2025年教科新版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年教科新版高一数学下册阶段测试试卷595考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、不等式的解集是（）A.B.C.D.2、【题文】已知且则函数与的图象可能是（）

ABCD3、【题文】已知直线若圆上恰好存在两个点它们到直线的距离为则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（▲）A.B.C.D.4、已知函数f（x）=则f（﹣1）的值是（）A.-2B.-1C.0D.15、已知a=b=c=log2则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.b＞a＞c6、=()A.B.C.D.17、函数y=（x）的象与函数y=（）图象关于直xy=0对称，则y=f（x）反函是（）A.y=g（x）B.y=g（-x）C.y=-g（x）D.y=-g（-x）8、已知均为锐角，则cos2β=（）A.B.-1C.0D.19、已知点M（-1，6），N（3，2），则线段MN的垂直平分线方程为（）A.x-y-4=0B.x-y+3=0C.x+y-5=0D.x+4y-17=0评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、定义在R上的奇函数y=f（x），已知y=f（x）在区间（0，+∞）有3个零点，则函数y=f（x）在R上的零点个数为____．11、在等比数列{an}中，a1=1，an=-512，Sn=-341，则q=____．12、【题文】已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是____．13、对于任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[﹣2.1]=﹣3．定义R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，则A中所有元素的和为____．14、已知鈻�ABC

中，AB=6隆脧A=30鈭�隆脧B=120鈭�

则鈻�ABC

的面积为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分四、计算题(共2题，共16分)22、已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=____．23、如图，两个等圆圆O1，O2外切，O1A、O1B分别与圆O2切于点A、B．设∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）为抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点，则b=____，c=____．评卷人得分五、解答题(共2题，共4分)24、【题文】(本小题满分6分)

如图，在边长为的菱形中，面分别是和的中点.

（1）求证：面

（2）求证：平面⊥平面

（3）求与平面所成的角的正切值.25、【题文】（本小题满分15分）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M；N分别为PC、PB的中点.

（Ⅰ）求证：PB⊥DM；

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的余弦参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：故选B.考点：解含参量不等式.【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】

试题分析：则函数与互为反函数。

故函数与的图象关于对称；所以选B．

考点：函数图像．【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】本题主要考查点到直线的距离公式根据公式解得四个选项中的圆到的距离分别为四个圆的半径分别为1,4,1,4.所以与四个圆的关系为相离、相交、相离、相交。所以它们到直线距离为的点个数分别为0、4、0、2.所以选D。【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】解：∵函数f（x）=

∴f（﹣1）=f（2）=log22=1．

故选：D．

【分析】利用分段函数的性质即可得出．5、A【分析】【解答】解：a==＞1，b=∈（0，1），c=log2＜0；

∴a＞b＞c．

故选：A．

【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．6、A【分析】【解答】=故选A。

【分析】简单题，应用k·360°+的诱导公式。“函数名不变，符号看象限”。7、D【分析】解：Px；y）为y=f（x）反函数图象的任意一；

P关于yx的对称′（y；x一点在y=f（x）图象上；

∴P′（y；x关于线+y=0对称P″（-x，-）在y=g（x图象；

∵函数y=（x）的图象数y=g（x）的图象于直线x+y对称；

必y=g（-x）即y=-g（-x）

选：D

设Px；y）y=fx）的反函数图象上的任意一点，P关于yx对称点P，x）一在x）的图象上，P′x）关直线x+y=0的对称P″（-x，-y）在=g（）图象上，代入解式变形可得．

本考查反函数的性质和对称，档题．【解析】【答案】D8、C【分析】解：∵均为锐角；

∴cosα==

∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosβ-sinβ=-整理可得：cosβ-2sinβ=-

∴两边平方，整理可得：10sin2β-4sinβ-1=0；

∴解得：sinβ=或-（舍去）；

∴cos2β=1-2sin2β=1-2×（）2=0．

故选：C．

由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的正弦函数公式化简可得cosβ-2sinβ=-

两边平方，整理可得：10sin2β-4sinβ-1=0；从而解得sinβ，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】【答案】C9、B【分析】解：由中点坐标公式可得M；N的中点为（1，4）；

可得直线MN的斜率为k===-1；

由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为k′=1；

故可得所求直线的方程为：y-4=1×（x-1）；

化为一般式可得x-y+3=0

故选B．

由中点坐标公式和斜率公式可得MN的中点和直线斜率；由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．

本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】

定义在R上的奇函数y=f（x）；图象关于原点对称，在区间（0，+∞）有3个零点，故在区间（-∞，0）上也有3个零点；

再由奇函数的定义可得f（0）=0；则函数y=f（x）在R上的零点个数为7；

故答案为7．

【解析】【答案】定义在R上的奇函数y=f（x）；图象关于原点对称，在区间（0，+∞）有3个零点，故在区间（-∞，0）上也有3个零点，再由奇函数的定义可得f（0）=0，由此得到。

函数y=f（x）在R上的零点个数．

11、略

【分析】

由已知，显然q≠1，否则a1=an，由等比数列通项公式、求和公式得即将①代入②得解得q=-2

故答案为：-2

【解析】【答案】首先判断出q≠1，否则a1=an，再利用等比数列通项公式、求和公式表示出an，Sn；解方程组即可。

12、略

【分析】【解析】

试题分析：画出原函数的图像如下图，要使有三个不同的实根，则需要故实数的取值范围为

考点：1.分段函数的应用；2.函数与方程的应用.【解析】【答案】13、58【分析】【解答】解：当时；y=0+0+0=0；

当时；y=0+0+1=1；

当时；y=0+1+2=3；

当y=0+1+3=4；

当时；y=1+2+4=7；

当时；y=1+2+5=8；

当时；y=1+3+6=10；

当时；y=1+3+7=11；

当x=1时；y=2+4+8=12．

所以A中所有元素的和为：1+3+4+7+8+10+11+14=58．

故答案为：58．

【分析】利用分类讨论思想求出A中所有的元素，由此能求出A中所有元素的和．14、略

【分析】解：隆脽鈻�ABC

中，隆脧A=30鈭�隆脧B=120鈭�

隆脿隆脧C=180鈭�鈭�30鈭�鈭�120鈭�=30鈭�

隆脿隆脧A=隆脧C?BC=AB=6

由面积正弦定理公式；得。

S鈻�ABC=12BC?ABsinB=12隆脕6隆脕6sin120鈭�=93

即鈻�ABC

的面积为93

．

故答案为：93

先根据三角形内角和，得到隆脧C=180鈭�鈭�隆脧A鈭�隆脧B=30鈭�

从而隆脧A=隆脧C

所以BC=AB=6

最后用正弦定理关于面积的公式，可得鈻�ABC

的面积为12BC?ABsinB=93

得到正确答案．

本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题．【解析】93

三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．四、计算题(共2题，共16分)22、略

【分析】【分析】本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=66；

设xy=m；x+y=n；

由xy+x+y=17；得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66；

∴m=6；n=11或m=11，n=6（舍去）；

∴xy=m=6；x+y=n=11；

x2+y2=112-2×6=109，x2y2=36

x4+y4=1092-36×2=11809

x4+x3y+x2y2+xy3+y4

=11809+6×109+36

=12499．

故答案为：1249923、略

【分析】【分析】连接O1O2，O2A，O2B，根据切线的性质得到直角三角形，再由直角三角形中边的关系得到角的度数，确定A，B两点的坐标，用待定系数法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如图：

连接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切线，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因为两圆是等圆，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B