2024届上海市某中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届上海市大同中学高三二诊模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知”>/?>（）,椭圆G的方程£+4=1，双曲线。，的方程为1-£=1，G和G的离心率之积为且，则

a~b~a-b~2

G的渐近线方程为（）

A.x±V2y=0B.缶±y=0C.x±2y=0D.2x士y=0

2.若复数z满足力=l-i（i为虚数单位），则其共朝复数三的虚部为（）

A.-/B.iC.-1D.1

3.已知AM,BN分别为圆a：（x+iy+y2=i与o2：%-2『+），2=4的直径，则AR的取值范围为（）

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

4.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种

病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，

感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎

患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不

漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者*这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地

逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃

且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为/（〃），当〃=〃。时，/（〃）最

大，则Po=（）

「、石R6c1I）IG

3323

a（a<b）

5.定义运算。㊉8=1,/,、，则函数/（幻=1㊉2’的图象是（）.

b（a>b）

x,x<0

6.已知函数小)=,-(n+­，若函数尸/⑴一心〃恰有三个零点’则()

A.a<-[,b<0B.«<-l,Z?>0

C.a>-\,b<0D.a>-1,/?>0

7.若直线2x+4)，+〃z=0经过抛物线y=2/的焦点，则机二()

8.等腰直角三角形8。与等边三角形ABO中，ZC=90°,BD=6,现将△48。沿8。折起，则当直线AO与平

面BCD所成角为45。时，直线AC与平面A3。所成角的正弦值为()

A

在D,也

T23

9.已知4ABe中,AB=2,BC=\ZABC=^BD=2DC.AE=ECf则4).跳;=()

BI)

]_

A.1B.-2D.

2

10.在AABC中，气@11小@11。＞1”是“小45。为钝角三角形”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知直线)，二%一2〃2是曲线)，=lnx-Q的切线，则。=()

A.-2或1B.-1或2C.-1或!D.」或1

22

12.当输入的实数戈£[2,30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是()

39

C.D.—

1414728

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(x)=4+log2(1-x)的定义域为

14.已知向量〃=(2,〃，)，h=(1,-2),且则实数，〃的值是

15.给出以下式子：

®tan250+tan350+Gtaii250tan35°；

®2(sin35°cos250+cos350cos650)；

-1+fa川5°

③--------------

\-tan\50

其中，结果为石的式子的序号是____.

16.某种圆柱形的如罐的容积为128%个立方单位，当它的底面半径和高的比值为,时，可使得所用材料最省.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)己知等差数列｛q｝的公差d#O,6=25,且外,如，《3成等比数列.

(1)求使不等式耳之()成立的最大自然数〃;

11312

(2)记数列------的前〃项和为求证：一去工(工六.

、《4+1,2525

18.(12分)已知函数〃力=2,+1|-卜一〃加>0)

(1)当加=2时，求不等式/(x)Wl的解集；

(2)g(x)=/(x)—2,g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为若三角形A3c的面积大于12,求参数6的

取值范用.

19.(12分)如图，在直三棱柱ABC—AB'C'中，ACLAB,AA=AB=AC=2,D,E分别为A3,的中点.

(1)证明：平面笈Z)E_L平面A'AH?；

(2)求点C到平面87)E的距离.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC-Ai加G中，AiA_L平面ABC,ZACB=90°,AC=CB=CiC=lfMfN分别是A8,

4c的中点.

(1)求证：直线MN_L平面ACbi；

(2)求点G到平面WMC的距离.

21.(12分)在AABC中，角4、B、C的对边分别为。、b>c,且cosA=@.

(1)若。=5,c=2A/5>求。的值;

71

(2)若B=—,求tan2C的值.

4

22.(10分)设函数/*)=(1+"2)炉+"一1(其中工£(0,+8)),且函数/(x)在x=2处的切线与直线

(/+2»—)，=0平行.

(1)求k的值；

(2)若函数g(x)=-xlnx,求证：/(x)>g(x)恒成立.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合C1和c?的离心率之积为且，即可得。，〃的关系，进而得双曲线的离心率

2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程1+5=1，双曲线c的方程为=-与二1,

a-b-a~b~

则椭圆离心率勺=,双曲线的离心率s=

由a和。2的离心率之积为B,

2

ee

即l2=---------X---------=---'

2

解得

所以渐近线方程为），=±乎X，

化简可得_r±及》=0,

故选：A.

