高考数学一轮复习试题第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

计数原理、概率、随机变量及其分布

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考试要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义2

能解决简单的实际问题.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方

案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有%=/〃+〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有N=mX几种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问

题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法

计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成

了才算完成这件事.

常用结论

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始

终.

(1)分类加法计数原理中，完戌一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一

类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，

分步完成”.

上诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

⑴在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同,（）

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（）

（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（）

答案（1）X（2）V（3）V

解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成

这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一

步，不能完成这件事，所以⑴不正确.

2.（易错题）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选

择其中的一个讲座，则不同选法的种数是（）

A.65B.56C.30D.11

答案B

解析每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识

讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是50

3.（易错题）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的

三位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.18C.12D.6

答案B

解析分两类情况讨论：

第1类，选2时，共有3X2X2=12（个）奇数；

第2类，选0时，共有3X2X1=6（个）奇牝

根据分类加法计数原理知，共有12+6=18（个）奇数.

4.（2022・衡阳质检）将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张,

不同的分法种数为（）

A.720B.240C.120D.60

答案A

解析可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门

票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数

原理得，共有10X9X8=720种不同分法.

5.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有（------}

公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）

A.24种B.30种

C.36种D.48种

答案D

解析需要先给。块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给8

块着色，有2种结果；最后给。块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知

共有4X3X2X2=48（种）.

6.（2021・武汉模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了

十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有

十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，

乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都

满意，则选法有（）

A.30种B.50种C.60种D.90种

答案B

解析①若甲选择牛，则乙有2种选择，丙有10种选择，选法有1X2X10=20

种；

②若甲选择马，则乙有3种选择，丙有10种选择，选法有1X3X10=30种，

所以共有20+30=50种选法.

考点突破•题型剖析

［考点二分类加法计数原理的应用

L从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天

一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.

答案12

解析分三类：一类是乘汽车，有8种方法；一类是乘火车，有2种方法；一类

是乘飞机，有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8+2+2=12种方法.

2.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,

2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个（用数

字作答）.

答案12

解析组成的数字有三个1,三个2,三个3,三个4,4种情况.当有三个1时：

2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9个；当有三个

2,三个3或三个4时：2221,3331,4441,有3个，根据分类加法计数原理可

知，共有12个结果.

3.满足m附一1,0,1,2],且关于x的方程以2+2x+〃=0有实数解的有序

数对(。，份的个数为.

答案13

解析当。=0时，匕的值可以是一1,0,1,2,故①，3的个数为4；

当时，要使方程加+2x+b=0有实数解，需使1=4—4次?20,即abWl.

若。=—1,则力的值可以是一1,0,1,2,(a,b)的个数为4；

若。=1,则b的值可以是一1,0,1,(mb)的个数为3；

若〃=2,则b的值可以是一1,0,(〃，份的个数为2.

由分类加法计数原理可知，(〃，。)的个数为4+4+3+2=13.

感悟提升分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键

词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于

不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

[考点二分步乘封数原理的应用

例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的

报名方法(六名同学不一定都能参加)？

(1)每人只参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.

解(1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根

据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36=729(种).

⑵每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6

种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数

原理，可得不同的报名方法共有6X5X4=120(种).

（3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63=216（种）.

感悟提升1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即

分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，

只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，

逐步完成.

训练1（1）从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数於）=o?+bx+c

的系数，则可组成个不同的二次函数，其中偶函数有个（用数

字作答）.

（2）已知集合4中有4个元素，8中有3个元素，。中有9个元素，则集合｛（x,y,

z）|x£A,z£C｝中的元素个数为.

答案（1）186（2）108

解析（1）一个二次函数对应着a,b,c（4=0）的一组取值，a的取法有3种，b

的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3X3X2=18（个）

不同的二次函数.

若二次函数为偶函数，则6=0,同上可知共有3X2=6（个）倡函数.

（2）分三个步骤：第一步确定人有4种方法；第二步确定y,有3种方法；第三

步确定z,有9种方法，由分步乘法计数原理得集合｛（x,y,z）\x^A,zWC｝

中有4X3X9=108（个）元素.

口考点三两个计数原理的缘合应用

角度1与数字有关的问题

例2用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成个无重复数字的四

位偶数（用数字作答）.

答案420

解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不

能为0,个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分

类，再分步.

第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,

2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不

能取与这三个数字重复的数字.

根据分步乘法计数原理，有3X4X5X4=240（种）取法.

第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除

首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位

数字不能取与这三个数字重复的数字.

根据分步乘法计数原理，有3X3X5X4=180（种）取法.

根据分类加法计数原理，共可以组成240+180=420（个）无重复数字的四位偶数.

角度2与几何有关的问题

例3如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面

对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正

交线面对”的个数是（）

A.48B.18C.24D.36

答案D

解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正

交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，

共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.

角度3涂色问题

例4如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并

使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不

同的染色方法种数.

D

解法一按所用颜色种数分类.

第一类：5种颜色全用，共有A?种不同的方法；

第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C,或B与D）,共有2XA4

种不同的方法；

第三类：只用3种颜色，则A与C,5与。必定同色，共有Ag种不同的方法.

由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为M+2XAg+Ag=420（种）.

法二以S,4,B,C,。顺序分步染色.

