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，∴；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，三角形的面积问题，解直角三角形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)P（1，3）；(3)存在，D点坐标为（，）．【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由顶点M（0，4），A（−2，0）可得B（2，0），则OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得∠PQR＝∠PRQ＝45°，则PQ＝PR，根据△PQR的面积为2可得PQ＝2，求出直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m，），则Q（m，−m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；（3）过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，证明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，设N（n，−n＋2），则n＝−n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直线AN的解析式为y＝，联立即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点M（0，4），∴设抛物线的解析式为：，∵抛物线与x轴交于A（−2，0），∴4a＋4＝0，解得a＝−1，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵顶点M（0，4），A（−2，0），∴B（2，0），∵点C（0，2），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQy轴，PRx轴，∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，∴PQ＝PR，∵△PQR的面积为2，∴PR·PQ＝＝2，∴PQ＝2，∵C（0，2），∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，代入B（2，0）得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m，），则Q（m，−m＋2），∴PQ＝，解得：m＝1或0（舍去），∴P（1，3）；（3）解：存在；过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，∴∠MNE＝∠ANF，∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，∴MN＝AN，∴△MNE≌△ANF（AAS），∴ME＝AF，NE＝NF，设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，∴4－n＝n＋2，解得：n＝1，∴N（1，1），∵A（−2，0），设直线AN的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴直线AN的解析式为y＝，联立，解得：（舍去）或，∴D点坐标为（，）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；【详解】（1）将代入，化简得，则（舍）或，∴，得：，则．设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为．（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，，∴直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，∴，由直线AG的表达式可得，∴，，∴直线的表达式为，联立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，则，．设，∵，，∴．由，则，即，解之得，．所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，，，又，则．所以．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．二、填空题4．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点．（1）抛物线的解析式为_____________；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________．【答案】或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，再证明，得到，则，据此求解即可．【详解】解：（1）由题意得，∴，∴抛物线解析式为，故答案为：；（2）∵原抛物线解析式为，∴平移后的抛物线解析式为，∴平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．题型四：特殊三角形问题一、单选题1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，若为等边三角形，则a值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，将点代入抛物线解析式，即可求解．【详解】如图，过点C作于点D，∵抛物线的对称轴为为等边三角形，且轴，∴．∵当时，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，等边三角形的性质，得出是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN＝S△AMN．求该抛物线的解析式_____________．【答案】【分析】由点及是等腰直角三角形，可知，，由、两点坐标可求直线，由，可知点纵坐标为，代入直线解析式可求点横坐标，将、、三点坐标代入中，可求抛物线解析式．【详解】解：如图，由抛物线经过，，，，，其中，可知抛物线开口向上，与轴两交点在正半轴，点，是等腰直角三角形，，，设直线解析式为，将、两点坐标代入，得，解得，直线解析式为，，两三角形同底，的高为1，的高为，即点纵坐标为，把代入中，得，即，，把、、三点坐标代入中，得，解得，所以，抛物线解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是根据已知条件判断抛物线开口方向及大致位置，根据特殊三角形求直线解析式，根据面积法求点坐标，运用待定系数法求抛物线解析式．三、解答题3．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点与y轴交于点C，其中点A的坐标为(1)求点B的坐标；(2)若点P在AC下方的抛物线上，且，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是直角三角形？若存在，求出符合条件的G点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，的坐标为或或或．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，点，即可求得点的坐标；（2）待定系数法求得抛物线解析式，进而求得的坐标，求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，设，则，根据建立方程，解方程求得的值，即可求得点的坐标；（3）设，根据勾股定理求得的长，分三种情况讨论，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点，，∴（2）∵抛物线，中，，，∴抛物线解析式为，令，得，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，如图，过点作轴的垂线，交于点，设，则，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴当时，，当时，，∴的坐标为：，；（3）∵抛物线对称轴为，设，由，∴，，，设在抛物线的对称轴上存在点G，使△ACG是直角三角形，则①当为斜边时，即解得：∴的坐标为或②当为斜边时，，即，解得，∴的坐标为，③当为斜边时，，即，解得，∴的坐标为；综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求A点和点B的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；【答案】(1)；(2)是直角三角形，理由见解析．【分析】（1）令进行求解即可；（2）根据（1）以及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点的距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可．【详解】（1）解：当时，，，；（2）解：是直角三角形．