IIRDF的设计方法课件

IIRDF的設計方法第一節

引言一、濾波器的設計方法因為，DF是一種具有頻率選擇性的離散線性系統。它是在確定信號與隨機信號的數字處理中有著廣泛的應用。所以，數字濾波器的設計是確定其系統函數並實現的過程。二、濾波器設計的步驟1.根據任務，確定性能指標。2.用因果系統的線性時不變系統函數去逼近。3.用有限精度演算法實現這個系統函數。（包括選擇運算結構、選擇合適的字長、有效數字處理方法。）4.用適當的軟、硬體技術實現包括採用：通用電腦軟體、數字濾波器硬體、或者二者結合。三、性能指標我們在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。因為理想濾波器物理不可實現的。（由於從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）要物理可實現：應從一個帶到另一個帶之間設置一個過渡帶且在通帶和止帶內也不應該嚴格為1或零。應給以較小容限。1、低通濾波器的性能指標fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通帶的容限δ2：阻帶容限通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶上限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶下限截止頻率。阻帶衰減：As2、高通濾波器的性能指標fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As3、帶通濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws24、帶阻濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws25、通常具體技術指標四、H(z)如何推導出（1）根據提出對濾波器的性能要求、頻率特性（低、高、帶通、帶阻）來設計系統H(z).(2)根據時域波形提出要求來設計-->單位沖激回應h(n)或g(n)的形狀。（3）有時也直接給出H(z).(但要求因果穩定).五、確定DF的採用的結構及運算結構的好壞確定DF的採用的結構將會影響DF的精度、穩定性、經濟性及運算速度等很多重要性質。1.計算複雜性一個運算結構應含有最少的乘法器和最少的延時器。乘法器最費時間，乘法器少，運算速度快，延時器最費存儲單元，延時器少，記憶體用的少，計算少。2.有限記憶體的長度的影響與運算結構有關。即有時會希望使用一種運算結構，雖然它的乘法器和延時器並不是最少的，但它對記憶體的有限字長效應是最不敏感的。六、本章主要內容1.設計IIRDF兩種變換法（模擬頻率變換法，數字頻率變換法）。2.利用模擬濾波器來設計數字濾波器的兩種方法（沖激不變法、雙線性變換法）。3.（電腦輔助設計）最優化技術設計（最小均方誤差法、最小誤差設計法）第二節

IIRDF設計方法一、IIRDF系統函數IIRDF是一個遞歸型系統，其系統函數：二、IIRDF頻率特性它是由三個參量來表徵：1.幅度平方回應2.相位回應3.群延時1.幅度平方回應2.相位回應3.群延時它是濾波器平均延遲的一個度量，定義為相頻特性對角頻率w的一階導數的負值。即：三、IIRDF的設計方法設計IIR數字濾波器系統函數有兩種方法：1、簡單濾波器的零、極點累試法2、間接方法3、直接方法1、簡單濾波器的零、極點累試法在z平面上直接設計IIR數字濾波器，即以所希望的濾波器回應作為依據，直接在z平面上，通過多次選定極點和零點位置以逼近該回應。即在單位園內，在處設置一對共軛極點的話，那麼，頻響在w0處就有一峰值。當r越近於1，即極點位置越接近單位園，則峰值就越尖銳。同理，若在單位園上，設置一對零點，則頻響就會在w1處出現各值，即可實現陷波。這樣如果，特性尚達不到要求，可再移動零、極點，這樣作二、三次調整後，就可以獲得一些簡單的要求DF.這種方法，可以設計一些簡單階數很低（1~2階)的DF。****Re[z]Im[z]2、間接方法由於模擬濾波器設計技術是非常成熟的，歸一化各種模擬低通濾波器的系統函數已有表可查，利用成熟的設計技術，可得到一個間接設計IIRDF的方法，即間接設計方法。這種方法通常要先設計一中間濾波器，然後通過映射或頻率變換完成最終IIR數字濾波器的設計。這種間接設計方法包括：(1)由模擬濾波器設計數字濾波器(2)頻率變換法（分為模擬頻率變換法和數字頻率變換法）來設計數字濾波器3、直接方法直接方法(計算機輔助設計法)（1）在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設計IIR數字濾波器。（2）在時域直接設計IIR數字濾波器此法根據性能指標和一定的逼近准則，直接利用計算機完成設計。第三節

