一次方程（组）及其应用（讲义）-2024年浙江中考数学一轮复习学案

第二草无方程（HL）星系等K（姬）

第5许一次方程（«L）4其成用

课标要求

1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等

式变形。

2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意

义。

3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。

备考指南

考点分布考查频率命题趋势

考点1等式的基本性质☆一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为

未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以统称为

考点2一次方程（组）的概念☆

“一次方程”.

考点3一次方程（组）的解法☆☆中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考

察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，

而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.

考点4一次方程（组）的应用☆☆☆

预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用

题，为避免丢分，学生应扎实掌握.

知识网络

知识清单

1.一次方程（组）的相关概念：

（1）方程是指含有未知数的臣式.

（2）只含有二±未知数，并且未知数的指数是二2女，这样的方程叫做一元一次方程.

（3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.

（4）二元一次方程组：由两个一次方程组成，井口含有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.

（5）方程的解：使方程左右两边的值超爰的未知数的值叫做方程的解.

2.等式的性质：

(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或式,所得结果仍是等式；

(2)等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0),所得结果仍是等式.

3.解一元一次方程的步骤：

(1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数,注意不要漏乘.

(2)去括号:注意括号前的系数与符号.

(3)逸耻把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号.

(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a#))的形式.

(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得*=上

a

4.解二元一次方程组的一般方法

解二元一次方程组的基本思想是消元，有£△消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法.

(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程

中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.

(2)加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两

边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.

5.一次方程(组)的应用：

列方程组解应用题的步骤：①空建；②邃无；③找出能够包含未知数的等量关系:⑷列出方程组：

⑤求出方程组的解:⑥验根并作答.

__0

'深度讲练

■考点一等式的基本性质A

◊典例1:(2023•阳谷县三模)在下列式子中变形一定正确的是()

A.如果2a=1,那么a=2B.如果a=b,那么—=-^.

CC

C.如果。=匕，那么a+c=b+cD.如果4・b+c=0,那么a=b+c

【考点】等式的性质.

【答案】C

【思路点拨】根据等式的性质逐个判断即可.

【解析】解:A.V2a=l,

二1=工，故本选项不符合题意;

2

B.当c=0时，由夕=6不能推出且=旦，故本选项不符合题意;

CC

C.,:a=b,

:・a+c=b+c,故本选项符合题意；

D.**a-Z>+<?=0,

：・a=b-c,故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子,

等式仍成立；②等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等

式仍成立.

【变式训练】

1.（2023•衢江区三模）已知。=从下列等式不一定成立的是（）

A.5a=5bB.a+4=b+4C.b-2=a-2D.9

cc

【考点】等式的性质.

【答案】D

【思路点拨】根据等式的性质，分别判断即可.

【解析】解：

：.5a=5b,

故力不符合题意，

":a=b,

，a+4=b+4,

故8不符合题意；

•:a=b,

:.b~2=a-2,

故C不符合题意；

•：a=b,

・•・当。=0时卫生=>不成立，故。符合题意，

cc

故选：D.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.

2.（2021•安徽）设mb,c为互不相等的实数，且/）=&+工，则下列结论正确的是（）

55

A.a>b>cB.c>b>aC.a-b=4(b-c)D.a-c=5(a-b)

【考点】等式的性质.

【答案】D

【思路点拨】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可.

【解析】解：•・”=&+」《

55

•,*5b=4，+c,

在等式的两边同时减去5a,得到5（b-a）=c-a,

在等式的两边同时乘-1,则5（°-6）=a-c.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键.

■考点二一次方程（组）的相关概念A

◊典例2：1.（2023♦安吉县一模）已知3是关于x的方程2r-4=1的解，则〃的值为（）

A.-5B.5C.7D.-7

【考点】一元一次方程的解.

【答案】B

【思路点拨】将x=3代入方程计算即可求出夕的值.

【解析】解：将x=3代入方程2x-a=l得：6-0=1,

解得：a=5.

故选：B.

