2024-2025学年上海高桥中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知函数，，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】作函数的图象如下,是开口向上的二次函数，其零点个数最多为2个，

①若只有一个解，则函数最多只有4个零点，不合题意；

②若有两个解，要使函数有6个零点，则需两个零点满足或，

(i)若为,则,此时无解;

(ii)若为,则需,即

综上,实数的取值范围为.故答案为:12．已知，，…，是1，2，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中有且仅有一个，满足性质的数列，，…，一的个数________【答案】【解析】当时,所有的排列有:,,其中满足仅存在一个,使得的排列有:;同理可得：；归纳出.

证明:在的所有排列,..中,若，从个数1，中选个数从小到大排列为：,,其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置;满足题意的排列个数为;

若,则满足题意的排列个数为综上故答案为:.二、选择题13.D；14.A；15.D；16.D15.在中，已知，，点在线段上，且满足，当取最小值时，的外接圆面积为（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】以为坐标原点,所在的直线为轴,过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则,又,

所以所在的直线为,设,则所以当时,最小,此时点,因为,所以,所以点的坐标为,则,

设外接圆的半径为,由正弦定理得,所以,所以.故选:.16.中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是（）．①曲线关于原点对称；②曲线上满足的有且只有一个；③动点到定点距离之和的最小值为；④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】设,则根据双纽线的定义有

故,即曲线的轨迹方程为。

用替换方程中的,原方程不变，曲线关于原点中心对称，故①正确;

若曲线上点满足,则点在的垂直平分线，即轴上，故，

代入曲线方程得,解得,所以这样的点仅有一个,故②正确;，当且仅当时，等号成立，,故③正确;由题意知直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点,将代入曲线方程中,方程无非零解，则，解得或，故④正确。故选：D.三、解答题17.（1）（2）18.（1）证明略（2）19.（1）2338.3平方米（2）（3）当为时，停车场面积取得最大值20.给定椭圆，将圆心在坐标原点，半径为的圆称为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是，．（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆的方程与离心率；（2）在（1）的条件下，过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；（3）已知，，椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离为，是否存在实数，，使得为．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，理由见解析【解析】(1)依题意,,椭圆的方程为:,其"伴随圆"的方程为:;

(2)设直线的方程为:,联立,消去整理得:令

解得:,直线截椭圆的"伴随圆"所得弦长为,解得:,点的坐标为:;

(3)结论：存在满足题意。理由如下:

过两点的直线的方程为:整理得：，),即圆心到直线的距离

当时,,但,故等式不能成立;

当时,

又解得:或(舍),

综上所述,存在满足题意.21.已知函数，直线是函数在处的切线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）求证：直线不经过原点；（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】（1）当时，，定义域,,

当时,单调递减;当时,单调递增,的单调递减区间为,单调递增区间为.

(2)依题意,,切线的斜率为,

则切线的方程为,假设切线过原点，

将代入，得，即,

则,即,令,

求导得,则在上单调递增，

于是，函数在上无零点，即假设不成立，切线不过.