由模擬濾波器設計數字濾波器的方法

一、由模擬濾波器設計數字濾波器步驟用間接方法之一即由模擬濾波器設計IIRDF的系統函數.這種方法設計，要經過以下三步：1、數字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器指標2、模擬濾波器設計3、映射實現：從模擬濾波器再轉換在數字濾波器1、數字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器指標根據給定設計要求，把數字濾波器的性能指標變成模擬濾波器的性能指標。2、模擬濾波器設計設計出符合要求的模擬濾波器的系統函數。可以選擇多種類型的濾波器。如Butterworth,Chebyshev,Elliptic,Bessel等。

3、映射實現利用一定的映射方法，把模擬濾波器系統函數數字化，完成IIR數字濾波器系統函數的設計。二、由模擬濾波器設計

數字濾波器條件完成由模擬變換到數字的映射必須滿足兩條基本要求：條件①為保持模擬濾波器的頻率軸的映射關系，S平面的虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓上，即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π]條件②為保持濾波器穩定性，S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內，即Re[s]<0→|z|<10ΩSωz-ππ0ΩSωz-ππ三、由模擬濾波器設計數字濾波器這種方法的局限性用這方法設計IIR數字濾波器存在一定的局限性：(1)這種方法只適於設計振幅響應分段恒定的濾波器，不能解決多帶或任意幅度的濾波器的設計問題。(2)它只是一種可行的方法，而不是最優的方法。四、映射實現的方法由模擬濾波器映射成數字濾波器的方法，也即，數字濾波器能模仿濾波器的特性。主要有以下幾種映射方法：沖激響應不變法階躍響應不變法（不講，同學們自已看）雙線性變換法第四節

常用模擬低通濾波器的設計一、為何要設計模擬低通濾波器由於模擬濾波器來設計數字濾波器：必須先將數字濾波器的設計技術指標轉換成模擬低通濾波器的設計指標，設計出模擬低通濾波器的原型，然後進行映射。再此節我們先復習如何設計模擬低通濾波器。首先將要設計的數字濾波器的指標，轉變成模擬低通原型濾波器的指標(此節不講)後，我們就只設計“模擬低通原型”濾波器。模擬濾波器的設計(逼近)不屬於本課程的範圍，但由於沒學過,在此介紹常用的二種模擬低通濾波器的設計。1、Butterworth巴特渥斯濾波器(最平幅度)2、Chebyshev切比雪夫濾波器(通帶或阻帶等波紋）二、模擬濾波器設計思想將一組規定的設計要求，轉換為相應的模擬系統函數Ha(s)使其逼近某個理想濾波器的特性。(濾波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群時延特性)，模擬濾波器經常借助其幅度平方函數特性來設計。三、根據幅度平方函數確定系統函數

1、求濾波器的幅度平方函數設計模擬濾波器經常要借助其幅度平方函數其中:Ha(s)是模擬濾波器的系統函數。假設p1,z1為Ha(s)的一個零點和一個極點，則-p1,-z1必為Ha(-s)的一個零點和極點，Ha(s)、Ha(-s)的零極點成象限對稱分佈。所以必然有如下形式：＊＊-z1-p1z1p1＊＊2、根據幅度平方函數設計模擬濾波器的系統函數的步驟我們知道，實際濾波器都是穩定的，因此其極點一定位於S平面左半平面，這樣可根據幅度平方函數通過如下步驟分配零、極點來設計出模擬濾波器的系統函數。(1)由來確定象限對稱的S平面函數。(2)將因式分解，得到各零點和極點。(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性的對比就可確定出增益常數。

(1)由來確定象限對稱的S平面函數。

將代入中即得到s平面函數。(2)將因式分解，得到各零點和極點。將左半平面的極點歸於Ha(s)。如無特殊要求，可取的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點。如要求是最小相位延時濾波器，則應取左半平面零點作為Ha(s)的零點。且軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半屬於Ha(s)

。

(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性,確定出增益常數。由的條件，代入可求得增益常數。例子根據以下幅度平方函數確定系統函數Ha(s).四、Butterworth巴特渥斯低通濾波器

1、幅度平方函數Butterworth低通濾波器具有通帶最大平坦的幅度特性，是一全極點型濾波器，且極點均勻分佈上Ωc的園上，並且與虛軸對稱。其特點：在通帶內，幅頻特平坦，隨著頻率的升高而單調下降。其幅度平方函數為其中N為整數，表示濾波器的階次，Ωc定義為截止頻率，為振幅響應衰減到-3dB處的頻率。2、Butterworth濾波器的極點分佈

