第10章《二元一次方程组》（解析）

2022-2023学年苏科版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第10章《二元一次方程组》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•鼓楼区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（）A． B． C． D．解：由题意可知，关于x，y的方程组的解为：，∴．故选：D．2．（2分）（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有（）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个．故选：C．3．（2分）（2022春•淄博期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去x，可以将①×3+② B．要消去x，可以将①×（﹣3）+② C．要消去y，可以将①×3+② D．要消去y，可以将①×（﹣3）+②解：利用加减消元法解方程组，要消去x，可以将①×（﹣3）+②；要消去y，可以将①×2+②．故选：B．4．（2分）（2022春•喀什地区期末）已知方程组的解是，则a﹣2b的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5解：由题意可得：，解得，∴a﹣2b＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3．故选：A．5．（2分）（2022春•阜平县期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当a＝1时，方程组的解也是方程x+2y＝﹣2的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当x﹣2y＞8时，a＞；④不论a取什么实数，2x+y的值始终不变A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④解：当a＝1时，，①+②得：2x＝8，∴x＝4，代入①得：y＝﹣4．∴x+2y＝4﹣8＝﹣4≠﹣2，∴①错误．∵x＝y，∴，由②得：a＝﹣．∴②正确．∵，∴①+②得：2x＝2a+6，∴x＝a+3．①﹣②得：2y＝﹣4a﹣4，∴x﹣2y＝a+3+4a+4＝5a+7＞8，∴a＞．∴③正确．∵2x+y＝2a+6+（﹣2a﹣2）＝4．∵不含a，∴不论a取何值，2x+y的值不变．∴④正确．∴②③④正确．故选：D．6．（2分）（2021春•嘉兴期中）小雯去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数，且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小雯问是不是27元，但收银员却说一共48元，小雯仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，那么小雯实际的购买情况是（）A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子解：设购买了笔x件，则购买了本子（5﹣x）件，笔的单价为a元，本子的单价为b元，由题意得：，当x＝1时，原方程组为：，解得：，符合题意；当x＝2时，原方程组为：，解得：，不符合题意，舍去；当x＝3时，原方程组为：，解得：，不符合题意，舍去；当x＝4时，原方程组为：，解得：，不符合题意，舍去；∴当x＝1时，5﹣x＝4，∴小雯购买了1支笔，4本本子，故选：A．7．（2分）（2021春•饶平县校级期末）若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为（）A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3解：，①+②得，（m+1）x＝8，解得x＝，把x＝代入①得，﹣y＝2，解得y＝，∵方程组的解是非负整数，∴，解不等式①得，m＞﹣1，解不等式②得，m≤3，所以，﹣1＜m≤3，∵x、y是整数，∴m+1是8的因数，∴正整数m是1、3．故选：D．8．（2分）（2021•武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故选：B．9．（2分）（2020•兰州）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A． B． C． D．解：根据题意可得：，故选：A．10．（2分）（2022春•南关区期末）已知．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程的解可能是（）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05解：由题意可以断定是一次函数，∵当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0；∴y＝0时，x的取值范围是1.5＜x＜1.8；故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021秋•百色期末）已知方程组中，a，b互为相反数，则m＝3．解：由题意得：，①+②得：2a＝6，解得：a＝3，把a＝3代入①中得：3﹣b＝6，解得：b＝﹣3，把a＝3，b＝﹣3代入方程2a+b＝m中得：2×3+（﹣3）＝m，解得：m＝3，故答案为：3．12．（2分）（2022春•思明区校级期末）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，在《九章算术》中记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就用矩阵表示．