重难点35 图形的分割与拼接

重难点35图形的分割与拼接第171天化整归一有妙用1.已知三角形纸片的面积为的长为按下列步骤将三角形纸片进行裁剪和拼图：第一步:如图(1),沿的中位线将纸片剪成两部分.在线段上任意取一点,在线段上任意取一点,沿将四边形纸片剪成两部分;第二步:将左侧纸片绕点旋转,使线段与重合;将右侧纸片绕点旋转,使线段与重合,再与三角形纸片拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片.(1)当点在如图②所示的位置时,请按照第二步的要求,在图2中补全拼成的四边形;(2)在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中,求其周长的最小值.补全图形如解图所示;的面积是,点到的距离为12,是的中位线,平行线与间的距离为6,由旋转的性质知,,点在同一条直线上,由旋转的性质知,点在同一条直线上.同理:点直线上,由旋转的性质知,,,四边形是平行四边形,的周长为.拼成的所有四边形纸片中,其周长最小时,最小,即周长的最小值为.第172天修修补补焕新容2.如图,面积为6的平行四边形纸片中,,按下列步骤裁剪和拼图.第一步:如图(1),将平行四边形纸片沿对角线剪开,得到和纸片,再将纸片沿剪开为线段上任意一点),得到和纸片;第二步:如图(2),将纸片平移至处,将纸片平移至处;第三步:如图(3),将纸片翻转过来使其背面朝上置于处边与重合,和在同侧将纸片翻转过来使其背面朝上置于处,(边与重合,和在同侧).则在由纸片拼成的五边形中,求的长及对角线的长度的最小值.解:这一系列操作下,会有多个三角形全等,这些都是隐含条件,我们要充分利用.是等腰直角三角形,当最小时,对角线最小,即取最小值,当时,取最小值.如解图,过点作于点,平行四边形的面积为6,,.第173天归纳推理新突破3.操作探究聪明的小红在学习了相关知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为的长方形通过下图中的方法裁剪掉一个最大的正方形后，再把剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形.并进行了以下探索：（1）当一个可裁长方形经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则的值为________；（2）当一个可裁长方形经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的的值为________；（3）当一个可裁长方形经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件的可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出的值.方法迁移取一个自然数，若它是奇数，则乘以加上；若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到.这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的.例如：取自然数.最少经过下面步运算可得，即：，如果自然数最少经过步运算可得到，则所有符合条件的的值为________.3.解：考考大宝贝们的推理能力.准备好了吗.操作探究：（1）；（2）或；（3）当一个可裁长方形经过三次裁剪就可以得到全部正方形,画出符合条件的可裁长方形如解图：方法迁移：.第174天勾股分割常相随4.（1）小明同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为的等边三角形面积是________(用含的代数式表示)；（2）小明同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形(不重叠、无缝隙)？①如果将一个边长为的正方形纸片剪拼成等边三角形，试求该三角形边长的平方；②小明同学按下图切割方法将正方形剪拼成一个等边三角形分别为边上的中点，是边上两点，为上一点，且.请补全图形,画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形的边长为，设，求的值.4.解：（1）；（2）①∵边长为的正方形的面积为，∴剪拼成的等边三角形的面积为，∴，∴，即该三角形边长的平方是.②补全图形如解图所示；③有要想起神器——勾股定理，小宝贝们.如解图，连接，由题意知，.∴是的中位线，∴，∵为边上的中点，∴，∵边长为的正方形的面积，∴剪拼成的等边三角形的面积，∴，∴，即边长的平方是，∴，∴.∵，∴，∴.第175天丰富多彩七巧板5.七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形.如图所示是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码.（1）设正方形网格的边长为，则面积为的有________号图形；（2）只改变图中的号图形的位置，使它和其他部分拼成一个新的多边形，请在图中画出所拼的图形（只需画出号图形）;（3）将这副七巧板的七块图形重新拼成一个与图、图形状不同的多边形，（不留缝隙且不相互重叠），请在图中画出所拼的图形，并使多边形的顶点落在格点上.5.解：（1）；小小机灵鬼们，是时候质示我们的才艺了，比比谁画得更美.（2）号图形的位置如解图①，②所示；（只需画出一种即可）（3）拼成多边形,如解图③（答案不唯一）.综合强化练351.如图，将长为、宽为的长方形纸片分割成个三角形后，拼成面积为的正方形，则不等于（）A.2B.3C.4D.51.小鹿相信你们都可以拼出来的.A【解析】如解图，将长为、宽为的长方形纸片分割成个三角形后，拼成面积为的正方形,则可以为，故.2.如图甲，将一个长为，宽为的长方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”的图案，如图乙所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图丙所示.则新长方形的周长可以表示为（）A.B.C.D.2.这个“”有点熟悉，你们有没有想起什么，哈哈，B【解析】观察题图可得，新的长方形的宽为，长为，∴新长方形的周长可表示为.3.(2020浙江自主招生)已知的三条边长分别为，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A.5条B.6条C.7条D.8条3.深思熟虑，思考全面，可不能漏掉一条哟，我的宝.C【解析】如解图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形.4.将一个无盖正方体纸盒展开(如图①)，沿虚线剪开，用得到的张纸片(其中张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图②).则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是________.4.【解析】由题图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是.不错不错，有理有据，小鹿被说服了.5.如图，已知四边形纸片，现将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________(用“能”或“不能”填空).若“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若“不能”，请简要说明理由.方法或理由：________.5.能；取四边形纸片各边的中点，连接，则为裁剪线，将绕旋转绕旋转沿方向平移，使与重合.6.手工课上，老师要求同学们将边长为的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形的面积.(注：不同的分法，面积可以相等)6.解：当你说出自己的想法，你才会去实行它，所以我的宝，有想法就尝试写出来，万一都对呢.根据分析，分割方法如解图：（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每个最小的等腰直角三角形的面积是：.（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每个最小的等腰直角三角形的面积是：.（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是,每个最小的等腰直角三角形的面积是：.（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每个最小的等腰直角三角形的面积是：7.把一个等腰直角三角形沿斜边上的中线(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分可以拼成一个平行四边形，如图①所示.(以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明)（1）试一试：按上述的裁剪方法，请你在图②中再画出一个拼得的特殊四边形的示意图.（2）想一想：在等腰直角三角形中，请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形，请你在图③、图④中分别画出拼得的特殊四边形的示意图.(要求：画不同拼接方法的示意