由可知Butterworth的零點全部在S=∞處，它是全極點型濾波器，且分佈在半徑為Ωc的圓上,呈象限對稱分佈。為了得到穩定的濾波器，s左半平面的極點必須分配給Ha(s)，s右半平面的極點分配給Ha(-s)。取其分佈在左平面的極點,設計出巴特沃斯低通濾波器.3、Butterworth的幅度回應

及極點分佈其中左半平面構成Butterworth濾波器的系統函數極點不會落在S平面上的虛軸上4、Butterworth濾波器階數N與幅度回應的關係當N增大時，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。5、3dB帶寬6、Butterworth濾波器的特點(1)N階濾波器在Ω=0處幅度平方函數的前(N-1)階導數等於零。即在Ω=0處，最平坦，且隨著Ω的增加單調下降。(2)在止帶內的逼近是單調變化的，不管N為多少，所有都經過點（-3dB)處。(3)濾波器的特性完全由其階數N決定。N越大，則通帶內在更大範圍內更接近於1，在止帶內迅速地接近於零，因而振幅特性更接近於理想的矩形頻率特性。7、歸一化的Butterworth濾波器的系統函數在一般設計中，都先把Ωc設為1rad/s，這樣使頻率得到歸一化。歸一化的Butterworth濾波器的極點分佈以及相應係數都有現成表可查（P148）。即若令8、Butterworth濾波器設計步驟

(1)根據設計規定，確定Ωc和N。(2)由確定Ha(s)Ha(-s)的極點。(3)Sk

的前N個值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的極點，構成Ha(s).(4)常數K0

可由A(Ω)和Ha(s)的低頻或高頻特性對比確定。

9、例子導出Butterworth低通濾波器的系統函數，設Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根據幅度平方函數：方法二方法二：由於Ωc=1rad/s,查表得10、Butterworth濾波器的階數N設計公式(1)已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF階數N（2）已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap求ButterworthDF階數N（3）已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap和As求ButterworthDF階數N例子試設計一個模擬低通Butterworth濾波器作業1.試設計一個模擬低通Butterworth（BW）型濾波器，要求截止頻率fp=5000Hz,通帶最大衰減Ap=3dB,阻帶超始頻率fs=10000Hz,阻帶衰減As=30dB五、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就是會超過指標的要求，因而並不經濟，所以更有效的方法是將指標的精度要求均勻地分佈在通帶內，或均勻分佈在阻帶內，或同時均勻在通帶與阻帶內，這時就可設計出階數較低的濾波器。這種精度均勻分佈的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來完成。2、Chebyshev濾波器的種類

在一個頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為：（1）ChebyshevI型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內是單調的；（2）ChebyshevII型：在通帶中是單調的，在阻帶內是等波紋的；由應用的要求，決定採用哪種型式的Chebyshev濾波器（1）ChebyshevI型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevI型，下麵我們僅講此類型（2）ChebyshevII型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevII型，其設計思想同ChebyshevI型，在此課程中我們就不作介紹。3、ChebyshevI型幅度平方函數ChebyshevI型模擬濾波器的振幅平方函數為：4、CN(x):N階Chebyshev多項式

(1)函數Chebyshev多項式：（2）Chebyshev多項式圖形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)5、通帶等波紋振盪6、確定通帶內波紋值ε7、確定階數N

（1）N阶特性階數N等於通帶內最大和最小值個數的總和。可由幅頻特性中看出N階數。且當：N=奇數，則Ω=0處有一最大值，N=偶數，則Ω=0處有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6（2）N階公式8、求濾波器的系統函數Ha(s)

(1)求极点--18、求濾波器的系統函數Ha(s)

(1)求极点--28、求濾波器的系統函數Ha(s)

(1)求极点--39、ChebyshevI型濾波器的歸一化系統函數10、ChebyshevDF設計步驟①首先要先確定ε，N和Ωc。②計算a，b。③確定Ha(s)Ha(-s)的極點。④取Re(Si)<0的極點，得到Ha(s)。