第一步：S点染色，有5种方法；

第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步：B点染色，与S,A分别在同一条棱上，有3种方法;

第四步：。点染色，也有3种方法，但考虑到。点与S,A,C相邻，需要针对

A与C是否同色进行分类：当A与C同色时，。点有3种染色方法；当4与C

不同色时，因为C与S,5也不同色，所以C点有2种染色方法，。点有2种染

色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5X4X3X（1X3

+2X2）=420（种）.

感悟提升1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：

（1）一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.（2）对于较复杂

的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、

直观化.

2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.

训练2（1）（2022・杭州调研）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位

数的个数为（）

A.243B.252C.261D.279

答案B

解析0,1,2,9共能组成9X10X10=900（个）三位数，其中无重复数字

的三位数有9X9X8=648（个），故有重复数字的三位数有90。-648=252（个）.

（2）（2021・石家庄模拟）如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区

域不同色，共有种不同的涂色方法（用具体数字作答）.

答案72

解析假设按。一。一c-d-e顺序涂色，对于。有4种涂色的方法；对于。有3

种涂色方法；对于c有2种涂色方法；对于e,若c与d颜色相同，则e有2种

涂色方法，若c与d颜色不相同，则e只有1种涂色方法，故共有4X3X2XQ

+1）=72种不同的涂色方法.

I分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12

班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（）

A.22种B.33种

C.300种D.3600种

答案B

解析从甲地到乙地不同的方案数为5+10+6+12=33.

2.己知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,一7},从M,N这两个集合中各

选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示

第一、第二象限内不同的点的个数是（）

A.12B.8C.6D.4

答案C

解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况；第二步再确定纵坐标，有2

种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3X2=6.

3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数

的不同取法的种数为（）

A.30B.20C.10D.6

答案D

解析从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的教字的和为偶数可分

为两类：

第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2,0和4,2和4,共3种不同的取法；

第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和5,3和5,共3种不同的取法.

所以共有3+3=6种不同的取法.

4.从集合{1,2,3,…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，

这样的等比数列的个数为（）

A.3B.4C.6D.8

答案D

解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；

以2为首项的等比数列为2,4,8；

以4为首项的等比数列为4,6,9；

把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，

故所求的数列共有2X（2+1+1）=8（个）.

5.5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的

种数是（）

A.35B.53C.A?D.C?

答案A

解析第〃名应届毕业生报考的方法有3种5=1,2,3,4,5）,根据分步乘法

计数原理，不同的报名方法共有3X3X3X3X3=35（种）.

6.已知两条异面直线小b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同

的平面个数为（）

A.40B.16C.13D.10

答案C

解析分两类情况讨论：

第1类，直线。分别与直线力上的8个点可以确定8个不同的平面；

第2类，直线b分别与直线〃上的5个点可以确定5个不同的平面.

共可以确定8+5=13个不同的平面.

7.（2022・济南模拟）如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱—

柱ABC-A^Ci组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的A产&

表面涂色（底面不涂色），要求相邻的面均不同色，则不B

同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种C.12种D.36种

答案C

解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，有3X2X1种情况，然后涂三棱柱的三

个侧面，有2种情况，

由分步乘法计数原理，共有3X2X1X2=12种不同的涂法.

8.（2020・全国H卷）如图，将钢琴上的12个键依次记为⑶，。2,…，卬2.设

.若k—j=3且j—i=4,则称g勾，以为原位大三和弦；若k—j=4

且i=3,则称加药,诙为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和

弦与原位小三和弦的个数之和为（）

a\aqO||

llllllll

A.5B.8C.10D.15

答案C

解析满足条件TWi〈j<kW12,k—j=3且j-i=4的(i,j,2)有(1,5,8),(2,6,

9),(3,7,10),(4,8,11),(5,9,12),共5个；

满足条件1WK/4W12,3一j=4且j-i=3的(i,j,幻有(1,4,8),(2,5,9),

(3,6,10),(4,7,11),(5,8,12),共5个.所以一共有10个.

9.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数〃，人组成复数。+加,

其中虚数的个数是.

答案36

解析因为。+历为虚数，所以bWO,即8有6种取法，。有6种取法，由分步

乘法计数原理知可以组成6X6=36个虚数.

10.乘积(。|++a3)(b\+岳+加+84)(CI+C2+C3+C4+C5)展开后的项数为

答案60

解析从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4

种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知

共有N=3X4X5=60(项).

11.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活

动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有种.

答案12

解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C3=2(种)选派方法;

第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C3=6(种)选派方法；

不同的选派方案共有2X6=12(种).

12.设a,b,c£{l,2,3,4,5,6},若以a,b,c为三条边的长可以构成一个

等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有个.

答案27

解析先考虑等边的情况，a=b=c=\,2,•­•,6,有6个.

再考虑等腰的情况，

若〃=/?=1,c<a-\-b=2,此时c=l与等边重复；

若a=/?=2,c<a+b=4,则c=l,3,有2个；

若4=6=3,c<〃+b=6,则c=l,2,4,5,有4个；

若4=6=4,c<〃+b=8,则c=l,2,3,5,6,有5个;

若〃=8=5,c<a+b=Wt则c=l,2,3,4,6,有5个；

若。=方=6,c<a+b=\2,则c=l,2,3,4,5,有5个；

故