2025年新高考艺术生数学突破讲义专题09指数与指数函数

专题09指数与指数函数【考点预测】1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1、指数函数常用技巧（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．【典例例题】例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为，则函数的定义域为，即是定义在上的奇函数，则，则，所以.经检验，当时，为奇函数，满足题意.故选：D.例2．（2024·高三·重庆长寿·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.例3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，所以，即，解得.故选：B例4．（2024·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．，且【答案】B【解析】由指数函数的概念，得且，解得．故选：B例5．（2024·高三·江西·开学考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.故选：A．例6．（2024·高三·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数，，令，解得，则其定义域为，关于原点对称，所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.故选：A例7．（2024·高三·安徽合肥·期中）将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】由题意可得：，，，；，，，，解得.故选：D.例8．（2024·高一·四川成都·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域满足，解得且.故答案为：D例9．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数.(1)当时，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求实数的取值范围.【解析】（1）令，故，当时，取得最小值，最小值为，又，，故的最大值为170，最小值为；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，故，解得，故实数的取值范围为.例10．（2024·高一·河北保定·期中）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【解析】（1）当时，，令，由在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）令，，由于有最大值3，所以应有最小值，因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），故a的值为0．【过关测试】一、单选题1．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为由于，则．故选：B2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由函数是奇函数，可得，解得，即函数，又由函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以符合题意.故选：D.3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：cm.故选：A.4．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】B【解析】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，则，，且得：，所以，，即：.故选：B．5．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，，当时，地震的最大振幅为，当时，地震的最大振幅为，所以修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.故选：C.6．（2024·高三·山西运城·期末）已知是奇函数，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】由题意得，即，所以，故，所以，解得.故选：C7．（2024·黑龙江·二模）已知且，若函数为偶函数，则实数（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【解析】已知且，若函数为偶函数，则有，即，化简得，所以.故选：B8．（2024·高三·广东广州·阶段练习）若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【解析】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D9．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在R上单调递增，当时，，“，”为真命题，则，即实数a的取值范围为.故选：C．10．（2024·高三·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是.故选：A．11．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）集合则集合的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，则或或或，所以，元素个数为.故选：B.12．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则在上单调递增.因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.故选：13．（2024·高三·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，，有最小值.当时，二次函数开口向下，无最小值；当时，无最小值；当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.故选：A14．（2024·高二·河北·学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，令，则，当时，，解得.故选：B15．（2024·高三·湖南常德·阶段练习）设函数（，且）的值域是，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题，当时，，当时，若，单调递减，所以，不满足的值域是;若，单调递增，所以，要使的值域是，则有，解得.故选:D.16．（2024·高三·广东中山·阶段练习）若函数，则下述正确的有（

）A．在R上单调递增 B．的值域为C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【答案】AC【解析】因为是定义在R上的增函数，是定义在R上的减函数，所以在R上单调递增，故A正确；因为，故B错误；因为，所以的图象关于点对称，故C正确，D错误．故选：AC．17．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（

）参考数据：，A．B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时C．D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃【答案】ACD【解析】在函数中，当时，，由，知，，故A正确；当时，，所以，则，当时，，故B不正确；由，得，故C正确；由，得，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题18．（2024·广东·模拟预测）若，则．【答案】【解析】当时，，当时，.故答案为：19．（2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则=.【答案】【解析】由函数，可得，令，两式相加，可得，所以.故答案为：.20．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知是奇函数，当时，，则的值是.【答案】/【解析】因为是奇函数，所以，则.故答案为：.21．（2024·高三·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则.【答案】/【解析】函数在上是奇函数，，.故答案为：.22．（2024·高三·河北张家口·开学考试）若函数是上的偶函数，则实数．【答案】【解析】设，则该函数为上的偶函数，则对任意的，，即，整理可得，所以，，解得.故答案为：.23．（2024·高一·全国·课时练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是．【答案】①⑤【解析】因为指数函数为且，故①⑤正确；由幂函数定义知，是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；对于⑧，当时，，不是指数函数.故答案为：①⑤.24．（2024·高三·北京·开学考试）函数的值域为.【答案】【解析】当时，，当时，则，即，综上的值域为，故答案为：.25．（2024·高三·全国·专题练习）由命题“存在,使”是假命题,得的取值范围是,则实数的值是.【答案】【解析】命题“,使”是假命题,可知它的否定形式“,”是真命题,则,,因为,所以,可得m的取值范围是,而与为同一区间,所以故答案为:.26．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知，则不等式的解集为.【答案】【解析】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，不等式，则，解得，所以不等式的解集为.故答案为：27．（2024·高三·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是.【答案】【解析】若，在单调递增，要满足题意，则要在单调递减，故，即；若，在单调递减，要满足题意，则要在单调递增，故，即，不满足，故舍去；综上所述：的取值范围是.故答案为：.28．（2024·高一·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为.【答案】【解析】因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，则.故答案为：.29．（2024·高三·河南三门峡·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则（参考值，）【答案】0.24/【解析】依题意，，把数据代入公式中，整理得：，两边取自然对数，可得：，即得：.故答案为：0.24.30．（2024·高一·湖北黄冈·期中）当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要