K可由A(Ω)和Ha(s)低頻或高頻特性對比確定。例1--1設N=4，確定ChebyshevI型，極點位置。解：N=4，則有8個極點，我們要求在S左半平面上為穩定系統的四個極點。σjΩ例1--2看出：對於N=4，只須求出一點，即可求出其他共軛。畫極點：過小園交點畫垂直線；過大園交點畫水平線。例1--3由上圖可知，確定ChebyshevI型濾波器極點在橢園上的位置辦法：(1)先求出大園（半徑為bΩc)和小園半徑aΩc。(2)等間隔角均分，各點是虛軸對稱的，且一定不落在虛軸上，N為奇數時，有落在實軸上的點；N為偶數時，實軸上也沒有。(3)幅度平方函數的極點(在橢園上)的位置確定：其垂直座標由落在大園上的各等間隔點規定；其水準座標由落在小園上的各等間隔點規定例2--1試導出2階ChebyshevI型DF系統函數(已知通帶波紋為,歸一化頻率為Ωc=1rad/s。例2--2例3--1設Chebyshev模擬濾波器的技術指標例3--2例3--3例3--4作業設計一個Chebyshev(CB)型低通濾波器其指標為：六、橢圓(Elliptic)

低通濾波器橢圓低通濾波器是一種零、極點型濾波器，它在有限頻率範圍內存在傳輸零點和極點。橢圓低通濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特性，因此通帶，阻帶逼近特性良好。對於同樣的性能要求，它比前兩種濾波器所需用的階數都低，而且它的過渡帶比較窄。1、幅度平方函數

其中

是雅可比(Jacobi)橢圓函數，ε為與通帶衰減有關的參數。2、幅度特性3、特點從上看出：橢圓濾波器即有極點也有零點，由於誤差均勻分佈在通帶和阻帶內。與Butterworth和Chebyshev兩種濾波器相比，在同樣誤差指標下，階數最小。即同樣階數N下，通帶到阻帶變化最陡峭，看出它是最優秀濾波器。在給出同樣通點平滑度，瞬變帶寬和阻帶衰減指標下，三種濾波器所需的階數:Butterworth6階，Chebyshev4階橢園3階七、其他濾波器Butterworth和Chebyshev及橢園Elliptic都是從幅度回應去逼近，並未考慮相位回應(由於對信號實現無失真傳輸的重要條件：系統函數具有線性相位特性），為此往往在相位失真比較嚴重情況下，常常採取在原濾波器後面組聯上一個相移網路，即全通濾波器(幅頻等於常數，相頻是頻率的函數），在相位上給以均衡補償，使之接近無失真傳輸的條件。考慮最平時延(MFTD)逼近也即相位回應，其主要特點：直流附近使群時延最平這類(最平時延)濾波器是以人名命名的有：貝塞爾(Bessel)濾波器(用到貝塞爾多項式).高斯（Gauss)濾波器(用到高斯特性）托馬森（Thomson)濾波器斯托奇（Storch)濾波器（由他提出方法而得名）第五節

模擬低通濾波器至其他類型(高通、帶通、帶阻）類型的變換一、各種模擬濾波器的理想幅頻特性w2Ω|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)wcwcw1w2ΩΩΩw1（低通）（高通）（帶通）（帶阻）二、低通AF-->高通AF的變換--1即如何從歸一化模擬低通-->歸一化模擬高通。|Hal(p)||Hah(s)|二、低通AF-->高通AF的變換--2即用低通變成高通看出：高通系統函數的階次與低通系統函數階次相同。例子--1設計模擬高通濾波器的系統函數。滿足如下條件：(a)3個極點(b)Butterworth回應(c)3dB截止頻率=100Hz.例子--2三、低通-->帶通的變換--1即如何從歸一化模擬低通變換到歸一化模擬帶通。設p為低通L變換，s為帶通L變換。三、低通-->帶通的變換--2平移中心頻率至座標原點0000|Hap(p)|平移至高端平移壓縮變成低通濾波器三、低通-->帶通的變換--3三、低通-->帶通的變換--4三、低通-->帶通的變換--5三、低通-->帶通的變換--6例子--1設計一模擬帶通濾波器具有如下特性：(a)4個極點(b)Butterworth回應(c)3dB截止頻率=200Hz(d)幾何中心頻率=1kHz.例子--2四、低通-->帶阻變換--1即如何從歸一化模擬低通變換到歸一化模擬帶阻。設p為低通L變換，s為帶阻L變換。四、低通-->帶阻變換--200|Has(s)|平移壓縮平移壓縮|HaL(p)|四、低通-->帶阻變換--3例子--1設計一模擬帶阻濾波器具有如下特性：(a)4個極點(b)Butterworth回應(c)3dB截止頻率=200Hz(d)幾何中心頻率=1kHz.例子--2第六節

