第26讲 二元一次不定方程

第26讲二元一次不定方程一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由．（1）2x+6y=5；（2）4x+6y=8；（3）3x+5=6y+11；（4）．2.求下列二元一次方程的解．（1）2x+6y=7；（2）-3x-3=4y+6．3.求下列二元一次方程的整数解．（1）5x+10y=20；（2）3x-4y=7；（3）4x+7y=8；（4）13x+30y=4．4.求下列方程的正整数解．（1）11x+15y=20：（2）2x+5y=21；（3）5x-2y=3：（4）5x+8y=32．5.试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．6.小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月?

答案解析部分一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.【答案】（1）解：∵2和6的最大公约数为2，25，

∴原方程无整数解.

（2）解：∵2和6的最大公约数为2，而2|8，

∴原方程有整数解.

（3）解：∵3x+5=6y+11；

∴3x-6y=6；

∵3和6的最大公约数为3，而3|6，

∴原方程有整数解.

（4）解：变形为：3x+2y=11，

∵3和2的最大公约数为1，而1|11，

∴原方程有整数解.【解析】【分析】对于整系数方程ax+by=c，a与b的最大公约数为d，由定理1可知：若d|c，则原方程有整数解；若dc,则原方程没有整数解．2.【答案】（1）解：∵2x+6y=7，

∴x=，

∴原方程的解为：，（k为任意数）.

（2）解：∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9，

∴x=-=-3-，

∴原方程的解为：，（k为任意数）.【解析】【分析】将其中的一个未知数看作常数，解出另一个未知数，看作常数的未知数取为任意数，从而可得原方程的解.3.【答案】（1）解：由5x+10y=20得x+2y=4，

∴x=4-2y，

∴x=0，y=2是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.

（2）解：∵3x-4y=7，

∴x==2+y+，

∵x为整数，

∴3|1+y，

∴y=2，x=5，

∴x=5，y=2是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.

（3）解：∵4x+7y=8，

∴x==2-，

∵x为整数，

∴4|7y，

∴y=4，x=-5，

∴x=-5，y=4是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.

（4）解：∵13x+30y=4，

∴x==1-2y-，

∵x为整数，

∴13|9+4y，

∴y=1，x=-2，

∴x=-2，y=1是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c，我们知道，若ax+by=c有解，则a与b的最大公约数d|c．这时，我们可以在原方程的两边同时约去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．这时a1与b1的最大公约数为1．因此，只要讨论d=1的情况即可．我们有如下的定理：

定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数)．因此，当d=1时，ax+by=c有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.【答案】（1）解：∵11x+15y=20，

∴x==2-y-，

∵x是整数，

∴11|2+4y，

∴y=5，x=-5，

∴x=-5，y=5是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：＜k＜，

∴不存在整数k，

∴原方程无正整数解.

（2）解：∵2x+5y=21，

∴x==10-3y+，

∵x是整数，

∴2|1+y，

∴y=1，x=8，

∴x=8，y=1是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=-1，或k=0，

∴原方程正整数解为：或.

（3）解：解：∵5x-2y=3，

∴x=，

∵x是整数，

∴5|3+2y，

∴y=1，x=1，

∴x=1，y=1是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：k＜，

∴原方程正整数解为：（k=0，1，2，3……）.

（4）解：∵5x+8y=32，

∴x==6-2y+（1+y），

∵x是整数，

∴1+y是5的倍数，

∴y=4，x=0，

∴x=0，y=4是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：0＜k＜，

∴不存在整数k，

∴原方程无正整数解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代人通解，即得这个不定方程的所有正整数解．5.【答案】解：依题可设：

100=11x+17y，

原题转换成求这个方程的正整数解，

∴x==9-2y+，

∵x是整数，

∴11|1+5y，

∴y=2，x=6，

∴x=6，y=2是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=0，

∴原方程正整数解为：.

∴100=66+34.

【解析】【分析】根据题意可得：100=11x+17y，从而将原题转换成求这个方程的正整数解；求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代人通解，即得这个不定方程的所有正整数解．6.【答案】解：设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，依题可得：

470x+350y=7620，

化简为：47x+35y=762，

∴x==16-y+，

∵x是整数，

∴47|10+12y，

∴y=7，x=11，

∴x=11，y=7是原方程的一组解，

∴原方程的整数解为：（k为任意整数），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

k=0，

∴原方程正整数解为：.

答：他在甲公司打工11个月，在乙公司打工7个月.

【解析】【分析】设他在甲公司打工x个月，在乙公司打