以费马点为新定义的解三角形（解析版）

11．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三个内角均小于120O时，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的点O即为费马点；当VABC有一个内角大于或等于120O时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a,b,c分别是VABC三个内角A,B,C的对边，点P为VABC的费马点，(1)求A；(3)若PB+PC=tPA，求实数t的最小值.【答案】(1) 求解即可；（2）利用等面积法列方程，结合数量积的运算公式即可求解；（3）设PB=mPA，PC=nPA，PA=p，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出mn=m+n+2，再结合基本不等式即可求得答案.即sin2C=sin2Acos2B—sin2Bcos2A，所以由正弦定理可得a2=b2+c2，所以A=.（2）由（1）可得A=π,所以VABC三个内角A,B,C都小于120O，2试卷第2页，共23页–––––––→–––––––→ ,,2=p22=p2BC2p22p2+n2p22mnp2cos120O=m2+n2+mnp2， 所以t的最小值为2+23. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问的关键是利用等面积法得到xy+xz+yz=43，再根据向量数量积的定义求解；第（3）问的关键是设PB=mPA，PC=nPA，PA=p，推出m+n=t，结合费马点的定义，利用余弦定理推出mn=m+n+2，然后利用基本不等式求解.22．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三个内角均小于120O时，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的点O即为费马点；当VABC有一个内角大于或等于120O时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：(1)若VABC是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和；(2)VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=bsinA，点P为VABC的费马点.求的最小值. 【答案】(1)4·3 【分析】（1）过O作OD丄AC于D，结合题意即可求解；（2i）根据正弦定理求得B，由三角形面积公式及向量数量积即可求解ii）设理得出m+n+2=mn，根据基本不等式求解范围即可.【详解】（1）因为VABC为等边三角形，三个内角均小于120O，故费马点O在三角形内，满所以该三角形的费马点O到各顶点的距离之和为OB+OC+OA=4.试卷第4页，共23页（2i）因为a=bsinA，由正弦定理，且sinA≠0，所以△ABC的三个角都小于120O，设设PBPB)x2，m22当且仅当m=n，即m=n=1+3时，等号成立.2PA.PCPB2 33．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120O时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且(1)求A；(3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.【答案】(1)A= 2π32π3结合费马点含义，利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.由正弦定理可得a2=b2+c2，故△ABC直角三角形，即A=.由所以三角形ABC的三个角都小于120O，则由费马点定义可知：------PBPB试卷第6页，共23页)x2，iBC2=m2x2+n2x2—2mnx2cos22 故实数t的最小值为2+23.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，第二问的关键是利用面积法得到xy+yz+xz=解答第三问的关键在于设PB,PA,PC,PA,PA利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.44．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边①求B；(2)若cos2C+2sin(A+B)sin(A-B)=1，设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.【答案】(1)①;②-3 【分析】（1）①利用两角和的正弦公式得到·cosBsinC=sinCsinB，即可求出tanB，从而得解；②利用余弦定理求出ac，利用等面积法求出|PA,再根据数量积的定义计算可得；（2）利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式求出A=，设m+n+2=mn，再利用基本不等式计算可得.(ππ)即cosA=2cosB|(sinCcos6-cosCsin6(ππ)即cosA=·cosBsinC-cosBcosC，又cosA=cosπ-(C+B)=-cos(C+B)=-cosCcosB+sinCsinB， 所以·3cosBsinC=sinCsinB， 又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以3试卷第8页，共23页②由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120。，结合题设易知P点一定在△ABC的内部.由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，即a2+c2-b2=ac，又b2-(a-c)2=6，即a2+c2-b2=2ac-6，所以2ac-6=ac，解得ac=6.(PA.PB+PB.PC+PA.PC)cos=-3.所以1-2sin2C+2sinCsin(A-B)=1，所以sin2C-sinCsin(A-B)=0，则sin(A+B)-sin(A-B)=0，即sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=0，所以cosAsinB=0，则由PB+PCPA由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cos 故实数t的最小值为2+23.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设PB=mPA，PC=nPA，PA=x，从而推导出m+n=t、m+n+2=mn，再次不等式求出次不等式求出t的取值范围.5．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为△ABC的费马点.①求角B；试卷第10页，共23页②-. 【分析】（1）①利用两角和的正弦公式得到sinBsinC=sinCcosB，即可求出tanB，从而得解；②利用余弦定理求出ac，利用等面积法求出|再根据数量积的定义计算可得；（2）利用二倍角公式及正弦定理得到a2=b2+c2，则A=设m+n+2=mn，再利用基本不等式计算可得.①因为2sinBsin=2sinB =sinBsinC+3sinBcosC，又2sinBsin|(C+3,=3sinA， 又2sinBsin|(C+3,=3sinA，所以sinBsinC+3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC，即sinBsinC=·sinCcosB．