沖激不變法

（脉冲响应不变法）由雷道（Rader),戈爾德（Gold)提出一、沖激響應不變法引入上節我們講到模擬濾波器設計方法，現在我們要講如何將設計好的模擬濾波器系統函數轉換成我們所需的數字濾波器系統函數。在此我們介紹兩種方法（沖激不變法，雙線性變換法）之一的沖激不變法。沖激響應不變法由雷道（Rader),戈爾德（Gold)提出.一、變換原理

1、什麼是沖激不變法沖激響應不變法是從時域出發，要求數字濾波器的沖激響應h(n)對應於模擬濾波器ha(t)的等間隔抽樣。h(n)=ha(nT)，其中T是抽樣周期。因此時域逼近良好。2、數字濾波器與模擬濾波器的頻率的回應映射關係由於在時域抽樣，導致在頻域內，數字濾波器的頻率響應H(ejw)為模擬濾波器頻率響應的周期延拓.存在多對一的映射關系。3、沖激回應不變法的映射規則

沖激回應不變法的映射規則為:z=esT(T為抽樣周期).這種映射並不是簡單的代數映射，故不能將其直接代入Ha(s)來得到H(z).4、映射規則的要點S平面上每一條寬為的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個平面上。每一橫條的左半邊映射到z平面單位園內，每一橫條的右半邊映射到z平面單位園外。S平面的虛軸（j)軸映射到z平面單位園上，虛軸上每一段長為的線段都映射到z平面單位園上一周。數字濾波器的頻響並不是簡單地重現模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的週期延拓。二、性能分析數字濾波器的沖激響應為對應模擬濾波器沖激響應的抽樣，由抽樣定理可知其頻譜為模擬濾波器頻譜的周期延拓。只有模擬濾波器的頻譜限帶於折疊頻率內時，即要滿足才能避免混疊失真。而實際的濾波器並非嚴格限帶，所以用沖激響應不變法設計的數字濾波器不可避免地會產生混疊失真。所以此法只適於設計帶限濾波器。三、設計流程的公式推導

1、設計步驟沖激回應不變法設計數字濾波器的思路為:(1)先根據要求，設計出中間模擬濾波器系統函數,(2)然後經下列變換設計出H(z)：Ha(s)→ha(t)→h(n)→H(z)即：Ha(s)求ha(t)=L-1[Ha(s)]ha(t)抽樣，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(會導致頻譜中幅度變小）Th(n)=Tha(t)|t=nT（把幅度加大，讓它頻譜幅度一樣）H(z)=Z[Th(n)]可見整個過程很複雜。2、設計流程中注意點沖激響應不變法是Ha(s)-->H(z).即:將S平面極點sk

映射-->到Z平面極點z=eskT因而只有極點有這種簡單映射關係，而零點不滿足這種簡單的對應關係。將模擬濾波器系統函數展開為並聯形式（即部分分式展開），且要求其分母的階次大於分子的階次。（因為只有這樣才是一個穩定的模擬系統）下麵通過推導變換關系完成數字濾波器系統函數設計。3、設計公式推導四、模擬濾波器與數字濾波器的變換關係五、數字濾波器的頻率回應數字濾波器的頻率響應：與抽樣周期T成反比，當抽樣頻率很高時，將產生很高的增益，為穩定增益，令h(n)=Tha(nT)

則六、用沖激不變法設計IIRDF的一般流程（總結）用沖激回應不變法設計IIR濾波器的一般流程：1、根據設計要求，設定指標。2、將數字濾波器性能指標變換為中間模擬濾波器的性能指標。3、設計出符合要求的中間模擬濾波器的系統函數Ha(s)。4、將Ha(s)展成部分分式的並聯形式，利用

