初升高数学之衔接：一元二次方程根与系数的关系

专题三一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程加+法+c=O(awO),用配方法将其变形

为：.

由于可以用。2—4双的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把

b2-4ac叫做一元二次方程”2+云+。=0(々。0)的根的判别式，表示为：

△=〃—4ac

对于一元二次方程ay+Zur+c=O(a#0),有

[1]当A_0时，方程有两个不相等的实数根:；

[2]当△_()时,方程有两个相等的实数根:;

[3]当△_()时，方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程公2+云+C=o(。。0)的两个根为王,32，那么：

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，

所以通常把此定理称为“韦达定理”.上述定理成立的前提是△?().

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程0=0,若汨，心是其两

根，由韦达定理可知

小+尼=-p,X\•x-2=Qt即p=­(%i+%)fq=X、*x2，

所以，方程/+口¥+,=0可化为(*+用)才+为•莅=0,由于小，莅是一元

二次方程/+以+,=0的两根，所以，x\,莅也是一元二次方程下—(*+尼)彳+

X\•尼=0.因此有

以两个数为，为为根的一元二次方程(二次项系数为D是/一Gi+X2)x+

XI•质=0.

【例题选讲】

例1已知关于x的一元二次方程3/_2冗+攵=0,根据下列条件，分别求出％的

范围：

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

解：V△=(—2)2-4x3x4=4—12左,A(1)4—12%>0=&<」；(2)

3

4-12%=0nZ=L(3)4-12^>0=>il>-；(4)4-12Z〈0=AvL

333

例2已知实数x、y满足炉+/一孙+2%一丁+1=0,试求x、y的值.

解：可以把所给方程看作为关于％的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+i=0

由于1是实数，所以上述方程有实数根，因此：

A=[―(y-2)]2—4(y2—y+1)=-3y2>0=>y=0,

代入原方程得：f+2x+i=()n戈=一].综上知：x=-l,y=0

例3若如乙是方程f+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：

(1)(2)—I—；(3)(%,—5)(^2—5)；

*x2

(4)\xi-x2\.

解：由题意，根据根与系数的关系得：%+/=-2,即¥2=-2007

222

(1)+x2=(x,+x2)-2X,X2=(-2)-2(-2007)=4018

(2)_L+_L=9五=二=-_

玉x2x,x2-20072007

(3)(x,-5)(%-5)=x,x2-5(^+X2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|M/1=J(F_p)2=+/)2_4%多=J(-2f-4(—2007)=2J2OO8

说明，利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

22/、2r11X.+X.

（占一/）2=（玉+工2产一4人入2，

+X2=（X,+/）-2再电，--1-------=--------------

斗x2x,x2

ix-wtJa+wATxw等等.韦达定理体现了整体思想.

例4己知百,工2是一元二次方程4心：2_4丘+2+1=0的两个实数根.

3

（1）是否存在实数3使（2%-々）（玉-2占）=-］成立？若存在，求出上的值；若

不存在，请说明理由.

⑵求使工+%-2的值为整数的实数上的整数值.

Z%

解：（1）假设存在实数3使（2%-迎）（百-2々）=-|成立.：一元二次方程

4收_4去十k+1=0的两个实数根，.♦・

4A*0

•,nZ<0,又x„x,是一元二次方程

A=（-4k）2-4.4k（k+l）=-16k>0-

xi+x2=\

4H2_46+2+1=0的两个实数根，・•・\\+i

22

（2A1-人2）（人1-242）=2（A14-A2）—5人］人2=2（人］十人2）2—9人1人2

k+9

=~~4lT但/<0.

3

工不存在实数3使（2不一w）（X-2占）=一5成立.

（2）•/J玉―2二4+，_2=（X+%）_4.*--4=---

x2%1x^x2xtx2k+lk+\

・•・要使其值是整数，只需Z+1能被4整除，故欠+1=±1,±2,±4,注意到赴<0,

要使工+受-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.

【巩固练习】

1.若不加是方程2f—6x+3=0的两个根，则工+工的值为()

八与

19

A.2B.-2C.-D.-

22

2.若，是一元二次方程公2+法+。=03。0)的根，则判别式△=〃-4ac和完全

平方式M=(2〃f+b)2的关系是()

A.\=MB.A>MC.A<MD.大小关系不能确

定

3.设xpx2是方程f+px+q=O的两实根，%+1,/+1是关于x的方程

/+/+〃=0的两实根，贝ijp=,q=.

4.己知实数a,/?,c满足。=6-"。2二出?一9,贝ija二»b-,c-

5.已知关于x的方程/+31-6=0的两个实数根的平方和等于11,求证：关于

x的方程(2-3)x2+kmx-nr+6〃L4=0有实数根.

6.若百,马是关于x的方程/-(2R+DX+/+1=0的两个实数根，且百,乙都大于

1.

(1)求实数女的取值范围；(2)若土=?