第一节 定积分的概念_第1页
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文档简介

一、几个实例二、定积分定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质第一节定积分的概念与性质一、几个实例1.曲边梯形的面积曲边梯形:

由曲线直线轴围成的图形.如何求它的面积A=?A=?计算步骤:(1)分割在区间

内任意插入

个分点

记得到个小区间为每个小区间的长度.

过各点作轴的垂线,把曲边梯形分成个窄曲边梯形；(2)

取近似在每个小区间

上任取一点则(3)

求和个窄矩形面积的和是所求曲边梯形面积A的近似值,即(4)

取极限表示个小区间长度的最大值,在则和式

时的极限为面积总结:化整为零取近似,再聚零为整取极限.

2.变速直线运动的路程(1)分割在时间区间

内任意插入个分点

得到个小区间,小区间长度为(2)

取近似在时间间隔

上任取一个时刻

则(3)

求和(4)

取极限二、定积分定义1.定积分定义定义设函数

在区间上有界,

在内任意插入个分点把个小区间分成了

其长度

在每个小区间上任取一点作积作和式(称为积分和)；

记若极限

存在,

则称函数在区间上可积,并称以上的极限值为函数在上的定积分,

记作即为被积函数,为被积表达式,是积分变量,为积分区间,为积分下限,为积分上限,为积分号.2.以上二例用定积分表示:(1)由曲线

直线轴围成的曲边梯形的面积(2)以速度

作变速直线运动的物体,从时刻到通过的路程

三、定积分的几何意义(1)(2)(3)一般情况:abO

例1

利用定积分的几何意义,计算下列定积分:(1)解作函数

的图形

是梯形的面积,即(2)解作函数

的图形

四、定积分的性质性质1

性质2性质3任意性质4(定积分对区间的可加性)为常数,则证明

(看图)讨论(其它情况请自己练习)，即:性质5如果在区间上,有

则性质6(积分估值定理)设函数

在区间上的最大值为

最小值为则性质7(积分中值定理)设函数

在闭区间上连续,则存在

使证明

因为

在闭区间上连续,所以在区间上有最大值和最小值,由性质6记则由闭区间上连续函数介值定理,存在使即

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