2025年高考数学必考知识点

2025年高考数学必考知识点一、函数。1.函数的概念与性质。-定义域、值域的求解。对于分式函数，要注意分母不为零；对于根式函数，根号下的式子要满足非负条件。例如，函数y=(1)/(x-1)的定义域为{xx≠1}，函数y=√(x+2)的定义域为{xx≥-2}。-函数的单调性。可以通过定义法（设x_1，比较f(x_1)与f(x_2)的大小）或者导数法（对于可导函数y=f(x)，f'(x)>0时函数单调递增，f'(x)<0时函数单调递减）来判断。如y=x^2在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。-函数的奇偶性。满足f(-x)=f(x)的函数为偶函数，图象关于y轴对称；满足f(-x)=-f(x)的函数为奇函数，图象关于原点对称。例如y=x^3是奇函数，y=x^2是偶函数。2.基本初等函数。-一次函数y=kx+b（k≠0），其图象是一条直线，斜率k决定直线的倾斜程度，截距b是直线与y轴的交点纵坐标。-二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），图象是抛物线。对称轴为x=-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac-b^2}{4a})。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。-指数函数y=a^x（a>0且a≠1），当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减。-对数函数y=log_ax（a>0且a≠1），其定义域为(0,+∞)。当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，函数在(0,+∞)上单调递减。并且y=a^x与y=log_ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。-幂函数y=x^α（α∈R），当α>0时，函数在[0,+∞)上单调递增；当α<0时，函数在(0,+∞)上单调递减。例如y=x^2，y=x^(1)/(2)等。3.函数的图象变换。-平移变换。y=f(x)的图象向左平移h个单位得到y=f(x+h)的图象（h>0）；向右平移h个单位得到y=f(x-h)的图象（h>0）；向上平移k个单位得到y=f(x)+k的图象（k>0）；向下平移k个单位得到y=f(x)-k的图象（k>0）。-伸缩变换。y=f(x)的图象纵坐标伸长为原来的A倍（A>1）得到y=Af(x)的图象；纵坐标缩短为原来的A倍（0<A<1）得到y=Af(x)的图象。横坐标伸长为原来的(1)/(ω)倍（0<ω<1）得到y=f(ωx)的图象；横坐标缩短为原来的(1)/(ω)倍（ω>1）得到y=f(ωx)的图象。-对称变换。y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。二、导数。1.导数的概念与运算。-导数的定义：函数y=f(x)在x=x_0处的导数f'(x_0)=limlimits_Δx→0frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}。-基本函数的导数公式：(x^n)'=nx^n-1，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(a^x)'=a^xlna，(log_ax)'=(1)/(xlna)等。-导数的四则运算法则：(u±v)'=u'±v'，(uv)'=u'v+uv'，((u)/(v))'=(u'v-uv')/(v^2)(v≠0)。2.导数的应用。-切线问题。函数y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)。例如，对于函数y=x^2在点(1,1)处，y'=2x，f'(1)=2，切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1。-单调性与极值。通过求导判断函数的单调性，令f'(x)=0求出驻点，再根据驻点两侧导数的正负判断极值情况。如y=x^3-3x，y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，当x=-1时函数取得极大值y=2，当x=1时函数取得极小值y=-2。-最值问题。在闭区间[a,b]上求函数y=f(x)的最值，需要先求出函数在区间内的极值点，再比较极值点与区间端点处的函数值大小。三、三角函数。1.三角函数的概念。-任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}，则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。-同角三角函数的基本关系：sin^2α+cos^2α=1，tanα=(sinα)/(cosα)。2.三角函数的图象与性质。-正弦函数y=sinx，图象是正弦曲线，周期T=2π，值域为[-1,1]，在[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈Z)上单调递增，在[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈Z)上单调递减。-余弦函数y=cosx，图象是余弦曲线，周期T=2π，值域为[-1,1]，在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减。-正切函数y=tanx，图象是正切曲线，周期T=π，定义域为{xx≠(π)/(2)+kπ,k∈Z}，在(-(π)/(2)+kπ,(π)/(2)+kπ)(k∈Z)上单调递增。3.三角函数的变换。-诱导公式：如sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα等，用于化简三角函数表达式。-两角和与差公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosBmpsinAsinB，tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1mptanAtanB)。-二倍角公式：sin2A=2sinAcosA，cos2A=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A，tan2A=(2tanA)/(1-tan^2)A。四、数列。1.数列的概念与通项公式。-数列的定义：按照一定顺序排列的一列数a_1,a_2,·s,a_n,·s，a_n称为数列的通项。-通项公式的求法：可以通过观察法（如数列1,3,5,7,·s的通项公式为a_n=2n-1）、递推公式法（如a_1=1，a_n=a_n-1+2(n≥2)，通过累加法可求得a_n=2n-1）等。2.等差数列。-定义：a_n-a_n-1=d（n≥2，d为常数）。-通项公式：a_n=a_1+(n-1)d。-前n项和公式：S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n-1))/(2)d。3.等比数列。-定义：frac{a_n}{a_n-1}=q（n≥2，q为常数且q≠0）。-通项公式：a_n=a_1q^n-1。-前n项和公式：当q=1时，S_n=na_1；当q≠1时，S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}。五、平面向量。1.向量的概念与运算。-向量的定义：既有大小又有方向的量。向量的大小称为模。-向量的加法与减法：平行四边形法则和三角形法则。如→AB+→BC=→AC，→AB-→AC=→CB。-向量的数乘：λ→a（λ∈R），当λ>0时，λ→a与→a同向；当λ<0时，λ→a与→a反向；当λ=0时，λ→a=→0。-向量的数量积：→a·→b=→a→bcosθ（θ为→a与→b的夹角），满足→a·→b=→b·→a，(λ→a)·→b=λ(→a·→b)等运算律。2.向量的坐标表示。-设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)，→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)，λ→a=(λx_1,λy_1)，→a·→b=x_1x_2+y_1y_2。-向量的模→a=√(x_1)^2+y_{1^2}，两向量夹角cosθ=frac{→a·→b}{→a→b}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}√(x_2)^2+y_{2^2}}。六、立体几何。1.空间几何体的结构、表面积和体积。-棱柱、棱锥、棱台的结构特征。棱柱的上下底面平行且全等，侧面是平行四边形；棱锥只有一个底面，侧面是三角形；棱台是用平行于底面的平面去截棱锥得到的。-圆柱、圆锥、圆台的结构特征。圆柱是以矩形的一边所在直线为轴旋转而成的，圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成的，圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转而成的。-表面积和体积公式。例如，棱柱的表面积S=S_侧+2S_底，体积V=S_底h（h为高）；圆柱的表面积S=2πr(r+l)（r为底面半径，l为母线长），体积V=πr^2h（h为高）；圆锥的表面积S=πr(r+l)，体积V=(1)/(3)πr^2h；圆台的表面积S=π(r^2+R^2+rl+Rl)（r为上底面半径，R为下底面半径