高考数学热点问题练习-函数值域的求法知识归纳及典型例题分析

求函数的值域

一、基础知识：

1、求值域的步骤：

（1）确定函数的定义域

（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）

（3）计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一

种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即

可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若/（力为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

（3）换元法：/（%）的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可

将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数/（x）在［。,可连续，且可求出/（x）的最大最小值,

则/（x）的值域为［m,M］

注：一定在“X）连续的前提下，才可用最值来解得值域

3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用

函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形

与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y=b+b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可

利用边界点来确定值域

（2）二次函数（丁=初2+陵+。）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方

确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①掘物线开口方向，②

顶点是否在区间内）

例1：函数/(x)=2x-G”的值域是()

「17、「5、「15、

A.[0,+oo)B.—,4-ooIC.—,+8D.—,+co

L)I_4JL8)

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转

为二次函数，求得值域即可。

解：“X)的定义域为[1,伊)

令/=«-1:.t>0,则A=Z2+1

・••y=2（*+i）T=2,-£|

vrG[0,-KO）

15、

.•"（X）的值域为

87

例2(1)函数y=31的值域为()

A.(0,+oo)B.(0,l)U(h+°°)C.{x|x^1}D.(l,+oo)

(2)函数/(x)=4、一2V+,-8,XG[-2,2]的值域为

(3)函数y=ln=Z的值域为__________

e-1

思路：(1)本题可视为y=的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指

数函数值域问题：令i=」~,则f£(y,O)U(O,”)，所以可得

x-\

y=3lG(0,1)U(1,+°O)

(2)如前文所说，/(X)=4'-2V+,-8=(2A)2-2.2V-8,将2、视为一个整体令

/=2\则可将其转化为二次函数求得值域

XV+,X2X

解：/（X）=4-2-8=（2）-2-2-8

令f=2‘vxe[-2,2]

二・tG-,4

_4.

j=r2-2r-8=(r-l)2-9

,，(x)的值域为[-9,0]

(3)所求函数为ln[/(x)]的形式，所以求得芸•的范围，再取对数即可。对

二^进行变形可得：亨=1+――,从而将产-1视为一个整体，即可转为

e-1e-1e-1

反比例函数，从而求得范围

解：定义域：/一1>0=X£(0,+oO)

x12

V—e——+=1+———令Z.rG((),+00)

ex—1ex—1

2

14—G(1,+00)

e"+1

:.y=\n——-G(0,-K»)

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,+oo)

例3：已知函数/(x)=3+log2%,xe[l,4],则g(x)=/(f)-"(x)丁的值域为

()

A.[-18,-2]B.[-11,-6]C.[-18,6]D.[-11,-2]

思路：依题意可知g(x)=3+log212-(3+k)g2X)2=-(k)g2X)2-410g2%-6,所以

可将log?X视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注

意的是g（x）的定义域，由己知“X）的定义域为［1,4］,则晨耳=/（巧一］/（切2

1<x2<4

的定义域为:解得:xe[l,2],而不是[1,4]

l<x<4

22

解：g(%)=3+log2X-(3+log2x)

=3+2log2x-|^(log2x)~+6log2x+9j

2

=-(log2X)_410g2x-6

•.力力的定义域为[1,4],且g(x)=f(巧_[/(耳了

1<x2<4

解得：xe[l,2]

l<x<4

令f=k)g2X,则

22

.•.y=-r-4/-6=-(r+2)-2

”[-11,-6],即g(x)的值域为[-11,-6]

答案：C

例4：(1)设函数y=/(x)定义域为R,对给定正数”，定义函数

f()f(x)<M

ZwW=1Lx/(x)>Af则称函数九(力为的“挛生函数”，若给定函数

2-x2-2<x<0

/(x)='~~,M=1,则y=R(x)的值域为()

2"-l,x>0

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.

(2)定义min{a,b,c}为中的最小值，设=min{2x+3,V+1,5-3X},

则了(力的最大值是

思路：(1)根据“李生函数”定义不难发现其图像特点，即以

y=M为分界线，/(x)图像在y=M下方的图像不变，在朋

上方的图像则变为y=M,通过作图即可得到九(x)的值域为

卜冽

(2)本题若利用min{4/c}的定义将/(x)转为分段函数，则需要对三个式子两

两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系

下，则八月为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得〃工)的最大

值点为丁=/+1与5—3%在第一象限的交点，即,所以

[y=5-3x[y=2

/(x)g=2

答案：(1)A(2)2

例5：已知函数/(%)=.2一2(4+2.+/次(%)=一%2+2(-一2)%-/+8,设

%(%)=max{/(%),g(x)},用(%)=min{/(x),g(%)},(其中max{p,q}表示p,q中

的较大值，min{p,g}表示p,q中的较小值)记//"x)的值域为A,7^(力的值域

/(x)=[x-(a+2)7-4a-4

〃x),g(x)配方可得一,其中Ta—4vTtz+12>

g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12

故g(x)的顶点在f(x)顶点的上方。由图像可得：褐色部分为仪(X)的图像，红

色部分为"2(x)的图像，其值域与〃x),g(x)的交点有关，即各自的顶点

(a—2,Ta+12),(a+2,Ta—4),所以""x)的值域A=[j—4,”)，区(%)的

值域5=(e,Ta+12]。从而8=[-4a—4,-4a+12]

答案：[-4〃-4,-4a+12]

例6:(1)函数y=四上£［2,4］的值域为—

X—1

(2)函数y=+4+-2「+io的值域为

思路：(1)函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用

导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那

么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，

即y是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么只需

在坐标系中作出〃x)=xlnx在［2,4］的图像与定点

(1,-3),观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围

即可

解：所求函数y是(xRnx)与定点(1,-3)连线的斜率

设y(x)=xlnx

(x)=l+lnx,当x€[2,4]时,/(x)>0恒成立

/./W为增函数/(2)=21n2,/(4)=41n4=81n2

设曲线上两点A(2,21n2),6(4,81n2)定点。(1,一3)

81n2+3

k=21n2+3,k=

ACRC3

..__81n2

••ywRec，砥c]21n2+3,--------F1

3

(2)思路：y=&+4+&-2/+10=Jl+22+/元一11+32,所以y可视

为点(x,0)到点(0,2),(1,3)距离和的取值范围。结合图形可

利用对称性求出其最小值，且当动点向x轴两侧运动时，

其距离和趋向无穷大，进而得到值域。

解：

y=VX2+4+VX2-2X+10=次+(0—2)2+7(X-1)2+(O-3)2

.・.y为动点尸(x,0)到点A(0,2),B(l,3)距离和,即y=|R4|+|因

作A点关于x轴的对称点A'(0,-2)

.-.|PA|+|PB|=|PA|+|PB|>|A5|=>/26(等号成立条件：P,4,8共线)

当x—或1—>-oo时、|R4|+|夫国f+oo

函数的值域为+8)

小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住

两个距离共同的特点(例如本题中都抓住含根式中的尤0,所以找到了一个共同

的动点(昌0))

答案：(1)21n2+3,^^+1(2)[726,4-00)

如果一个函数为单调函数，见由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出函数

的值域

(1)判断函数单调性的方法与结论：

①增+增一增减+