2024秋高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义课堂演练含解析新人教A版选修1-1

PAGE4-第三章导数及其应用3.1改变率与导数3.1.3导数的几何意义A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点肯定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不肯定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误，D正确．答案：D2．曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1C．y＝eq\f(1,5)x＋1 D．y＝－eq\f(1,5)x－1解析：k＝eq\f(3（1＋Δx）＋（1＋Δx）2－3－12,Δx)＝5.f(1)＝4.由点斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.答案：A3．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0.答案：A4．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：因为f′(1)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.答案：A5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）3－xeq\o\al(3,0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3xeq\o\al(2,0)＋3x0·Δx]＝3xeq\o\al(2,0).因为k＝3，所以3xeq\o\al(2,0)＝3，所以x0＝1或x0＝－1，所以y0＝1或y0＝－1.所以点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．答案：B二、填空题6．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________．解析：设切点为P(x0，y0)，易知，y′＝2x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x0＝－2，,y0＝xeq\o\al(2,0)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝1，))即P(－1，1)．又P(－1，1)在直线2x＋y＋m＝0上，故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.答案：17．曲线f(x)＝eq\f(1,2)x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．解析：f′(x)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(\f(1,2)（x＋Δx）2－\f(1,2)x2,Δx)＝x.因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以x＝1，所以f(1)＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)，切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).故切线方程为y－eq\f(1,2)＝1·(x－1)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.答案：x－y－eq\f(1,2)＝08．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝eq\f(1,2)，又切点在切线上，故f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：3三、解答题9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解：y′＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝xeq\o\al(2,0)＝4，即P(2，4)．设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，则＝2x1＝－eq\f(1,4)，解得x1＝－eq\f(1,8).所以y1＝xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,64)，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64))).故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．解：因为抛物线过点P，所以a＋b＋c＝1，①依据导数的定义知y′＝2ax＋b，所以y′|x＝2＝4a＋b，所以4a＋b＝1，②又抛物线过点Q，所以4a＋2b＋c＝－1，③由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以实数a，b，c的值分别为3，－11，9.B级实力提升1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3)，则b的值为()A．3 B．－3 C．5 D．－5解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3＋a（x＋Δx）＋b－（x3＋ax＋b）,Δx)＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1，3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.答案：A2．已知函数y＝f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1、k2、k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝eq\f(f（2）－f（1）,2－1)，为直线AB的斜率，由图象易知k1>k3>k2.答案：k1>k3>k23．若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解：因为y＝x3＋3ax.所以y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3＋3a（x＋Δx）－x3－3ax,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3＋3aΔx,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已