例如：对于二元一次方程组，我们把x，y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将②×5，则得到矩阵，用加减消元法可以消去y，解二元一次方程组时，我们要用加减消元法消去x，得到的矩阵是．解：根据题意可得矩阵．故答案为：．13．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x与y的和为4，则m的值为2．解：，①+②得2x+2y＝2m+4，即x+y＝m+2，∵x与y的和为4，∴m+2＝4，∴m＝2．故答案为：2．14．（2分）（2022春•新建区校级期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系∠BCD：∠BAC＝2：3．解：∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，，|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0，，∴a＝3，b＝1；设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∠BAN＝45°，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，过点C作CH∥PQ，如图所示：又∵PQ∥MN，∴CH∥PQ∥MN，∴∠BCH＝∠CBD，∠HCA＝∠CAN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣180°+2t＝2t﹣90°，∴∠BCD：∠BAC＝2：3；故答案为：∠BCD：∠BAC＝2：3．15．（2分）（2022春•丹凤县期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2m﹣n＝5．解：，，①+②得：2x＝n﹣1，③+④得：2x＝m+2，①﹣②得：﹣4y＝﹣1﹣n即4y＝1+n，③﹣④得：2y＝m﹣2即4y＝2m﹣4，联立方程组，解得：，∴2m﹣n＝2×8﹣11＝5．故答案为：5．16．（2分）（2022春•齐齐哈尔期末）若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为．解：方程组与方程组的可看作同解方程组，∴，解方程组得．故答案为：得．17．（2分）（2022春•江阴市期中）已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是．解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，当3+2m＝0时，解得m＝﹣，将m＝﹣代入方程得，0×x+（﹣﹣2）y＝﹣﹣9，解得y＝3；当m﹣2＝0时，解得m＝2，将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，解得x＝﹣1，∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，故答案为：．18．（2分）（2022春•恩阳区期中）在五四青年节来临之际，某商家拟推出收费定制个性青年礼品，礼品主要包含三种：高端钢笔礼盒、学生运动手表和创意水杯，如果定制高端钢笔礼盒3个、学生运动手表2只和创意水杯5个，需付人民币315元；如果定制高端钢笔礼盒2个、学生运动手表1只和创意水杯1个，需付人民币220元；某人想定制高端钢笔礼盒4个、学生运动手表3只和创意水杯9个共需付人民币410元．解：设定制1个高端钢笔需要x元，1个学生运动手表需要y元，1个创意水杯需要z元，依题意得：，①×2﹣②×，得4x+3y+9z＝410．故答案为：410．19．（2分）（2021秋•九龙坡区校级期末）俗话说“过了腊八就是年”某食品公司为迎合不同顾客的需求，在腊八节前夕推出了甲、乙、丙三种杂粮礼盒．已知甲种礼盒与乙种礼盒的成本之比为1：2，售价之比为12：25，其中卖出一盒乙礼盒的利润率为25%，卖出一盒丙礼盒的利润率为37.5%，当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为5：4：3时，公司得到的总利润率为30%，则当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为10：5：1时，该公司得到的总利润率为25%．解：设甲种礼盒与乙种礼盒的成本分别为a元，2a元，售价分别为12b元，25b元，∵×100%＝25%，整理得，a＝10b，∴×100%＝20%，∴卖出一盒甲礼盒的利润率为20%．∴甲种礼盒的成本为每盒10b元，乙种礼盒每盒20b元，丙种礼盒每盒y元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为5m盒、4m盒、3m盒，则＝30%，整理得，y＝40b，设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为10n盒、5n盒、n盒，则＝25%，故答案为：25%．20．（2分）（2021春•巴南区校级月考）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合果仁．其中，甲种混合果仁每袋装有3千克A原料，1千克B原料，1千克C原料；乙种混合果仁每袋装有1千克A原料，2千克B原料，2千克C原料．甲、乙两种袋装混合果仁每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种原料的成本价之和．已知每袋甲种混合果仁的成本是每千克A种原料成本的10倍，每袋乙种混合果仁售价比每袋甲种混合果仁售价高20%，乙种袋混合果仁的销售利润为20%，当电商销售甲乙两种混合果仁的袋数之比为3：4时，求销售这两款袋装混合果仁的销售利润率为30%．解：设A、B、C的成本分别为a、b、c，∴甲成本＝3a+b+c，乙成本＝a+2b+2c，∵甲成本＝10a，∴10a＝3a+b+c，∴b+c＝7a，∴乙成本＝a+2×7a＝15a，再设甲每袋售价为x元，则乙每袋售价1.2x元，∵＝20%，∴x＝15a，∴甲售价＝15a，乙售价＝18a，∴当甲，乙销售袋数比为3：4时，利润率为＝30%．