湖南省娄底市高三上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省娄底市高三上学期1月期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x∈(e,+∞)，ln x>1”的否定是(

)A.∀x∈(e,+∞)，ln x≤1 B.∃x∈(e,+∞)，ln x≤1

C.∀x∈(0,e]，ln x>1 D.2.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则|z|=(

)A.102 B.5 C.3.已知集合A={a,1}，B={x|x2+x−2≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是A.{−2,1} B.{−1,0,2} C.[−2,1] D.[−2,1)4.若sin(α+β)−2cos αsin β=cos(α−β)，则下列结论一定正确的是A.tan(α−β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α−β)=−15.在△ABC中，点D在BC边上，且BD=13BC，设AB=a，A.34a+14b B.16.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，已知AB=4，∠BAC=30°，M是BC的中点，二面角O−BC−P的大小为60°.则圆锥PO的体积为(

)

A.4π3 B.4π C.16π3 7.已知5a=2，52b=3A.a<b且a<2b B.a>b且a>2b C.2b<a<b D.b<a<2b8.已知点F是拋物线E：x2=4y的焦点，点A是拋物线E上一点，过点A作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧(如下图所示).A.2 B.3 C.4 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin32x+π4，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后与函数A.函数y=g(x)的最小正周期为4π3 B.函数y=g(x)图象关于点−π3,0对称

C.函数y=g(x)图象关于直线x=π3对称 10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=14，P(A∪B)−P(A∩B)=A.A，B相互独立 B.P(B|A)=13

C.P(A11.已知函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若x0∈D，f(x0)=x0，则称x0是f(x)在D上的不动点，集合A={x0|f(x0)=A.x1+x2+x3=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ex−2x−x213.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a=6，则△ABC的面积的最大值为________．14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，其中c>0，直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于P，Q四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列{an}满足：(1)求数列{a(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，若b16.(本小题12分)为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如下的频数统计表：(1)若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？(2)为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：α0.100.050.010x2.7063.8416.635χ2=n(ad−bc)17.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D为边AC上(异于A，C两点)的动点，平面(1)请判断四边形BB(2)已知侧面AA1C1C⊥底面ABC，AD=3DC，AA1=B18.(本小题12分)已知函数f(x)=ex，(1)证明：函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称；(2)设F(x)=f(x)g(x)−1．(ⅰ)判断函数F(x)的单调性；(ⅱ)证明：∀x∈(2,+∞)，F(x+1)e>19.(本小题12分)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)(1)求双曲线C的标准方程；(2)设A1，A2分别是双曲线C的左、右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q(异于A1，A2)两点．直线A1P与直线A(3)过点F(1,0)且斜率为k(|k|≥1)的直线交第(2)问的轨迹E于A，B(A,B不在坐标轴上)两点，点G是轨迹E上一点，满足GF⊥x轴，直线OA，OB分别交直线GF于点M，N，其中O为坐标原点，记S△AMF=S1，S△BNF=参考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.x+y−1=0

13.314.(15.解：(1)因为an+1=an+2n(n∈N∗)，

所以当n≥2时，an=an−1+2n−1，⋯，a3=a2+22，a2=a1+2，

上述各式相加得an=a1+2+216.解：(1)根据题意得如下2×2列联表：

零假设H0:该校学生的基本技能与性别无关联，

χ2=200×(60×50−60×30)2120×80×110×90=10033≈3.030>2.706，

依据小概率值a=0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1．

(2)由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名，

所以随机变量X的可能取值有0，1，2，

故P(X=0)=C2017.解：(1)四边形BB1ED是平行四边形.理由如下：

在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1/​/BB1，

又BB1⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，

所以BB1/​/平面ACC1A1，

又平面B1BDE∩平面ACC1A1=DE，BB1⊂平面B1BDE，所以BB1//DE．

又平面A1B1C1//平面ABC，平面B1BDE∩平面ABC=BD，平面B1BDE∩平面A1B1C1=B1E，

所以BD//B1E.

所以四边形BB1ED为平行四边形．

(2)取AC的中点O，连接BO，A1O.

在△ABC中，因为BA=BC，所以BO⊥AC，

因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC∩侧面ACC1A1=AC，BO⊂底面ABC，所以BO⊥平面ACC1A1，

又OA1⊂侧面ACC1A1，所以BO⊥OA1．

在△ABC中，由AC=4，AB=BC=22，可知OB=2，

在Rt△OBA1中，因为B18.解：(1)设点P(x0,y0)为函数f(x)=ex上任一点，

又点P(x0,y0)关于直线y=x对称的点为Q(y0,x0)，

因为y0=f(x0)=ex0，所以x0=lny0，

所以点Q(y0,x0)在函数y=g(x)的图象上．

设点M(x1,y1)为函数y=g(x)上任意一点，

又点M(x1,y1)关于直线y=x对称的点为N(y1,x1)，

因为y1=g(x1)=lnx1，所以x1=ey1，

所以点N(y1,x1)在函数y=f(x)的图象上．

综上可得，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称;

(2)(i)由已知F(x)=f(x)g(x)−1=ex⋅lnx−1(x>0)，

得F′(x)=ex⋅lnx+exx=e19.解：(1)因为D是双曲线C的右支上一点，且|DF1|−|DF2|=22，

所以a=2，

又双曲线C的离心率为62，

即e=ca=62，得c=3，

所以b=c2−a2=1，

所以双曲线C的标准方程为x22−y2=1．

(2)由(1)得双曲线C的方程为x22−y2=1，

设R(x,y)