2025年新高考艺术生数学突破讲义专题05一元二次不等式与其他常见不等式的解法

专题05一元二次不等式与其他常见不等式的解法【知识点梳理】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）=1\*GB3①若，解集为.=2\*GB3②若，解集为.=3\*GB3③若，解集为.(2)当时，二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．【典型例题】例1．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足不等式，则的取值范围是.【答案】【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.故答案为：.例2．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为．【答案】或【解析】根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或例3．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.例4．（2024·云南德宏·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，方程的两根为2和3，则，则为，其解集为.故选：D.例5．（2024·广东·高三学业考试）若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，是方程的两个根，且，则，解得，所以.故选：D.例6．（2024·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A．B．C．D．且【答案】B【解析】根据题意可知；，由韦达定理可得，解得，故选：B例7．（2024·全国·高三专题练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.例9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，不等式对任意实数x均成立，即不等式恒成立，当时，不等式可化为恒成立，当时，，解得，综上所述，的取值范围是.故选：B例10．（2024·山东滨州·高三统考期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式对任意恒成立，则，成立，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以实数的取值范围是.故选：B例11．（2024·全国·高三期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因为命题“，”为真命题，若，即，则，；若，即，要使得命题为真命题，则，即，解得或，又因为，所以此时；若，即，则满足命题“，”为真命题；综上，，故选:D.例12．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，过作于，交于，易知，即，则，．所以矩形花园的面积，解得．故选:C．【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高三专题练习）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得：，解得：，即；由得：，，，，解得：.故选：D.2．（2024·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为不等式的解集为，所以和为方程的两根且，，解得，则不等式可化为，因为，所以，解得，所以不等式的解集为：.故选：A3．（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】当方程没有根时，，即，解得；当方程有根，且根都不为负根时，，解得，综上，，即关于x的方程没有一个负根时，，所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，故选:B.4．（2024·全国·高三专题练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，所以，解得，故.故选：A.5．（2024·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，解得：，即的取值范围为.故选：D.6．（2024·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．故选：B．7．（2024·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，则，整理得：，解得：.所以的取值范围是，故选：A.二、多选题8．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，A：由以上可知，故A正确；B：当时，代入方程可得，故B正确；C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；故选：ABD9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的解集为或【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故ABC正确；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D错误.故选：ABC10．（2024·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由，分类讨论如下：当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.11．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由不等式，即，解得，即，又由，解得，即，，A正确，B错误；，则是的两根，则，，C错误，D正确.故选：AD12．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，则对都成立，又，所以，观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选：BCD.三、填空题13．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则．【答案】【解析】原不等式等价于，化简得，所以，又等价于，解得：所以，故答案为：．14．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期末）不等式的解集是．【答案】【解析】不等式等价于，解得.故解集为：.故答案为：15．（2024·上海·高三开学考试）不等式的解集是．【答案】或【解析】由,可得，即，解得或．故答案为：或．16．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式的解集是.【答案】【解析】由得，故答案为：.17．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：18．（2024·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为．【答案】【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，而函数图象开口向上，因此，则，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：19．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为．【答案】.【解析】方程

方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.20．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】命题“”的否定为：“”命题“”为假命题等价于命题“”为真命题；当时，，成立；当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得，综上，实数m的取值范围是.故答案为：.21．（2024·全国·高三专题练习）若命题，是真命题，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】已知命题，是真命题，则二次函数图像与轴有交点，所以，解得或.所以实数a的取值范围为.故答案为：.22．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以由得，因为关于的不等式在区