2025年牛津译林版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年牛津译林版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】长方体的三个相邻面的面积分别是这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.2、【题文】已知三条不重合的直线两个不重合的平面有下列命题：

①若且则

②若且则

③若则

④若则

其中真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.13、【题文】对函数作=h(t)的代换，则不改变函数值域的代换是（）A.h(t)=10tB.h(t)=t2C.h(t)=sintD.h(t)=log2t4、遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A.B.C.D.5、已知点M（a，b）在直线3x+4y-20=0上，则的最小值为（）A.3B.4C.5D.66、已知△ABC的面积为则△ABC的周长为（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、若an=1+2+3++n，则Sn为数列的前n项和，则Sn=____．8、函数＝的值域为．9、如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影．给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是．10、【题文】不等式的解集是____．11、【题文】．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__12、关于函数y=log4（x2﹣2x+5）有以下4个结论：其中正确的有____①定义域为R；②递增区间为[1；+∞）；

③最小值为1；④图像恒在x轴的下方．13、若向量=（2，3）与向量=（-4，y）共线，则y=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共3题，共27分)21、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．22、已知关于x的方程：

（1）求证：无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2-x1=2，求m的值及相应的x1、x2．23、（2015秋•太原校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连结FG．若FG=，∠E=30°，则GE=____．评卷人得分五、解答题(共1题，共3分)24、已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1，n∈N*．

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）是否存在正整数k，使ak，S2k-1，a4k成等比数列？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．评卷人得分六、综合题(共1题，共9分)25、二次函数的图象的顶点坐标是，它与x轴的一个交点B的坐标是（-2，0），另一个交点的是C，它与y轴相交于D，O为坐标原点．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB∽△DOC？若存在，试求出过P、B两点的直线的解析式；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【解析】

试题分析：设长方体的一个顶点上的三条棱长分别为则所以于是而它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的体对角线的长是=所以球的半径是这个球的表面积为故选C.

考点：1.空间几何体的表面积；2.球的内接多面体的问题.【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

试题分析：①中的直线可能平行；相交或异面；故不正确；

②中由垂直于同一直线的两平面平行可得

③中的可能相交；故不正确；

④中由面面垂直的性质定理知正确；综上②④正确.

考点：直线、平面之间的位置关系.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】本题主要考查的是函数的值域。因为作=h(t)的代换后，要不改变函数值域，应当使=h(t)的值域为又所以应选D。【解析】【答案】D4、C【分析】【解答】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B中代入得到的结论为5，不符合题意。再看x=55,那么可知且=[6]=6；而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C.

【分析】要读懂读明白题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法，属于中档题，考查了分析问题和解决问题的能力。5、B【分析】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y-20=0上；

则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离；

而原点到直线的距离d==4；

则的最小值为：4．

故选：B．

考虑a2+b2的几何意义；利用转化思想，求出原点到直线3x+4y-20=0的距离即可．

本题考查点到直线的距离公式，也利用利用二次函数的性质求解，考查计算能力，是基础题．【解析】【答案】B6、C【分析】解：由题意可得AB•BCsin∠ABC=即AB•BC•=∴AB•BC=4．

再由余弦定理可得=AB2+BC2-2AB•BCcos=AB2+BC2-AB•BC=AB2+BC2-4；

∴AB2+BC2=16；

∴（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=16+8=24，∴AB+BC=2．

∴△ABC的周长等于AB+BC+AC=2+2

故选：C．

根据三角形的面积等于求出AB•BC=2，再由余弦定理可得AB2+BC2=5，由此求得AB+BC=3，再由AC=2求出周长．

本题主要考查解三角形问题，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】

由题意可得，

∴

∴Sn=a1+a2++an

=

=

故答案为：

【解析】【答案】利用等差数列的前n项和公式可求an，进而求最后利用裂项求和求解数列的和即可．

8、略

【分析】试题分析：由于因此因此的值域为考点：与对数函数有关的值域．【解析】【答案】9、略

【分析】试题分析：所在的平面又为圆的直径，是圆上的一点，又平面平面又平面又平面即①正确；又故不与平面垂直，即④错误；又同理可证平面平面即②正确；由平面平面知，即③正确；故答案为①②③.考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理.【解析】【答案】①②③10、略

【分析】【解析】

试题分析：不等式可变形为：所以

考点：指数不等式.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】与互为反函数，则【解析】【答案】12、①②③【分析】【解答】解：因为x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4＞0，所以定义域为R；y=x2﹣2x+5的增区间是[1，+∞），故函数y=log4（x2﹣2x+5）的递增区间为[1；+∞）；

ymin=log44=1；

因为函数的最小值是1；故图像都在x轴的上方．

故答案为：①②③．

【分析】根据真数大于零求定义域，根据复合函数的单调性的判断方法求单调区间，结合单调性求最值，结合单调性和最值判断图像13、略

【分析】解：向量=（2，3）与向量=（-4；y）共线；

可得-12-2y=0；

解得y=-6．

故答案为：-6．

直接利用向量共线的充要条件；列出方程求解即可．

本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．【解析】-6三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、计算题(共3题，共27分)21、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．22、略

【分析】【分析】（1）由于题目证明无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根，所以只要证明方程的判别式是非负数即可；

（2）首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，然后把x2-x1=2的两边平方，接着利用完全平方公式变形就可以利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．【解析】【解答】（1）证明：∵=2m2-4m+4=2（m-1）2+2；

∵无论m为什么实数时，总有2（m-1）2≥0；

∴2（m-1）2+2＞0；

∴△＞0；

∴无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）解：∵x2-x1=2；

∴（x2-x1）2=4，而x1+x2=m-2，x1•x2=-；

∴（m-2）2+m2=4；

∴m=0或m=2；

当m=0时，解得x1=-2，x2=0；

当m=2时，解得x1=-1，x2=1．23、略

【分析】【分析】作DH∥AC交BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，再根据平行线的性质得∠BHD=∠ACB，则∠B=∠BHD，所以DB=DH，加上DB=CE，所以DH=CE，于是可根据“AAS”可证明△DHF≌△ECF，得到DF=EF，则GF为斜边DE上的中线，所以DE=2GF=2，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可求出GE．【解析】【解答】解：作DH∥AC交BC于H；如图；

∵AB=AC；

∴∠B=∠ACB；

∵DH∥AC；

∴∠BHD=∠ACB；∠E=∠EDH；

∴∠B=∠BHD；

∴DB=DH；

而DB=CE；

∴DH=CE；

在△DHF和△ECF中；

；

∴△DHF≌△ECF；

∴DF=EF；

∵DG⊥AC；

∴∠DGE=90°；

∵GF为斜边DE上的中线；

∴DE=2GF=2；

而∠E=30°；

∴DG=DE=；

∴GE=DG=．

故答案为．五、解答题(共1题，共3分)24、略

【分析】

（1）将n=1代入式子即可求解；

（2）由an+1=2+1得令n取n-1代入上式可得两个式子相减后进行化简，利用等差数列的定义判断，再由等差数列的通项公式求出an；

（3）先假设