福建省南平市吴屯中学2020-2021学年高三数学文期末试题含解析

/福建省南平市吴屯中学2020-2021学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为

（A）（

（B）（

（C）（

（D）（参考答案：答案：A2.设等差数列{}的前n项和为，若＝9，＝11，则等于A．10

B．72

C．90

D．180参考答案：C略3.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是()A．

B．

C．

D．参考答案：A4.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知等差数列的前项和是,若三点共线,为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是

（）参考答案：C略7.复数，则在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D8.已知函数，则的零点个数为A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：B9.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.若实数x，y满足，则目标函数的最小值为

A．2 B．0 C．5 D．参考答案：D如图：当时，即时故选

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是________．参考答案：12.△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，则AB?AC的最大值是．参考答案：

【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，cos∠BDA=，cos∠CDA=，∠BDA与∠CDA互补，∴=﹣，可得：2n2+m2=18．那么：AB?AC=m?n=≤×=（当且仅当m=取等号）故答案为．13.在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．参考答案：【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案为：．

14.已知函数的最小正周期是，则正数______.

参考答案：2

因为的周期为，而绝对值的周期减半，即的周期为，由，得。15.已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是

．参考答案：（0，1）∪（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系．[来源:Z,xx,k.Com]【专题】函数的性质及应用．【分析】函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．【解答】解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16.在△中，角所对的边分别为，已知，，．则=

参考答案：略17.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。若任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，则的期望是________参考答案：2.7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）若，求证：（2）若，恒有，求实数k的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【分析】（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.【详解】（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f（x）的极大值为，∴当x＜0时，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本小题满分13分）已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差。

因为

所以

解得所以

（Ⅱ）设等比数列的公比为

因为所以

即=3所以的前项和公式为

20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．参考答案：(1)结合图形可知，．

于是，，解得．(2)由(1)知，，因此，

(当且仅当，即时，等号成立)．答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.12分21.（本小题满分16分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．（2）直线l的参数方程消去参数t，能化为普通方程，代入C的普通方程，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判别式能求出tanα的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=．∴24=ρ2（7﹣cos2θ+sin2θ）