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

2.（2022•上城区一模）二元一次方程4x-y=2的解可以是（）

A.产一2B,卜=TC.卜=1D.卜=2

ly=10[y=2Iy=2（y=-6

【考点】二元一次方程的解.

【答案】C

【思路点拨】把各选项代入方程，验证可得结论.

【解析】解：当卜=-2时，-8-10=-12#2,故/选项不是二元一次方程的解；

y=10

当I""1时，-4-2=-6¥2,故8龙项不是二元一次方程的解；

y=2

当时，4-2=2,故C选项是二元一次方程的解；

ly=2

当[x=2时，8+6=14W2,故。选项不是二元一次方程的解；

ly=-6

故选：c.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解.掌握二元一次方程解的验证办法是解决本题的关键.

【变式训练】

1.（2021•杭州一模）已知一2是关于X的方程2x+a=l的解，则a=5.

【考点】一元一次方程的解.

【答案】5

【思路点拨】把x=-2代入方程即可得到一个关于。的方程，即可求解.

【解析】解：把x=-2代入方程，得：-4+a=l,

解得：a=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键.

2.（2021•凉山州）已知是方程“产尸―2的解，则a的值为7.

ly=3

【考点】二元一次方程的解.

【答案】7.

【思路点拨】把方程的解代入方程，得到关于。的一元一次方程，解方程即可.

【解析】解：把卜口代入到方程中得：。+3=2,

ly=3

：.a=-1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于口的一元一次方程是解题的关

键.

3.（2023•舟山模拟）已知口二1是方程⑪+勿=3的解，则代数式2a+46-2023的值为-2017.

ly=2

【考点】二元一次方程的解.

【答案】-2017.

【思路点拨】根据二元一次方程解的定义可得。+26=3,再将2a+46-2023化成2（a+26）-2023,整

体代入计算即可.

【解析】解：・・・卜:1是方程办+勿=3的解，

ly=2

"26=3,

.・・2a+4Z）-2023=2（a+2b）-2023

=6-2023

=-2017,

故答案为：-2017.

【点睛】本题考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的前提.

■考点三一次方程（组）的解法A

◊典例3：1.（2023•杭州一模）解方程：①邑.

36

【考点】解一元一次方程.

【答案】x=1.5.

【思路点拨】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,求解即

可.

【解析】解：去分母，得2（3x-2）-6=5-4x,

去括号，得&-4-6=5-4x,

移项，合并同类项，得10x=15,

系数化为1,得x=L5.

【点睛】本题考查了解•元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

2.（2021•嘉兴二模）解方程组：［3x-2y=6①

lx+y=5②

小海同学的解题过程如下：

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程.

【考点】解二元一次方程组.

【答案】（1）,（2）,（3”.

9

y=?

【思路点拨】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步

移项没有变号，写出正确的解答过程即可.

【解析】解：错误的是（1）,（2）,（3）,

正确的解答过程：

由②得：尸5-x③

把③代入①得：3x-10+2x=6,

解得：』，

x5

把X=M代入③得：y-i,

55

,此方程组的解为，c9.

y=T

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为

一元方程是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023•温州一模)将方程史3+1土2去分母，结果正确的是()

23

A.3(x+3)+6=2(x-2)B.3(x+3)+1=2(x-2)

C.3x+3+l=2x-2D.3x+3+6=2x-2

【考点】解一元一次方程.

【答案】A

【思路点拨】根据等式的性质两边都兵以6即可去掉分母.

【解析】解：正3+i，z2,

23

去分母，得3(x+3)+6=2(x-2).

故选：A.

【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步躲是解题的关键.

2.(2023•浙江模拟)以下是欣欣解方程：x+2_2x-ln的解答过程:

32

解：去分母，得2(x+2)-3(2x-1)=1；..............................①

去括号：2x+2-6x+3=l；................................................(2)

移项，合并同类项得:-4x=-4；.............................................(3)

解得：x=\....................................................................................(4)

(1)欣欣的解答过程在第几步开始出错？(请写序号即可)

(2)请你完成正确的解答过程.