【点睛】

本题考杳了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

2、D

【解析】

由已知等式求出z,再由共匏复数的概念求得乞，即可得2的虚部.

【详解】

由zi=1-i,=-1-/,所以共朝复数N=・l+i,虚部为1

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共规复数的基本概念，属于基础题.

3、A

【解析】

由题先通出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得

ABMN=^O]O2+（A«+。2叫[OR+0*）]=9-卜0|+0闻，结合卜。|+。2耳的范围即可求解

【详解】

如图，

ABMN=^AO{+0«+0避）.（股4+qa+OW）=[qa+（4O[+a8）]{aq_（AO1+a矶

=何021-卜«+0251=9-|4«+0/1其中,&+023同2-1.2+1]=[1,3],所以

AB-/WNe[9-32,9-l2]=[0,8].

B

故选：A

【点睛】

本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题

4、A

【解析】

根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发

生的概率，即可得出/(p)的表达式，再根据基本不等式即可求出.

【详解】

设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”，

AP(A)=p(1-p)4,P(B)=p(1-pf.

即f(P)一〃(1一〃)4+〃(1一〃f-〃(2-〃)(1一〃?

设工二1一〃〉。,则8(力=/(〃)=(1_力(1+同力=(1_12卜4

A^(x)=(1-x2)x4=—x^2-2x2)xx2xx2<—xR-2"+"=—

22327

当且仅当2-2/=/即_¥=逅时取等号,即〃=为=1一逅.

303

故选：A.

【点睛】

本题主要考查概率的计算，涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用，互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等

式的应用，解题关键是对题意的理解和事件的分解，意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力，属于较难题.

5^A

【解析】

由已知新运算。㊉〃的意义就是取得a,b中的最小值，

/、..fl,x>0

因此函数/x=1㊉2'={,

只有选项A中的图象符合要求，故选A.

6、C

【解析】

当x<0时，y=/(x)一水一匕=不一编:一〃=(1一。)工一力最多一个零点；当尤.0时，

y=/(x)-av-/2=1x3-1(6Z4-1)x2+av-av-/2=|x3-1(a+l)x2-/2,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b=Or得x=—^―；y=/(外一翻一〃最多一个零点；

\-a

当x..O时，y=/(x)-ar-Z?=-x3(6/+l)x2+cix-ax-b=-x5~—(a+])x2-b,

3232

y=/一(〃+l)x,

当。+l,,0,即“，一1时，y..O,y=f(x)-ax-b^[Ota)上递增，y=/(幻一如一〃最多一个零点.不合题意;

当。+1>0,即。>一1时，令)，'>0得工£团+1,+8),函数递增，令y'<0得xe[O,〃+1),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数)，=/(幻一办一力恰有3个零点。函数)，=/(大)一办一人在(-8,0)上有一个零点，在[0,y)上有2

个零点，

如图：

[-/?>()

•••^-<0且11.1.八，

1-67_(々+1)——m+])(a+l)2_〃<0

132

1R

解得〃v0,\—a>0,0>b>—(tz—1)>—1.

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

7、B

【解析】

计算抛物线的交点为(0,：］,代入计算得到答案.

【详解】

1(1A1

y=2/可化为V=二＞,焦点坐标为0,-,故〃2=-7.

2I8J2

故选：B.

【点睛】

本题考杳了抛物线的焦点，属于简单题.

8、A

【解析】

设后为50中点，连接AE、CEt过4作AO_LC£于点O,连接得到NAOO即为直线40与平面BCO所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线4C与平面ABO所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设E为50中点，连接AE、CE,

由题可知CE1BD,所以8O_L平面AEC,

过4作AO_LCE于点O,连接则A0_L平面4OC,

所以ZADO即为直线AD与平面BCO所成角的平面角，

所以sinNAD0="=生，可得40=3及，

2AD

在AAOE中可得。七二3,

又OC=，3O=3,即点。与点C重合，此时有ACJ_平面8cO,

2

过。作CbJLAE与点尸，

又8OJ_平面AEC,所以所以。/_L平面ABO,

从而角ZCAE即为直线AC与平面ABD所成角，sinZGAE=—=^==—,

AE3733

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

9、C

【解析】

以3ABe为基底，将4Q,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

BD=2DC,BD=^BC.AD=BD-BA=^BC-BA,

-1r1一

AE=EC.:.BE=-BC+-BA,

22

ADBE=(^BC-BA)^BC-i--BA)

322

.1.2

=-BC——BCBA——BA

362

=1「---x2exe3xl—=—1.

