第5讲 一次方程组的应用（教师版）

第5讲一次方程组的应用——例题（教师版）一、解答题1.设二元一次方程2x+y-4=0，x-y+3=0，x+2y-k=0有公共解．求k的值．【答案】解：它们的公共解是方程组的解

解这个方程组，得

代入x+2y-k=0得:从而k=7【解析】【分析】根据“公共解”的意义，可先将不含k的两个方程联立解方程组，可求得X、y的值，再把求得的X、y的值代人方程x+2y-k=0中，即可求得k的值．2.一个自然数减去63后是一个平方数；加上26后，也是一个平方数．求这个自然数．【答案】解:设这个自然数为x，它加上26后为a2，减去63后为b2，其中a、b为正整数，即

①-②得

即

显然a+b>a-b>0．因为89为质数，它的正因数只有1和89，所以由③，必有

解得

因此x=452−26=2025−26=1999

所以，这个自然数为1999．【解析】【分析】本题是一次方程组在数论中的应用．这种题目，通常给出的是一个不定方程或不定方程组，但根据整数的一些性质(特别是分解自然数为质因数的乘积)，往往可以化为一次方程组来求解．3.两个自然数的和与差相乘，积为84．求这两个自然数．【答案】解:设这两个数中较大的一个为x，较小的一个为y，依题意，有(x+y)(x—y)=84．

84=223×7．(x+y)与(x—y)必定同为奇数或同为偶数，而84是偶数，所以(x+y)与(x—y)同为偶数．注意x+y>x-y，我们有

或

解这两个方程组，易得或

所以，这两个数为22、20或10、4【解析】【分析】由题意可得相等关系：两个自然数的和两个自然数的差=84；而84是偶数，可分解因数84=37，所以(x+y)与(x—y)同为偶数．且x+y>x-y，则可得方程组x+y=2×3×7，x−y=2；或x+y=2×7，x−y=2×3；解方程组即可求解。4.代数式ax2+bx+c在x=0、1、2时的值分别是-2、2、8.求a、b、c，并求x=-1时，这个代数式的值

【答案】解：由题意，有解得a=1,b=3,c=-2所以，x=-1时，这个代数值为【解析】【分析】本题是用待定系数法解题的一个例子．用待定系数法解题时，往往根据题设，把问题归结为一个一次方程组．由题意将x=0、1、2时代数式的值分别是-2、2、8分别带入代数式ax2+bx+c可得关于a、b、c的方程组，解这个方程组即可求得a、b、c的值，再将x=-1带入这个代数式即可求解。5.已知方程组

小明正确解得，而小亮粗心，把c给看错了，他解得，试求a、b、c【答案】解:由题意,知是原方程组的解，因此，将它们代入原方程组，有2a+3b=3，5×2—3c==1．

小亮只把c看错，所以x=3，y=6是方程ax+by=3的一个解，从而有3a+6b=3．

因此，我们得方程组

解得

答a、b、c分别为3、-l、3．【解析】【分析】由题意小明的解是正确的，把小明求得的x、y的值带入方程组可得关于a、b、c的方程组：2a+3b=3，5×2—3c==1；小亮看错了c，但没看错a、b，所以将小亮的解带入方程①可得关于a、b的方程：3a+6b=3；将这三个方程联立解方程组即可求解。6.若与的值互为相反数，试求x与y的值．【答案】解：而根据已知，它们互为相反数，所以一定都是0，即解得x=-1,y=5【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性以及相反数的和为0可得关于x、y的方程组：x+y-4=0，2x-y+7=0；解方程组即可求解。7.是关于x、y、z的方程的一个解．试求a、b、c的值．【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得

由于,..

因此必有

即

解得a=3，b=1，c=-1.【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz−1=0，bz+cx−3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。

8.已知与是同类项，求以a与b的值．【答案】解:由同类项的意义，得

a=3,b=1【解析】【分析】同类项是指所含字母相同，相同字母的指数也相同的代数式。由同类项的定义可得关于a、b的方程组，解这个方程组即可求解。9.已知xyz≠0，且z+2y+z=0，5x+4y-4z=0，求的值【答案】解:把z看作常数，解关于