【考点】解一元一次方程.

【答案】(1)步骤①；(2)见解析.

【思路点拨】(1)出现错误的步骤是第一步去分母，原因是各项都要乘以最简公分母;

(2)写出正确解答过程即可.

【解析】解：(1)步骤①：

(2)去分母，得2G+2)-3(2x・l)=6；

去括号：2x+4-6x+3=6；

移项，合并同类项得：-4x=-l；

解得：X」.

4

【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程解法，正确计算是解题的关键.

3.（2022•台州）解方程组：［x+2y=4

x+3y=5

【考点】解二元一次方程组.

【答案】x=2

y=l

【思路点拨】通过加减消元法消去X求出y的值，代入第一个方程求出X的值即可得出答案.

【解析】解：（X+2y=4®，

Ix+3y=5②

②■①得：尸1，

把尸1代入①得：x=2,

・♦•原方程组的解为卜二2.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元

方程是解题的关键.

■考点四一次方程（组）的应用A

◊典例4：1.（2023•龙游县一模）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每

件衣服获利100元，则这件衣服的进价是一500元.

【考点】一元一次方程的应用.

【答案】500

【思路点拨】设这件衣服的进价工元，标价为（1+50%）x,根据题意可得等量关系：标价X八折-进

价=利润，根据等量关系列出方程即可.

【解析】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：

（1+50%）xX80%-x=100,

解得：x=500,

即：这件衣服的进价500元.

故答案为：500.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方

程.

2.（2023•浙江模拟）某商场第1次用39万元购进48两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进

价和售价如表（总利润=单件利润X销售量）:

价格进价（元/售价（元/

商品件）件）

A12001350

B10001200

（1）该商场第1次购进4,8两种商品各多少件？

（2）商场第2次以原进价购进4,8两种商品，购进4商品的件数不变，而购进8商品的件数是第1

次的2倍，力商品按原售价销售，而3商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获

得利润等于5.4万元，则8种商品是按几折销售的？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用.

【答案】（1）该商场第1次购进力商品200件，8商品150件；（2）8种商品是打9折销售的.

【思路点拨】（1）设该商场第1次购进/商品x件，购进8商品y件，根据“该商场第1次用39万元

购进力、〃两种商品.销售完后获得利润6万元”，即可得出关于小y的二元一次方程组，解之即可得

出结论；

（2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于54000元，即可得出关于m的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【解析】解：（1）设该商场第1次购进彳商品x件，购进B商品y件,

〃由上伯｛1200x+1000y=390000

依题忠，得：｛,

I（1350-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得：（x=200

ly=150

答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件.

（2）设〃种商品是打加折销售，

依题意，得：200X（1350-1200）+150X2X（1200XJL-1000）=54000,

10

解得：m=9.

答：8种商品是打9折销售的.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

【变式训练】

1.（2023•余姚市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三

十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（)

A.4x+2（35-x）=94B.」=94

24"

94x

C.2x+4（35-x）=94D.2,+~=oc

24”

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程：数学常识.

【答案】C

【思路点拨】设鸡x只，则兔（35-x）只，根据共有“94条腿”，即可列出相应的方程.

【解析】解，设鸡x只，则兔（35-x）只，

由题意可得：2x+4（35-x）=94,

故选：C.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出

相应的方程.

2.（2023•柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场

得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜6场.

【考点】一元一次方程的应用.

【答案】6.

【思路点拨】设甲胜了x场，根据“共赛10场，甲队保持不败，得22分”列出方程并解答.

【解析】解：设甲胜了x场，

由题意：3x+（10-x）=22,

解得x=6,

甲队胜了6场，

故答案为：6.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程.

3.（2022•椒江区二模）李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为6升/百公里（100公

里油耗为6升），在非高速路段平均油耗为7.5升/百公里，从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为

270公里.

（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；

（2）若汽油价格为8元/升，高速路段过路费为0.45元/公里，求此次杭州到椒江的单程交通费用（交

通费用=油费+过路费）.

