专题训练九　平行四边形中的思想方法

专题训练九平行四边形中的思想方法分类讨论思想1.在▱ABCD中,已知AB=6,BE平分∠ABC交AD边于点E,点E将AD分为1∶3两部分,则AD的长为 ()A.8或24 B.8C.24 D.9或242.在▱ABCD中,AB=6,AD=2,点A到边BC,CD的距离分别为AE=3,AF=1,则∠EAF的度数为.

3.(2024临沂期末)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=25,则▱ABCD的周长等于.

4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AB交直线AC于点E,作DF∥AC交直线AB于点F.(1)当点D在边BC上时,求证:DE+DF=AC.(2)当点D不在线段BC上时,请画出符合题意的图形,并判断DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.(3)若AC=6,DE=4,则DF=.

整体思想5.(2024鞍山月考)如图,在▱ABCD中,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F,若BE=2,BF=3,▱ABCD的周长为20,则▱ABCD的面积为.

方程思想6.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是▱ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是.

转化思想7.如图,▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为.

8.(2024丹东期末)如图,在直线l上摆放着三个等边三角形:△ABC,△HFG,△DCE,已知BC=13CE,F,G分别是BC,CE的中点,FM∥AC∥HG∥DE,GN∥DC∥HF∥AB.设图中三个四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=20,则S1=,S2=

【详解答案】1.A解析:如图,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠BEA=∠CBE,∴∠ABE=∠BEA,∴AE=AB=6.∵点E将AD分为1∶3两部分,∴DE=18或DE=2,当DE=18时,AD=24;当DE=2时,AD=8.故选A.2.45°或135°解析:如图1所示,过点A分别作AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别为E,F,图1∵AF⊥DC,AE⊥CB,∴∠DFA=90°,∠AEB=90°.∵AD=2,AF=1,∴DF=1,∴∠DAF=∠D=45°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠DAB=135°,∵AB=6,AE=3,∴EB=3,∴∠EAB=45°;∴∠EAF=135°-45°-45°=45°;如图2所示,过点A分别作AE⊥CB,交CB的延长线于点E,作AF⊥CD,交CD的延长线于点F,同理可得∠EAB=45°,∠FAD=45°,∠BAD=45°,则∠EAF=135°.图23.20或12解析:过点A作AE⊥BC,交BC于点E,如图1,在▱ABCD中,AE=4,AB=5,AC=25,∴EC=AC2-AE2=20-16=2,BE=AB2-AE2=25-16=3,∴BC=EC+BE=2+3=5,∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=20;如图2,过点A作AE⊥BC,交BC的延长线于点E,∵在▱ABCD中,AE=4,AB=5,AC=25,∴EC=AC2-AE2=20-16=2,BE=A图1图24.解:(1)证明:∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠C=∠FDB,四边形AEDF是平行四边形,∴AF=DE.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠FDB,∴BF=DF.∵AB=AF+BF,∴AB=DE+DF,∴DE+DF=AC.(2)过点D作DE∥AB,DF∥AC,有两种可能:如图1,当点D在边BC的延长线上时,DF-DE=AC;如图2,当点D在边BC的反向延长线上时,DE-DF=AC.图1图2(3)2或105.12解析:∵▱ABCD的周长为20,∴2(AD+CD)=20,∴AD+CD=10①,∵S▱ABCD=AD·BE=CD·BF,∴2AD=3CD②,联立①②解得AD=6,∴▱ABCD的面积=AD·BE=6×2=12.6.26°解析:设∠BAC=x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD=BC,AD∥BC,∴∠DCA=∠BAC=x.∵AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=x,∴∠BEC=2x.∵AD=AE=BE,∴BE=BC,∴∠BCE=∠BEC=2x,∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x.∵AD∥BC,∠D=102°,∴∠D+∠DCB=180°,即102°+3x=180°,解得x=26°.7.32解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD=AB,DC∥AB.∵AD=3,AB=CF=2,∴CD=2,BC=∴BF=BC+CF=5.∵△BEF是等边三角形,G为DE的中点,∴BF=BE=5,DG=EG.如图,延长CG交BE于点H.∵DC∥AB,∴∠CDG=∠HEG.在△DCG和△EHG中,∠CDG=∠HEG,DG=∴DC=EH,CG=HG.∵CD=2,BE=5,∴HE=2,BH=3.∵∠CBH=60°,BC=BH=3,∴△CBH是等边三角形,∴CH=BC=3,∴CG=12CH=38.26解析:如图,设AC与FH交于点P,CD与HG交于点Q,由题意可得,△PFC,△QCG和△NGE均是等边三角形.∵F,G分别是BC,CE的中点,易得MF=12AC