理由如下：，，，，，，，△ABC是直角三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，勾股定理的逆运用以及两点距离公式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．5．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市庐阳中学校考期中）如图1的平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边落在y轴的正半轴上，，点A与原点O重合．二次函数的图象恰好经过．(1)求二次函数的解析式；(2)在y轴的正半轴依次取点，，，…，，使得以，，，…，，为斜边的等腰直角三角形，，，…，的顶点，，，…，分别落在二次函数的图象上（如图2）．完成下列填空：______，______；(3)根据（2）观察分析得到的规律，试写出的长：______（用n的代数式表示）．【答案】(1)(2)4，6(3)【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义，先求出点的坐标，再将点的坐标代入即可；（2）分别过点、作y轴的垂线，根据等腰直角三角形的性质，将点、的坐标表示出来，载代入二次函数表达式即可求解；（3）根据（2）观察分析得到的规律，即可进行解答．【详解】（1）解：过点作轴，∵为等腰直角三角形，，，∴，即，解得：，∵轴，∴，根据勾股定理可得：，∴，将点代入得：，∴二次函数的解析式为：．（2）过点作轴，设点，∵为等腰直角三角形，轴，∴，∵．∴，则点，∵点在反比例函数上，∴，解得：或（舍），∴，过点作轴，设点，∵为等腰直角三角形，轴，∴，∵，，∴，则点，∵点在反比例函数上，∴，解得：或（舍），∴，故答案为：4，6．（3），，，……观察地出：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法以及等腰直角三角形三线合一的性质．6．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积．【答案】（1）；（2）存在满足条件的P点，其坐标为；（3）16．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出四边形PBOC的面积，利用二次函数的性质可求得四边形PBOC面积的最大值及P点的坐标【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，-4），∴D（0，-2），∴P点纵坐标为-2，代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）．（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2-3t-4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，-4），∴直线BC解析式为y=x-4，∴F（t，t-4），∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，∴==PF•OE+PF•BE+×OC•BO=PF(OE+BE)+×4×4=PF•OB+8=（-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16，∴当t=2时，最大值为16，此时t2-3t-4=-6，∴当P点坐标为（2，-6）时，四边形PBOC的最大面积为16．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出四边形PBOC的面积是解题的关键．7．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（2，0），B（4，0），C（0，2）(2)①t=1时，有最小值1，此时E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）【分析】（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．【详解】（1）解：在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）解：①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴，，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．【点睛】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，求代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性的问题是注意分类讨论．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．9．（2023·安徽六安·校考二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C（2，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3(2)当t时，S有最大值(3)存在，（﹣2，5）或（1，﹣4）【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），则抛物线的对称轴为x＝1，再利用抛物线的对称性即可求得C点坐标；设抛物线的解析式为交点式y＝a（x﹣3）（x+1），把点A的坐标代入即可求得a的值，从而求得解析式；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标可求得直线AE的表达式；设点P（t，t2﹣2t﹣3），则可得点H的坐标，由△PAE的面积SPH×OE可得关于t的二次函数，即可求得最大值；（3）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），∴C（2，﹣3），设抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），把点A的坐标代入上述解析式中，得﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），∴△PAE的面积SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t），∴当t时，S有最大值；（3）∵OE=OA=3，OE⊥OA，∴∠AEO＝∠EAO=45°，①当∠PEA＝90°时，∵PE⊥AE，∴直线PE与x轴的夹角为45°，∴PE与y轴的夹角为45゜∴PE与y轴交点的坐标为(0，3)设直线PE的表达式为y＝mx+3，将点E的坐标代入并解得m＝−1，∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，联立得，解得x＝﹣2或x=3（不合题意，舍去）故点P的坐标为（﹣2，5），②当∠PAE＝90°时，∵PA⊥AE，∠EAO=45°，∴直线PE与y轴的夹角为45°，∴PE与x轴的夹角为45゜∴PE与x轴交点的坐标为(−3，0)设直线PE的表达式为y＝nx−3，将点(−3，0)代入并解得n＝−1，∴直线PE的表达式为y＝﹣x−3，联立得，解得x＝1或x=0（不合题意，舍去）∴点P（1，﹣4），综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的性质，二次函数的性质及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2022·安徽·统考二模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，点E（，﹣）；（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；③当CM＝PM时，同理可得：m＝；故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，已知抛物线经过A、B（-3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【答案】（1）；（2）M（-1，）；（3），，，【分析】（1）根据待定系数法先把点B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得抛物线的解析式；（2）过C作对称轴x=-1的对称点D，根据OM+CM=OM+MD≤OD，当D、M、O三点共线时其和最短，求出直线OD的解析式为：，求当x=-1时，即可．；（3）设P（-1，m），又因为B（-3，0），C（0，3），PB=，PC=，BC=,再分三种情况，以点P为直角顶点，以点C为直角顶点，以点B为直角顶点分别讨论构造方程,求出符合题意m值，即可求出点P的坐标．【详解】解：（1）把B（-3，0）、C（0，3）分别代入中，

得．∴．∴抛物线的解析式为：；（2）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，作点C（0，3）关于直线x=-1的对称点D（-2，3）．抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，OM+CM=OM+MD≤OD，当D、M、