622

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

10、C

【解析】

分析：从两个方向去判断，先看tanAlan3>1能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分

性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tanAtan区>1成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结

果.

详解：由题意可得，在AA8C中，因为tanAtanB>l,

,sinAsinB,«

所以---------->1,因为0cA<%,0<

cosAcosB

所以sinAsin8>0,cos/lcosB>0,

结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sinAsin3>cosAcos3,

所以cosAcosB-sinAsinBvO,即cos(A+3)<0,所以工<A+B</r,

2

因此0<C<；,所以AA8C是锐角三角形，不是钝角三角形，

所以充分性不满足，

反之，若AA3C是钝角三角形，也推不出“tan8tanC>l,故必要性不成立，

所以为既不充分也不必要条件，故选D.

点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式,

诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.

11、D

【解析】

求得直线y=21的斜率，利用曲线y=的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得〃的值.

【详解】

直线），二工一2/的斜率为1,

对于），=]nx-。，令y，=L=l,解得x=l,故切点为。,一〃），代入直线方程得-〃=1-2/,解得。=一；或1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数,属干基础题.

12、A

【解析】

根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.

【详解】

程序框图共运行3次，输出的x的范围是[23,247],

247-1031449

所以输出的大不小于103的概率为———=-=

247-2322414

故选:A.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[0,1）

【解析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.

【详解】

x>0

解:要使函数有意义厕।八，

即。〈戈<1.则定义域为：[0,1）.

故答案为：［0,1)

【点睛】

本题主要考查定义域的求解，要熟练掌握张建函数成立的条件.

14、1

【解析】

根据a_!_/?即可得出〃•/?=2-=0，从而求出，〃的值.

【详解】

解：:aLb;

••a-b=2-2tn=0；

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算.

15、@@@

【解析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【详解】

z-'x../、柩〃250+柩〃35°仄

@Vtan600=tan(250+35°)=------------------------=<3,

i-tan25Qtan35Q

tan250+tan350+V3tan250tan35°；

=>/3(1-tan25°tan35°)+#>tan25°tan35°,

=V3，

②2(sin35'cos25'+cos35COS650)—2(5加35—525°+。(后35csin25'、)，

0

=2sin60=5/3；

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

【解析】

设圆柱的高为〃，底面半径为小根据容积为128〃个立方单位可得128%=%产人再列出该圆柱的表面积，利用导

数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.

【详解】

设圆柱的高为〃，底面半径为

;该圆柱形的如罐的容积为128〃个立方单位

]28

**•128万=jrr2h»即〃=——.

，该圆柱形的表面积为S=24rl+17rrh=2/rr2+2万广岑=24/型

A/\c，2564p.।/\/2567r

令g(r)=24广十—,贝！］gf(r)=4%厂-

令g'(〃)>0,得,>4；

令，⑺<0,得()<r<4.

・・・g⑺在(0,4)上单调递减，在(4,+8)上单调递增.

r1

，当〃=4时，g&)取得最小值，即材料最省，此时％=].

故答案为：工.

2

【点睛】

本题考杳函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)72=13;(2)证明见解析

【解析】

(1)根据外,%,《3成等比数列，有结合公差dwO,q=25,求得通项，再解不等式见之。.

11(11)

(2)根据(1)(一2〃+27)(一2〃+25厂5〔每而一三万｝用裂项相消法求和,然后研究其单调

性即可.

【详解】

(1)由题意，可知。

即(q+10。)'=4(q+12。),

:・d(2q+25d)=0.

又4=25,4H0,・•・〃=—2,

/.an=-In+27.

**•—2,n+27N0,

:.A?<13.5>

故满足题意的最大自然数为〃=13.