式設計出H(z)。5、將H(z)乘以抽樣周期T，完成數字濾波器系統函數H(z)的設計。七、沖激不變法設計IIRDF的優缺點（1）沖激不變法使得數字濾波器的沖激回應完全模仿模擬濾波器的沖激回應，也就是時域逼近良好。（2）模擬頻率Ω和數字頻率w之間呈線性關係：w=ΩT如：一個線性相位的模擬濾波器（例貝塞爾濾波器）可以映射成一個線性相位的數字濾波器。（3）缺點：由於有頻率混疊效應，所以沖激回應不變法只適用於限帶的模擬濾波器。八、沖激不變法應用的局限性由於具有頻率的混疊效應，所以高通和帶阻濾波器不宜採用沖激不變法。因為它們高頻部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個頻響面目全非。若要對高通和帶阻實行沖激不變法，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高於折疊頻率以上的頻帶。它會增加設計的複雜性和濾波器的階數，因而只有在一定要追求頻率線性關係或保持網路瞬態回應不變時才使用。對於帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應越小。例子1|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|由於模擬濾波器不是充分限帶，所以數字濾波器產生很大的頻譜混疊失真。例子2--1設低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2π,止帶頻率ws=0.4π,在w=ws處的止帶衰減20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈衝回應不變法（沖激不變法）設計一個Butterworth低通DF。解：設計分為4步。（1）將數字濾波器的設計指標轉變為模擬濾波器的設計指標。採樣頻率由採樣定理決定，設為fs=20kHz,則採樣間隔為T=1/fs=1/20kHz例子2--2對於沖激不變法，頻率變換是線性的。例子2--3(2)設計Ha(s)將上述設計指標代入求出N階數例子2--4例子2--5例子2--6例子2--7x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)並聯型級聯型例3--1設通帶範圍為0≤w≤0.2π,在通帶邊緣wc=0.2π處幅頻特性的衰減大於-1dB，即通帶波紋在1dB內；止帶範圍為0.3π≤w≤π，在止帶起始頻率ws=0.3π處的幅頻特性衰減小於-15dB,設採樣週期T=1/（20＊103)s,試用脈衝回應不變法（沖激不變法）設計一個Chebyshev低通DF。解：設計分為4步。（1）將數字濾波器的設計指標轉變為模擬濾波器的設計指標.例3--2例子3--3(2)設計Ha(s)將上述設計指標代入求出N階數.例子3--4例子3--5例子3--6-0.7133090.71321.37680.08290.0663y(n)x(n)級聯型第七節雙線性變換法沖激不變法（和階躍回應）：是使數字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，但它的缺點：產生頻率回應的混疊失真。這是由於從S平面->Z平面是多值的映射關係所造成的。為了克服這一缺點，我們採用雙線性變換法一、變換原理

1、定義雙線性變換法：是從頻域出發，使DF的頻率回應與AF的頻率回應相似的一種變換法。2、雙線性變換法的映射關係實現S平面與Z平面一一對應的關係。第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數位化S平面S1平面Z平面3、雙線性變換法的映射規則

雙線性變換法的映射規則：

（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一仲介的S1平面的一條橫帶裏。（2）數位化：將S1平面通過標準變換關係變換到z平面。（1）頻率壓縮把整個S平面壓縮變換到某一仲介的S1平面的一條橫帶裏。（2）數位化將S1平面通過標準變換關係變換到z平面。（3）變換常數C的選擇1調節C，可使AF與DF在不同頻率點處有對應的關係。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應關係。看出在低頻處，AF的低頻特性近似等於DF的低頻特性。（3）變換常數C的選擇2二、性能分析11.解決了沖激不變法的混疊失真問題。2.它是一種簡單的代數關係。只須將上述關係代入AF的Ha(s)中（對直接、級聯、並聯結構都適用）即可求出DF的H(z),設計十分方便。3.由於雙線性變換中，即模擬角頻率與數字角頻率存在非線性關係。所以雙線性變換避免了混疊失真，卻又帶來了非線性的頻率失真。二、性能分析24.雙線性變換法不適用於設計：（1）設計線性相位的DF（2）它要求AF的幅頻回應是分段常數型.(即幅度變換是線性的）。（一般低通，高通，帶通，帶阻型濾波器的頻率回應特性都是分段常數）二、性能分析35.同時，看出雙線性變換：（1）在零頻附近，模擬角頻率與數字角頻率變換關係接近線性關係。（2）又要求AF的幅頻回應是分段常數型，即幅度變換是線性的所以稱之為雙線性變換。頻率升高時，非線性失真嚴重。二、性能分析46.對於分段常數型AF濾波器，經雙線性變換後，仍得到幅頻特性為分段常數的DF.但在各個分段邊緣的臨界頻率點產生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預畸變加以校正。例1一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換後得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位。如一個模擬微分器將不能通過雙線性變換成為數字微分器。模擬微分器數字例2--1對於分段常數的濾波器，雙線性變換後，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣臨界頻率點產生了畸變。這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸變加以校正，也就是臨界頻率事先加以畸變，然後經變換後正好映射到所需要的頻率。例2--2三、設計流程1.根據要求，設定指標。2.將各分段頻率臨界點預畸變。3.將數字濾波器的性能指標轉換為中間模擬濾波器的性能指標。4.根據設計要求，選定雙線性變換常數C。5.設計中間模擬濾波器的系統函數Ha(s).6.將代入Ha(s)中，得到DF的H(z).例子1-1試用雙線性變換法設計Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB帶寬頻率，止帶起始頻率，在處的止帶衰減解：（1）將DF的設計指標轉換為模擬濾波器的設計指標。對雙線性變換法根據3dB帶寬頻率求出:例子1-2例子1-3例子2試用雙線性變換法設計一個切比雪夫數字濾波器，使其逼近一個低通切比雪夫模擬濾波器的技術指標。第八節

