2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十二微专题1概率与统计中的简单计算

专题强化练（十二）微专题1概率与统计中的简单计算[小题标准练]1．某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若在三次射击中，至少有一次击中目标的概率为eq\f(63,64)，则射击一次，击中目标的概率为(B)A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4) C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)解析：设该运动员射击一次，击中目标的概率为p，则该运动员三次射击中，至少有一次击中目标的概率为1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，解得p＝eq\f(3,4).故选B.2．(2024·泰安二模)已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(1.5≤X<2)＝0.36，则P(X>2.5)＝(A)A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86解析：由题意知，P(1.5≤X<2)＝0.36，所以P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝0.5－P(2<X≤2.5)＝0.14.3．(2024·德阳二模)某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分(满分5分，分值高者为优)的雷达图如图所示，则下列说法错误的是(B)A.在200米项目中，A班的得分比B班的得分高B．在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高C．在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高D．B班的总分比A班的总分高解析：对于A，在200米项目中，A班的得分为4分，B班的得分为3分，A班得分比B班高，A正确；对于B，在铅球项目中，A班的得分为3分，B班的得分为4分，A班得分比B班低，B错误；对于C，在跳高项目中，B班的得分为4分，A班的得分为3分，B班得分比A班高，C正确；对于D，B班的总分为5＋3＋4＋5＋3＋4＝24(分)，A班的总分为4＋4＋3＋5＋4＋3＝23(分)，即B班的总分比A班的总分高，D正确．4．已知事件A，B满足P(A|B)＝0.7，P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.3，则(C)A．P(A∩B)＝0.3B．P(B|A)＝0.3C．事件A，B相互独立D．事件A，B互斥解析：由题知P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.7＝P(A|B)，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即事件A，B相互独立，同一试验中不互斥，而P(B)未知，无法确定P(A∩B)，P(B|A).故选C.5．已知某地区中小学生人数分布情况如图1所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图2所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为(D)A．50% B．32%C．30% D．27%解析：根据题意，抽取的样本容量为(3500＋4500＋2000)×10%＝1000，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为350，450，200，根据题图2知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为35，135，100，所以该地区学生的平均近视率为eq\f(35＋135＋100,1000)×100%＝27%.故选D.6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，则P(B|A)＝(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3) C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)解析：用(x，y)表示第1次掷骰子得到的点数为x，第2次掷骰子得到的点数为y，掷两次骰子，样本点的个数为6×6＝36，因为事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，记事件C＝“x＋y为奇数，且x＋y<6”，所以事件A包含的样本点的个数为3×3×2＝18，事件C包含的样本点的个数为3×2＝6，根据古典概型概率公式，知P(A)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，P(C)＝P(AB)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由条件概率公式，知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3)，故选B.7．(2024·广州模拟)已知一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同．现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k＝1，2，3，4，5，则下列结论错误的是(C)A．P(A1A2)＝eq\f(3,10) B．P(A1∪A2)＝eq\f(9,10)C．P(A2|A1)＝eq\f(1,3) D．P(A3)＝eq\f(3,5)解析：由题得，样本空间包含的样本点个数是Aeq\o\al(5,5)，它们等可能，对于A，A1A2表示第1次、第2次取出的球都是黑球，P(A1A2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,10)，A正确；对于B，P(A1)＝P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,5)，P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝eq\f(9,10)，B正确；对于C，P(A2|A1)＝eq\f(P（A1A2）,P（A1）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，C错误；对于D，P(A3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,5)，D正确．8．(2024·重庆模拟)已知甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z%的人患流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列．这三个地区的人口数的比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为(D)A．1.12 B．1.35C．1.48 D．2.58解析：设事件D1，D2，D3分别表示此人来自甲、乙、丙地区，事件F1，F2，F3表示此人患流感，且分别来自甲、乙、丙地区，事件G表示此人患流感．由题可知，P(F1)＝eq\f(5x,1000)，P(F2)＝eq\f(3y,1000)＝eq\f(3x＋3,1000)，P(F3)＝eq\f(2z,1000)＝eq\f(2x＋4,1000)，P(G)＝P(F1)＋P(F2)＋P(F3)＝eq\f(10x＋7,1000)，由条件概率公式可得P(D1|G)＝eq\f(P（D1G）,P（G）)＝eq\f(P（F1）,P（G）)＝eq\f(5x,10x＋7)，P(D2|G)＝eq\f(P（D2G）,P（G）)＝eq\f(P（F2）,P（G）)＝eq\f(3x＋3,10x＋7)，P(D3|G)＝eq\f(P（D3G）,P（G）)＝eq\f(P（F3）,P（G）)＝eq\f(2x＋4,10x＋7)，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（D1|G）≥P（D2|G），,P（D1|G）≥P（D3|G），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x≥3x＋3，,5x≥2x＋4，))解得x≥eq\f(3,2).