【考点】二元一次方程组的应用.

【答案】（1）此次杭州到椒江高速路段的路程为250公里;

（2）244.5元.

【思路点拨】（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为X公里，则非高速路段的路程为y公里，由题意:

从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里.列出二元一次方程，解方程组即可；

（2）求出此次杭州到椒江的单程油费和过路费，即可解决问题.

【解析】解.：（1）设此次杭州到椒江高速路段的路程为x公里，则非高速路段的路程为y公里，

x+y=270

由题意得：

X6-^yX7.5=16.5

解得:x=250

y=20

答：此次杭州到椒江高速路段的路程为250公里；

（2）此次杭州到椒江的单程油费为：8X16.5=132（元），

此次杭州到椒江的单程过路费为：0.45X250=112.5（元），

・•・此次杭州到椒江的单程交通费用为：132+112.5=244.5（元），

答：此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

真题演练'

1.（2022•下城区二模）下列说法正确的是（）

A.若a=b,贝I-cB.若a=b,则4一二庆^

C.若上=且，则D.若加2=儿2,则

ab

【考点】等式的性质.

【答案】B

【思路点拨】根据等式的性质逐个判断即可.

【解析】解：4,•解=1

；・a+c=b+c,故本选项不符合题意；

B.":a=b,

：・ad=bd,故本选项符合题意；

「Lz••••b—>―a,

ab

:・W=P,

；.Q=±b,故本选项不符合题意；

D.当C=0时，由讹2=儿?2不能推出4=6,故本选项不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考杳了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1:等式的两

边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数（或式子）,

等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立.

2.（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（）

{y=2{y=l{y=2[y=4

【考点】解二元一次方程组.

【答案】A

【思路点拨】代入x,y的值，找出方程左边=方程右边的选项，即可得出结论.

【解析】解：A.当x=l,y=2时，方程左边=2X1+3X2=8,方程右边=8,

・•・方程左边=方程右边，选项4符合题意；

B.当x=2,y=l时，方程左边=2X2+3X1=7,方程右边=8,7W8,

・••方程左边W方程右边，选项8不符合题意：

C.当x=-l,y=2时，方程左边=2X（-1）+3X2=4,方程右边=8,4W8,

・•・方程左边工方程右边，选项。不符合题意；

D.当x=2,y=4时，方程左边=2X2+3X4=16,方程右边=8,16#8,

二方程左边工方程右边，选项。不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的

值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键.

3.（2021•温州）解方程-2（2什1）=x,以下去括号正确的是（）

A.-4x+l=-xB.-4x+2=-xC.-4x-1=xD.-4x-2=x

【考点】解一元一次方程.

【答案】D

【思路点拨】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号.

【解析】解：根据乘法分配律得：-（4A-+2）=x,

去括号得：-4x-2=x,

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去

掉，括号的各项都要变号.

4.（2021•苍南县模拟）若x、），满足方程组（4x-y=8,则x-y的值为（）

x+2y=2

A.-2B.-1C.1D.2

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【答案】D

【思路点拨】方程组两方程相减即可求出结果.

4X-Y=8

【解析】解：（®，

x+2y=2②

①-②得：3彳-3尸6,

则x-y=2,

故选：D.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

5.（2023•钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”何题：今有三人共车，二车空;

二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无

车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2（x+9）C.^-9=-^-QD.3（x-2）=2x+9

3+z2y

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识.

【答案】D

【思路点拨】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解析】解：设车x辆，根据题意得：3（x-2）=2x+9.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

6.（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、

小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器

1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小

容器的容量为），斛，则可列方程组是（）

Ax+5y=3[5x+y=3f5x=y+35x=y+2

5x-*y=2Ix+5y=2Ix=5y+2x=5y+3

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组：数学常识.

【答案】B

【思路点拨】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2

斛”，列出关于X、y的二元一次方程组即可.

【解析】解：由题意得：（5X+V=3.

