2024秋高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-2.2.1综合法与分析法自主预习·探新知情景引入夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间是下午4时左右．警方经过三天的深化调查后，最终拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩．直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条漂亮的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么马脚吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？新知导学1.综合法的定义利用__已知条件__和某些数学__定义__、__公理__、__定理__等，经过一系列的__推理论证__，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．2．综合法的特点从“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__导__果__，事实上是找寻“已知”的__必要__条件．3．综合法的基本思路用__P__表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，__Q__表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)其逻辑依据是三段论式演绎推理．4．分析法定义从要证明的__结论__动身，逐步寻求使它成立的__充分__条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．5．分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“__需知__”，执果索因，逐步靠拢“__已知__”，其逐步推理，事实上是要找寻“结论”的__充分__条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题动身，一步一步地探究下去，最终得到一个明显成立的条件．若用__P__表示要证明的结论，则分析法的推理形式为eq\x(P⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件)预习自测1．(2024·烟台期中)分析法是从要证的结论动身，寻求使它成立的(A)A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[解析]∵分析法是逆向逐步找这个结论成立须要具备的充分条件；∴分析法是从要证的结论动身，寻求使它成立的充分条件．故选A．2．(2024·桃城区校级期中)下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句是(C)A．2个 B．3个C．4个 D．5个[解析]依据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．依据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是干脆证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．故选C．3．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为__9__.[解析]∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立．4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab[证明]因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab＝3a2(a－b)＋2b2(b－a＝(3a2－2b2)(a－b即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶用综合法证明不等式典例1(1)若a>b>0，则下列不等式中，总成立的是(A)A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0.所以a2＋b2≥2ab.该证明用的方法是__综合法__.(3)已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).[解析](1)因为a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).(2)由题设知：本题中证明是从已知的不等式(a＋b)2≥0动身，经过推理得出结论，是综合法．(3)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.于是(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2＝eq\f(1,3)，当且仅当a＝b＝c时取等号，原式得证．『规律总结』综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式所依靠的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，(eq\f(a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)；③若a，b∈(0，＋∞)，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特殊地，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，体现了a＋b＋c，a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac这三个式子之间的关系．┃┃跟踪练习1__■在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.求证：B－C＝eq\f(π,2).[证明]由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2).整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<eq\f(3π,4)，从而B－C＝eq\f(π,2).命题方向❷分析法的应用典例2设a、b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[证明]当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥[eq\f(\r(2),2)(a＋b)]2.即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．『规律总结』分析法证明不等式的依据、方法与技巧．(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件困难，结构简洁的不等式的证明，常常用综合法．而对于一些条件简洁、结论困难的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身，逐步寻求使它成立的充分条件，最终得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，肯定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．┃┃跟踪练习2__■已知a>5，求证：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a).[解析]要证eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需证eq\r(a－5)＋eq\r(a)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－3)，只需证(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2<(eq\r(a－2)＋eq\r(a－3))2，即2a＋2eq\r(a2－5a)－5<2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即只需证eq\r(a2－5a)<eq\r(a2－5a＋6)，只需证a2－5a<a2－5即证0<6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．命题方向❸分析法证明不等式典例3(1)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(D)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0(2)(2024·郑州高二检测)已知非零向量a⊥b，证明：eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).[解析](1)∵a2＋b2－1－a2b2＝(a2－a2b2)＋(b2－1)＝a2(1－b2)＋(b2－1)＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)．∴要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证－(a2－1)(b2－1)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，要证eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).只需证：|a|＋|b|≤eq\r(2)|a－b|平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)只需证：|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立．即只需证：(|a|－|b|)2≥0，它明显成立．故原不等式得证．『规律总结』分析法证明不等式的方法与技巧范围：对于一些条件困难，结论简洁的不等式的证明，常常用综合法．而对于一些条件简洁、结论困难的不等式的证明，常用分析法方法：分析法证明不等式的思路是从要证明的不等式动身，逐步寻求它成立的充分条件，最终得到的充分条件是已知(或已证)的不等式应用：用分析法证明数学命题时，肯定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．特殊提示：逆向思索是分析法证明的立体思路，通过反推，逐步探寻使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题得以解决．切记“逆向”“反推”，否则会出现错误．┃┃跟踪练习3__■已知函数f(x)＝x2－2x＋2，若m>n>1，求证：f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))．[解析]要证明f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))，即证(m2－2m＋2)＋(n2－2n＋2)>2[(eq\f(m＋n,2))2－2·eq\f(m＋n,2)＋2]，即证2m2＋2n2>m2＋2mn＋n只需证m2＋n2>2mn，即证(m－n)2>0，因为m>n>1，所以(m－n)2>0明显成立，故原不等式成立．学科核心素养利用分析法、综合法证明问题综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清楚，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法找寻解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．典例4已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[思路分析]本题条件较为简洁，但结论中的等式较为困难，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简洁的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证．[解析]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化简得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证明c2＋a2＝b2＋ac.因为三个内角A，B，C构成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以c2＋a2－b2＝ac，即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．『规律总结』1.有些数学问题的证明，须要把综合法与分析法结合起来运用：依据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；依据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发觉证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程.┃┃跟踪练习4__■在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[证明]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))则x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，从而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥eq\r(b＋1c＋1)，即证a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，也就是证2a≥b＋c，因为2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，则只需证eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成马上可，即b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)·bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立．上式明显成立，故(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．易混易错警示留意隐含条件的挖掘典例5设a＋b＞0，n为偶数，求证：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).[错解]eq\f(bn－1,an