因为sinC≠0，所以tanB=因为，所以B=.②由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120。，结合题设易知P点一定在△ABC的内部.由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，即a2+c2-b2=ac，又a2+c2-b2=3，解得ac=3.（2）由已知△ABC中cos2B+cos2C-c即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1，故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，故△ABC直角三角形，即A=，由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2)x22)x22)x222)x2故由试卷第12页，共23页 故实数t的最小值为2+23.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设PB=mPA，PC=nPA，PA=x，从而推导出m+n=t、m+n+2=次不等式求出次不等式求出t的取值范围.6．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(1)若csinC-asinA=(c-b)sinB，①求A；(2)若cos2B+cos2C-cos2A=1，设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.②1 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式即可求得答案.所以设PAPBPC试卷第14页，共23页当cosA=0时，A=，△ABC为直角三角形，得sinBsinC=0，在三角形中不可能成立，所以△ABC为A=的直角三角形，)x2，22222π2222222π222，2， 故实数t的最小值为2+23.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第费马点含义，利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.7．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=acosc.(1)(1)求A；(3)设点P在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为L，若L=tPA，求实数t的最小值.【分析】（1）由b=acosC结合两角和与差的正弦公式以及A、B∈0,π即可得解.S△CPA+S△BPC=S△ABC结合正弦定理形式的面积公式以及bc=23得xy+xZ+yZ=4，接PB=mPA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0，则由PB+PC+PA=tPA得m+n+1=t，接着分别由△BPC、△CPA和△BPA结合余弦定理和a2=b2+c进而结合基本不等式即可建立关于t的不等式，从而求解关于t的不等式即可得解.【详解】（1）因为b=acosC，所以由正弦定理有sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，所以cosAsinC=0，又因为A、B∈0,π,（2）由（1）A=，所以△ABC的三个内角均小于120°,设PA=x,PB=y,PC=z，若bC=23则由S△BPA+S△CPA+S△BPC=S△ABC得PB⋅PAsin∠APB+PC⋅PAsin∠CPA+PB⋅整理得xy+xz+yz=4，=PAPBcos∠APB+PBPCcos∠BPC+PCPAcos∠CPA=xycos120∘+yzcos120∘+xzcos120∘则PB+PC+PA=tPA，故m+n+1=t，在△BPC、△CPA和△BPA中由余弦定理分别得a2=m2x2+n2x2−2mx·nxcos120∘=(m2+n2+mn)x2，b2=x2+n2x2−2x·nxcos120∘=(n2+n+1)x2，C2=m2x2+x2−2mx·xcos120∘=(m2+m+1)x2，又a2=b2+c2，所以(m2+n2+mn)x2=(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2，试卷第16页，共23页 综上所述，实数t的取值范围是3+23,+∞,故实数t的最小值为3+23.【点睛】关键点睛：求实数t的最小值关键点1是利用PB+PC+PA=tPA得m+n+1=t；关键点2是分别由△BPA、△CPA、△BPC结合余弦定理和a2=b2+c2得m+n+2=mn，进而由两式m+n+1=t和m+n+2=mn结合基本不式.88．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三个内角均小于120O时，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的点O即为费马点；当VABC有一个内角大于或等于120O时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是VABC三个内角A，B，C的对边，点D在AC上， ①求B；最小值. 【分析】（1）①由正弦定理，角化边，化简后结合余弦定理，即可求解；②首先根据点D的位置确定向量关系，再根据向量数量积，转化为三角形边长的关系，再试卷第18页，共23页结合基本不等式确定ac的最大值，由费马点，结合三角形面积公式确定PA.PB+PB.PC+PA.PC最后代入数量积公式，即可求解;（2）首先由三角恒等变换可知，再设PB=mPA，PC=nPA，PA=x，(m>0,n>0,x>0)，得到t=m+n，根据费马定理，结合三个余弦定理表示AB2，AC2和BC2,由勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解.①因为由正弦定理可得化简得ac=a2+c2b2，因为cosB=又B∈(0,π)，所以B=.22，21--24--2所以ac≤9，当ac=9时，△ABC面积最大.由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120O，结合题设易知P点一定在△ABC的内部.即12sin2B+12sin2C1+2sin2A=1，故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，故VABC直角三角形，即A=，2x2+n2x22mnx2cos=(m222 故实数t的最小值为2+23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对费马点的理解，尤其是当VABC的三个内角均小于120O9．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三个内角均小于120O时，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的点O即为试卷第20页，共23页费马点；当费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且1+cos2C=cos2A+cos2B,M为△ABC的费马点.(1)求角C；(3)设MB+MA=tMC，求实数t的最小值.【答案】(1)90O 【分析】（1）利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可得解； 的最大值，即可得解；再利用基本不等式计算可得.2A+12sin2B，即sin2A+sin2B=sin2C，:△ABC的三个角都小于120O，」点M为△ABC的费马点，由S△AB