第21讲 质数和合数 （教师版）

第21讲质数和合数（教师版）一、第21讲质数和合数1.四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数．求它们的和．【答案】解：最小的奇质数是3，唯一的一个偶质数是2，小于30的最大质数是29，大于70的最小质数是71．

因此，它们的和为3+2+29+71=105．【解析】【分析】在解有关质数的问题时，知道一些小常识是有用的，如1既非质数又非合数，2是唯一的偶质数，也是最小的质数，3是最小的奇质数等．另外，200以内的质数共有25个，它们为：2、3、5、7、I1、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，53、59、61、67、71、73，79183、89、97。2.有7个不同的质数，它们的和是60．其中最小的是多少?【答案】解：若7个不同的质数都是奇质数，则它们的和必为奇数，不可能等于60，所以这7个不同的质数中有偶数，而我们知道2是唯一的偶质数，所以这7个质数中必有2；2又是所有质数中最小的，所以这7个质数中最小的质数就是2．

【解析】【分析】本题利用了2是唯一的偶质数和最小的质数这一特性．不难得出这7个质数是2、3、5、7、11、13、19．3.若n为正整数，n+3与n+7都是质数．求n除以3所得的余数．【答案】解：我们知道n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种；若余数为0，即n=3k(k是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3|n+3．又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，即n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3|n+7；n+7不是质数，与题设矛盾．

所以，n除以3所得的余数只能为1．【解析】【分析】一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m-1，共m种．将整数按除以m所得的余数分类，可以分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数，另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，对m=3时，就可将整数分为三类．即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是数论中的一种重要思想方法，有着广泛的应用．4.设n1与n2是任意两个大于3的质数，N1=n12−1,N2=n22−1,N1与N2的最大公约数至少为多少?

【答案】解：∵n1是大于3的质数，

∴n1不是3的倍数，n1=3k+1或3k+2，

在n1=3k+1时，n1-1=3k是3的倍数；

在n1=3k+2时，n1+1=3k+3是3的倍数；

无论哪种情况，N1=n1−1=(n1+1)(n1−1)都是3的倍数．

又∵n1是奇数，

∴n1=4k+1或4k+3．

在n1=4k+1时，n1+1=4k+2是2的倍数，n1-1=4k是4的倍数，

所以N1是8的倍数．在n1=4k+3时，同理可得N1是8的倍数．

由于3与8互质，故24|N1．

同理，24|N2．

另外，取n1=5，则N1=24．

综上所述，N1与N2的最大公约数至少为24．

【解析】【分析】从上例中，我们可以得到两个重要结论：

(1)若n不是3的倍数，则n2除以3，余数为1．(2)若n是奇数，则n2除以8，余数为1．5.有人说：“任何七个连续的整数中一定有质数”．对吗?【答案】解：不对．

如90、91、92、93、94、95、96这七个连续整数全部是合数，没有质数．【解析】【分析】合数：因数除了1和它本身之外还有其他因数的数；质数：因数只有1和它本身的数.由此分析即可.6.设自然数n1>n2，且有n12−n22=79，试求n1与n2的值．

【答案】解：依题可得：

n12−n22=(n1+n2)(n1−n2)=79，

∵整数n1>n2，

∴n1+n2与n1−n2都是正整数，

又∵79是一个质数，由质数的性质，及n1+n2>n1-n2得：

，

解得：.

【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据质数的性质列出二元一次方程组，解之即可.7.n是不小于40的偶数．试证明：n总可以表示成两个奇合数的和．

【答案】证明：因为n是偶数，所以，n的个位数字必为0、2、4、6、8中的某一个．(1)若n的个位数字为0，则n=15+5k(k≥5为奇数)．(2)若n的个位数字为2，则n=27+5k(k≥3为奇数)．(3)若n的个位数字为4，则n=9+5k(k≥7为奇数)．(4)若n的个位数字为6，则n=21+5k(k≥5为奇数)．(5)若n的个位数字为8，则n=33+5k(k≥3为奇数)．综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数之和．【解析】【分析】奇合数：指不能被2整除的合数；即除了偶合数之外的其余合数都是奇合数.根据偶数定义可知n的个位数字必为0、2、4、6、8中的某一个，分情况讨论，即可得证.8.证明有无穷多个n，使多项式n2+3n+7(1)表示合数；(2)是11的倍数．【答案】证明：只需证（2）当n=11k+1(k≥1)时，多项式

n2+3n+7=(11k+1)2+3(11k+1)+7

=11(11k2+5k+1).∴是11