11\(11、

a„an+}(一2〃+27)(-2〃+25)2(-2〃+27-2n+25)

丁1111

Tn=——++-----+---------

。2a3644%

2|_(2523J12321Jf—2〃5+-2-7---2A'?—+251J1J

ipiV1।_1

_/(天__2九+25厂一而50-4n*

从而当九工12时，？；=—1+=一单调递增，且北>°，

5050-4/2

当〃213时，1二—」-+—!—单调递增，且(<0,

5050-4〃

所以几47；«几,

1213

由4二77,几二-工知不等式成立•

2525

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

,、

18、(1)•^|-5<x<--(2)(3,+oo)

【解析】

(1)当〃7=2时，不等式/(X)W1可化为：2|x+l|-|x-2|<l,再利用绝对值的意义，分x<-l,-l<x<,x>2

讨论求解.

(2)根据g(x)=/(x)-2可得g(x)=,3x-m,-i<x<相，得到函数g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为

x+m,x>m

A(-/W-4,0),B(0,-//i),C-,(),再利用三角形面积公式由S=”(6+3)〉12求解.

IJ/

【详解】

(1)当机=2时,

不等式/。产1可化为：2|x+l|-|x-2|<l

①当x<-l时，不等式化X+5N0为,

解得：-50工<一1;

②当一时，不等式化为3xK1,

解得：-1VxW—,

3

③当x>2时，不等式化为X+3W0,解集为①,

综上，不等式的解集为｛/|-5<工<；).

(2)由题得g(x)=<3"一〃?,一1,

x+m,x>m

所以函数g")的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(-〃-4,0),8(0,二~，°，

1m2

・・・A43C的面积为§=-(-77?-4)x|-7n|=—m(^fn+3)

233f

2,、

由S=—〃?(/〃+3)>12,

3

得〃2V-6(舍)，或加>3,

所以，参数〃z的取值范围是(3,+8).

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用，还考查分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19、(1)证明见解析；(2)迪

5

【解析】

(1)通过证明。£_L面A'AGZT,即可由线面垂直推证面面垂直；

(2)根据A'C'//面,将问题转化为求4到面B'DE1的距离，利用等体积法求点面距离即可.

【详解】

(1)因为棱柱ABC—A&C是直三棱柱，所以ACJ.A4'

又ACAfAfAB=A

所以4c_1面4'/189

又D,£分别为从从8c的中点

所以。E〃AC

即OEJ_面AAET

又DEu面B'DE,所以平面夕DEJ_平面

(2)由(1)可知A'C〃AC〃DE

所以AC〃平面？£>£

即点C到平面BDE的距离等于点4到平面BfDE的距离

设点A到面足的距离为力

由(1)可知，£>£_1_面4/33'

且在他B'OE中，8'。=石，DE=i

*，-SB，DE=咚易知S.APD=2

由等体积公式可知^A'-B'DE=^E-A,B'D

即5N环加；*力=§^VAB'DXDE

,1V5,1今।阳，4>/5

由一x——%=—x2xl得〃=----

3235

所以C到平面B'DE的距离等于—

5

【点睛】

本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.

20、(1)证明见解析.(2)@

3

【解析】

(1)连接AG,3G,结合中位线定理可证MN〃笈G,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC_L3G,

BG_LBC,即可求证直线MALL平面AC%；

(2)作,MP_L8C交于点P,通过等体积法，设G到平面9CM的距离为儿则有gs用Mc/=gS/Gc。MP，结合

几何关系即可求解

【详解】

(1)证明：连接AG,BCi,则NGAG且N为AG的中点；

是4b的中点.

所以：MN〃5G；

VAiAlTffiABC,ACcYffiABCt

：.AiA±ACf

在三棱柱ABC・4BiG中，AAi//CCt

.*.AC±CCI,

VZACB=90°,BCCCCi=C,SCu平面BbiGC,CGu平面BbiGC,

・"CJ_平面BB\C\CtbCu平面BBiCiC,

：.AC±BCi；又MN〃BCi

：.AC±MNf

VCB=GC=1,

，四边形BBCC正方形，

工BCitBC：.MNA.BiCt

而ACDBiC=C,且ACu平面ACMCSC平面4c3i,

・7MN_L平面ACS1，

(2)作MP工BC交于点P,设G到平面WCM的距离为A,

因为MP=g,S.B(G=g，

所以VW/CG=9sMGWP=A，

因为CM=*，BiC=O；

R\M=,所以

2

jh

所以：SBRM=5=--・

因为匕iM=V—GC，所以为匹S/w-MP,解得/，邛

•―

所以点C1,到平面％MC的距离为业

3

【点睛】

本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距

离常用体积转化来求，属于中档题

3

21、(1)〃=5；(2)