第03讲-等比数列及其前n项和-(高频精讲)(原卷版)

第03讲等比数列及其前项和目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 2高频考点一：等比数列定义 2高频考点二：等比中项 3高频考点三：等比数列通项公式 4角度1：等比数列基本量计算 4角度2：定义法证明或判断 5高频考点四：等比数列的性质 5高频考点五：等比数列的函数特征 6角度1：等比数列的单调性 6角度2：求等比数列的最大（小）项 7高频考点六：等比数列的前项和基本量计算 7高频考点七：等比数列的前项和性质 8角度1：等比数列片段和性质 8角度2：等比数列奇偶项和 9第四部分：数学文化题 9第五部分：高考新题型（开放性试题） 11温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1.等比数列的概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.(2)等比中项如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.2.等比数列的有关公式(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.3.等比数列的性质设数列是等比数列，是其前项和．(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．32．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2022·全国（甲卷文理）·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等比数列定义典型例题例题1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．练透核心考点1．（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.高频考点二：等比中项典型例题例题1．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）在各项为正数的数列中，，，则________．练透核心考点1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（

）A．或 B．2或 C． D．2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列中，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．9高频考点三：等比数列通项公式角度1：等比数列基本量计算例题1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．角度2：定义法证明或判断典型例题例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．练透核心考点三1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等比数列满足，，则的公比（

）A． B．或 C．或 D．或2．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知等比数列的前三项和为，则（

）A．81 B．243 C．27 D．7293．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．1924．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）数列中，，，则等于（

）A．18 B．27 C．36 D．545．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）若正项数列满足，则（

）A． B．1 C．6 D．12高频考点四：等比数列的性质典型例题例题1．（2023·河南驻马店·统考二模）设等比数列的前项之积为，若，，则=（

）A．2 B．4 C．8 D．16例题3．（多选）（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，则__________.练透核心考点1．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）等比数列的各项均为正数，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若已知，求的值.3．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.高频考点五：等比数列的函数特征角度1：等比数列的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比为．若为递增数列且，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取最小值时，的值是___________．例题3．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③.写出一个满足上述三个条件的的公比：__________.角度2：求等比数列的最大（小）项典型例题例题1．（多选）（2023·高二课时练习）已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前项的积为，则当取得最大值时，（

）A．8 B．9 C．10 D．11例题2．（2023春·高二课时练习）设正项等比数列的前项和为，，若，则数列中最大的项为_____.练透核心考点五1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值2．（多选）（2023春·高二课时练习）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的3．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项=________.高频考点六：等比数列的前项和基本量计算典型例题例题1．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前项和，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A． B．5 C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．127 B．254 C．510 D．2552．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列中，为数列的前n项和，，，则＝_______3．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________.高频考点七：等比数列的前项和性质角度1：等比数列片段和性质典型例题例题1．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21例题2．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）等比数列的前项和是,且,若,则(

)A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．角度2：等比数列奇偶项和典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.练透核心考点七1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A． B．43 C． D．412．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．733．（2023春·江西上饶·高二校考阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（）A．90 B．50C．40 D．30（2023·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.第四部分：数学文化题1．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，，数列的前项和为.则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．15 B．20 C．24 D．273．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论､新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师JohnWheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.koch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；同样的制作步骤重复下去，可以得到，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线.若下图中的边长为1，则图形的周长为（

）A．6 B． C． D．4．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（

）．A． B． C． D．5．（2023·全国·高二专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可