數字頻帶變換法

-----将原型低通数字滤波器变换成其它数字滤波器

（z平面變換法）

一、變換函數如果已經有一個低通數字濾波器的係數函數Hp(z),可以通過一個變換來設計其他各種不同類型的數字濾波器的系統函數H(z).這種變換是一種映射變換。1.變換關係函數表示式2.變換關係g(z-1)的形式--1要求：（1）變換以後的系統函數應保持穩定性不變。所以要求u的單位園內部必須對應z的單位園內部。（2)兩個函數的頻響要滿足一定的變換要求。即z的單位園起碼要映射到u的單位園上。2.變換關係g(z-1)的形式--23.變換關係g(z-1)的特性--13.變換關係g(z-1)的特性--2二、低通---低通--1二、低通---低通--20原型低通另一指標的低通二、低通---低通--3低通--低通變換特性三、低通--高通通過將單位圓旋轉180。，能使低通數字濾波器變到高通數字濾波器。例1--1試設計一個高通Chebyshev數字濾波器。其指標是：通帶寬度為：例1--2三、低通--帶通--1三、低通--帶通--2低通濾波器帶通濾波器可以看出：根據全通函數的相位變化量為N的性質，應取N=2三、低通--帶通--3例1--1試由Butterworth低通濾波器，通過映射變換，設計一個帶通的數字濾波器。例1--2四、低通--帶阻--1四、低通--帶阻--2低通濾波器帶通濾波器可以看出：根據全通函數的相位變化量為N的性質，應取N=2四、低通--帶阻--3總結第八節

頻率變換法一、頻率變換法從上面幾節可以看出設計各類數字濾波器可以有以下兩種方法：（1）模擬頻率變換法（2）數字頻率變換法二、模擬頻率變換法

1、原理把一個歸一化原形模擬低通濾波器經模擬頻帶變換成所需要類型（截止頻率為另一低通、或高通、帶通、帶阻）的模擬濾波器。然後再通過沖激回應不變法或雙線性變換法數位化為所需的數字濾波器。2、模擬頻率變換法的原理框圖模擬歸一化低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數字低通、高通、帶通、帶阻頻帶變換數位化先模擬頻率變換，再數位化雙線性變換法或沖激不變法3、注意點實際上把以上合成二步來實現。模擬歸一化低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式+與雙線性變換得到相應數字濾波器的公式。將以上兩公式合併，就可直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換的關係，一步完成各類數字濾波器的設計。這裏只談雙線性變換法，因為沖激回應不變法有頻率混疊失真效應，只對能嚴格限帶的數字低通、帶通濾波器的設計才能應用。對於數字高通、帶阻濾波器，不能直接應用。4、設計方案和步驟（1）頻率變換（2）去歸一化（模擬歸一化-->模擬濾波）（3）頻率預擴展（4）數位化5、數字低通濾波器設計公式--1要設計數字低通濾波器無須頻率變換。5、數字低通濾波器設計公式--26、數字高通濾波器設計公式--16、數字高通濾波器設計公式--27、數字帶通濾波器設計公式--17、數字高通濾波器設計公式--28、數字帶阻濾波器設計公式--18、數字帶阻濾波器設計公式--2三、數字頻率變換法

1.原