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．（1）请判断关于x，y的方程组是否为“奇妙方程组”，并说明理由；（2）如果关于x，y的方程组是“奇妙方程组，求a的值．解：（1）是奇妙方程组，理由如下：，②﹣①得x+y＝0，∴原方程组是“奇妙方程组”；（2）∵该方程组是奇妙方程组，∴x＝﹣y，∴原方程组可化为，①+②，得6﹣a+4a＝0，∴a＝﹣2，即a的值为﹣2．22．（6分）（2022春•德化县期中）沙金红杏，亦称清徐红杏，是山西省太原市清徐县特产，全国农产品地理标志．以个大形圆，核小皮薄肉厚，甜酸可口而著称，种植历史已有1200多年．某销售商为了扩大销售，对840kg沙金红杏进行线上、线下销售．包装方式及售价如图所示．假设用这两种包装方式恰好包装完所有的沙金红杏．（1）若销售s盒线下礼盒装和s盒线上纸盒装沙金红杏的销售收入共1070元，求s的值．（2）当销售总收入为16240元时，①若这批沙金红杏全部售完，请问线下礼盒装共包装了多少盒？线上纸盒装共包装了多少盒？②若该销售商留下m（m＞0）盒线下礼盒装送人，剩余沙金红杏全部售出，求m的值．解：（1）由题意，得88s+126s＝1070，解得s＝5，答：s的值为5．（2）①设线下礼盒装共包装了x盒，线上礼盒装共包装了y盒，由题意，得，解得：．答：线下礼盒装共包装了70盒，线上礼盒装共包装了80盒．②由4x+7y＝840，可得x＝，由于销售总收入为16240元，所以除去留下的m箱礼盒装，由题意得，88×（﹣m）+126y＝16240，解得：y＝80﹣m，∵x，y，m都是整数，且x≥0，y≥0，m＞0，∴m＝14，x＝147，y＝36，∴m的值为14．答：m的值为14．23．（6分）（2021春•天心区校级月考）关于x，y的二元一次方程组ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值；（2）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．解：（1）代入方程得：3a+b＝c，∵b＝a+1，c＝b+1，∴b＝c﹣1，a＝c﹣2，∴3c﹣6+c﹣1＝c．∴c＝．（2）证明：由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．∴仅当a＝1时，该方程有正整数解．24．（6分）（2021春•江源区期末）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．由题意，得：．解得：．答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元．（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算．理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）＝315（元），在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10＝310（元），∵310＜315，∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算．25．（10分）（2021春•余姚市校级期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.5元/分钟1元/公里注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元．小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同．（1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟；（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间．解：（1）设小王乘车时间为x分钟，小张乘车时间为y分钟．∴小王乘车费为（0.5x+12）元，小张乘车费为（0.5y+16+1）元．根据题意可知，0.5x+12＝0.5y+15，整理得x﹣y＝10．∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）由（1）知小张乘车时间为y分钟，小张等候时间为3y分钟，x＝3y﹣16．代入（1）中所得，可知，3y﹣16﹣y＝10，解得y＝13，∴x＝3y﹣16＝23．∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟．26．（8分）（2019春•岳麓区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；（3）若（4x+2）2y＝1，直接写出k的值；（4）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．解：（1）②+①，得4x＝2k﹣1，即x＝；②﹣①，得2y＝﹣4k+3即y＝所以原方程组的解为（2）方程组的解x、y满足x+y＞5，所以+＞5，整理得﹣6k＞15，所以k＜﹣；（3）由于a0＝1（a≠0），（4x+2）2y＝1，所以2y＝0，即2×＝0解得：k＝；因为1n＝1，（4x+2）2y＝1，所以4x+2＝1即4×+2＝1解，得k＝0．因为（﹣1）2n＝1（n为正整数），（4x+2）2y＝1，所以4x+2＝﹣1，2y为偶数所以4×+2＝﹣1解，得k＝﹣1．当k＝﹣1时，2y＝2×＝7为奇数，不合题意，舍去．所以当k＝0或时，（4x+2）2y＝1．（4）m＝2x﹣3y＝2×﹣3×＝7k﹣5即m＝7k﹣5∴k＝由于k≤1∴≤1解得m≤2又因为m为正整数，所以m＝1或2．答：m的值为1或2．27．（8分）（2019春•长春期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？解：（1）如果加工竖式铁容器与横式