Ix+5y=2

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

7.（2023•镇海区校级一模）关于x,y的方程组3y=18（其中。，台是常数）的解为则方程

-x+5by=17y=4

组12a（x5+3（i）=18的解为（）

（x+y）-5b（x-y）=-17

Afx=3Dx=7「fx=3.5「fx=3.5

Iy=4y=-ly=-0.5（y=0.5

【考点】二元一次方程组的解.

【答案】C

【思路点拨】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+六x•＞分别相当于原方程组中的x、A据此列

出方程组，解之可得.

【解析】解：由题意知，①，

lx-y=4②

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①-②，得：2y=-1,y=-0.5,

所以方程组的解为fx=3・5,

ly=-0.5

故选：C.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方

程组.

8.（2023•丽水模拟）已知关于x的方程2x+m-8=0的解是x=3,则m的值为2.

【考点】一元一次方程的解.

【答案】2

【思路点拨】直接把x的值代入方程求出答案.

【解析】解：•・•关于x的方程2x+m-8=0的解是x=3,

A2X3+W-8=0,

解得：m=2.

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键.

9.（2023•长兴县校级一模）若关于x、y的二元一次方程版-什=1有一个解是（x=3,则片4.

ly=2

【考点】二元一次方程的解.

【答案】4

【思路点拨】把x与y的值代入方程计算即可求出。的值.

【解析】解：把I"」代入方程得：9-勿=1,

ly=2

解得：a=4,

故答案为：4.

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

10.（2021•浙江）己知二元一次方程"3y=14,请写出该方程的一组整数解（答案不唯一）.

y=l

【考点】二元一次方程的解.

【答案】（X=11（答案不唯一）.

ly=l

【思路点拨】把y看作已知数求出X,确定出整数解即可.

【解析】解：x+3y=14,

x=14-3yt

当y=l时，x=11＞

则方程的一组整数解为卜口1.

Iy=l

故答案为：1x=ll（答案不唯一）.

ly=l

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

11.（2021•温州三模）某商品的买入价为a元，出售价为50元，则毛利率为2=处3.（0＜。＜50）.若用

a

P的代数式表示。=_包」.

P+1

【考点】等式的性质；解二元一次方程.

【思路点拨】利用等式的性质将毛利率的公式进行变形，然后将p看作常数，求出。的值.

【解析】解：等式左右两边同时乘以。，可得：ap=50-a,

移项，可得：的+。=50，

合并同类项，可得：（p+1）。=50,

系数化1,可得：〃=&-，

P+1

故答案为：

p+1

【点睛】本题考查等式的性质，解二元一次方程，掌握等式的性质，将字母P看作常数解关于。的方程

是解题关键.

12.（2022•黄岩区一模）方程组的解是_fx=4_.

2x+y=5ly=-3

【考点】解二元一次方程组.

【答案】卜二4

y=-3

【思路点拨】应用加减消元法，求出方程组的解即可.

【解析】解:k4y=呢,

12x9=5②

①-②，可得・x=-4,

解得x=4,

把％=4代入①，可得：4+丁=1,

解得y=-3,

・••原方程组的解是

ly=-3

故答案为：

ly=-3

【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用.

13.（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某

日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的

速度为60里/小时.

【考点】一元一次方程组的应用：一元一次方程的应用.

【答案】60

【思路点拨】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上

风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解.

【解析】解：戴宗顺风行走的速度为：180+2=90（里〃卜时），

戴宗逆风行走的速度为：180+6=30（里/小时），

设戴宗的速度为x里/小时，风速为丁里/小时，

x+y=90

由题意得:

x-y=30

x=60

解得:

y=30

工设戴宗的速度为60里/小时,

答：戴宗的速度为60里/小时.

故答案为：60.

【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系.

14.（2021•萧山区模拟）设A/=2x-3y,N=3x-2ytP=xy.若M=5,N=0,则P=6.

【考点】解二元一次方程组.

【答案】6.