结合选项知，D符合题意．9．(多选)(2024·广州调研)已知eq\o(A,\s\up10(－))，eq\o(B,\s\up10(－))分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论中正确的是(ABD)A．P(A)＋P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝1B．P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))|B)＝1C．若A，B互斥，则P(AB)＝P(A)P(B)D．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)解析：对立事件的概率之和为1，故A选项正确；记Ω为样本空间，则P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))|B)＝P(Ω|B)＝1，故B选项正确；由于A，B互斥，所以P(AB)＝0，故C选项错误；因为A，B独立，事件B的发生对事件A是否发生没有影响，所以P(A|B)＝P(A)，故D选项正确．故选ABD.10．(多选)暑假期间，某学校发起了“畅读经典，浸润书香”活动，根据统计数据可知，该校共有1200名学生，所有学生每天的读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间的频率分布直方图如图所示，则下列结论中正确的是(ACD)A．该校学生日阅读时间的众数约为70B．该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360C．该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65D．该校学生日阅读时间的平均数约为64解析：由题图可知，[60，80)这一组的小矩形最高，所以众数约为70，故A正确；日阅读时间不低于60分钟的频率为(0.020＋0.010)×20＝0.6，所以该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为1200×0.6＝720，故B错误；第50百分位数即中位数，前两组的频率分别为0.005×20＝0.1，0.015×20＝0.3，因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，所以中位数在[60，80)这一组，设中位数为x，则(x－60)×0.020＝0.5－0.4，解得x＝65，即第50百分位数约为65，故C正确；该校学生日阅读时间的平均数约为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，故D正确．故选ACD.11．(多选)(2024·江苏一模)有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子……以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i＝1，2，3，…，n)，则(BC)A．P(A1A2)＝eq\f(1,3) B．P(A1|A2)＝eq\f(4,5)C．P(A1∪A2)＝eq\f(7,9) D．P(A10)＝eq\f(1,2)解析：对于A，P(A1A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，所以A错误；对于B，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，故P(A1|A2)＝eq\f(P（A1A2）,P（A2）)＝eq\f(4,5)，所以B正确；对于C，P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(5,9)－eq\f(4,9)＝eq\f(7,9)，所以C正确；对于D，由题意，P(An)＝eq\f(2,3)P(An－1)＋eq\f(1,3)(1－P(An－1))，n≥2且n∈N*，所以P(An)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)(P(An－1)－eq\f(1,2))，又P(A1)＝eq\f(2,3)，P(A1)－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以P(An)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,3))n－1＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,3))n，所以P(An)＝eq\f(1,2)·(1＋eq\f(1,3n))，则P(A10)＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,310))，所以D错误．12．如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为________．解析：因为(0.016＋0.030)×10＝0.460<0.8，(0.016＋0.030＋0.040)×10＝0.860>0.8，所以80%分位数位于[70，80)中，设80%分位数为x，则0.460＋(x－70)×0.040＝0.8，解得x＝78.5.答案：78.513．已知一个数学兴趣小组共有2名男生，3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为________．解析：设事件A表示“已选出的2名中至少有1名男生”，事件B表示“已选出的2名中有1名女生”，所以在已选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，而P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，所以P(B|A)＝eq\f(6,7).答案：eq\f(6,7)14．某品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命多于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．解析：由题意知P(X≥1)＝0.9，P(X>9)＝0.1，所以P(X<1)＝1－0.9＝0.1＝P(X>9)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝eq\f(1＋9,2)＝5.因为P(1≤X≤9)＝0.9－0.1＝0.8，所以P(5≤X≤9)＝eq\f(0.8,2)＝0.4，即该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.答案：0.4[小题提升练]15．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(ABD)A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为Ceq\o\al(2,3)β(1－β)2＋Ceq\o\al(3,3)(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确；对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率为P1＝Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2＋Ceq\o\al(3,3)(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为P2＝1－α.当0＜α＜0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)＞0，故D正确．故选ABD.16．(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于eq\f(1,2)的概率为________．解析：设3次取出的球上的数字依次为a，b，c，则无放回地随机取3次球的取法有Aeq\o\al(3,6