【思路点拨】根据题意得到关于x、y的方程组，利用加减消元法求得方程组的解，即可求得尸的值,

【解析】解：由题意得俨.3尸5%

l3x-2y=0（2）

①+②得5x-5y=5,即x-y=l③，

①-③X2得一尸3,

解得y=-3,

把y=-3代入③得，x=-2,

：,P=xy=-2X（-3）=6,

故答案为6.

【点睛】本题考查了解一元二次方程组，解方程组的方法有加减消元法和代入消元法.

15.（2021•余杭区二模）已知x=-2是关于x的方程」（1-2or）=什。的解，求。的值.

2

【考点】一元一次方程的解.

【答案】〃=■立

2

【思路点拨】把x=-2代入工（1-2"）即可得出关于。的方程，求出方程的解即可.

2

【解析】解：把x=-2代入」■（1-2«x）=x+a得：—（l+4a）--2+a,

22

解得：。=一且

2

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键.

16.（2023•衢州）小红在解方程卫望2+1时，第一步出现了错误：

36

解：2X7x=（4x-1）+1,

（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.

（2）写出你的解答过程.

【考点】解一兀一次方程.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【思路点拨】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；

（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解.

【解析】解：（1）如图：

（2）去分母：2X7x=（4x7）+6,

去括号：14x=4x-l+6,

移项：14x-4x=-l+6,

合并同类项：10x=5,

系数化I：x=l.

2

【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1,

求出解.

17.（2023•台州）解方程组：（X+y=7.

2x-y=2

【考点】解二元一次方程组.

【答案】卜二3

y=4

【思路点拨】利用加减消元法求解即可.

【解析】解:（X+y=7®,

12x-y=2②

①+②得3x=9,

解得x=3,

把x=3代入①，得3+y=7,

解得尸4,

・••方程组的解是

ly=4

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法.

18.（2021•台州）小华输液前发现瓶中药液共250亳升，输液器包装袋上标有“15滴/亳升”.输液开始时,

药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的

药液余量为160亳升.

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量：

（2）求小华从输液开始到结束所需的时间.

【考点】一元一次方程的应用.

【答案】（1）200亳升；

（2）60分钟.

【思路点拨】（1）先求出药液流速为5亳升/分钟，再求出输液10分钟的亳升数，用250减去输液10

分钟的亳升数即为所求；

（2）可设小华从输液开始到结束所需的时间为£分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160亳

升，列出方程计算即可求解.

【解析】解：（1）250-754-15X10

=250-50

=200（毫升）.

故输液10分钟时瓶中的药液余量是200亳升；

（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为，分钟，依题意有

一。6°（z.20）=160,

20-10

解得f=60.

故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10分钟后药

液流速.

19.（2023•金华模拟）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩

形力8C。，已知EF=EG=1,最小正方形的边长为x.

（1）用x的代数式表示48,8c的长；

（2）若阴影部分的周长与长方形彳8co的周长比为9：14,求x的值.

【考点】一元一次方程的应用；列代数式.

【答案】（1）AB=5x+2；BC=3x+2；

（2）x的值为3.

【思路点拨】（1）由线段的和差关系可求解；

（2）先分别求出阴影部分的周长与长方形力8co的周长，列出方程可求解.

【解析】解：（1）AB=3x+2（x+1）=5x+2；BC=x+\+2x+\=3x+2；

（2）长方形48co的周长=2（5x+2+3x+2）=16x+8,

阴影部分的周长=10x+6.

•••阴影部分的周长与长方形488的周长比为9：14,

/.9(16A+8)=14(10入+6),

解得x=3,

答：x的值为3.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键.

20.（2023•瓯海区一模）

如何分配工作，使公司支付的总工资最少

素材1某包装公司承接到21600个

旅行包的订单，策划部准备

将其任务分配给甲、乙两个A

车间去完成.由于他们的设

备与人数不同，甲车间每天

生产的总数是乙车间每天生

产总数的2倍，甲车间单独

完成这项工作所需的时间比

乙车间单独完成少18天.

素材2经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每