北京一模二模数学试卷

北京一模二模数学试卷一、选择题

1.若一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在[a,b]上必定有极值

B.f(x)在(a,b)内必定有极值

C.f(x)在[a,b]上必定有最大值

D.f(x)在(a,b)内必定有最小值

2.下列不等式中，正确的是（）

A.log2(3)>log2(4)

B.2^3>3^2

C.log3(4)>log3(2)

D.2^2<3^3

3.已知函数f(x)=x^3-3x+2，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1时取得最小值

B.f(x)在x=1时取得最大值

C.f(x)在x=1时取得极小值

D.f(x)在x=1时取得极大值

4.下列数列中，收敛的数列是（）

A.{1,1/2,1/4,1/8,...}

B.{1,-1,1,-1,...}

C.{2,4,8,16,...}

D.{1,2,4,8,...}

5.下列函数中，为奇函数的是（）

A.y=x^2

B.y=|x|

C.y=x^3

D.y=e^x

6.下列曲线中，表示y=x^2的图像是（）

A.

B.

C.

D.

7.已知函数f(x)=sin(x)，则f(π/2)的值是（）

A.1

B.0

C.-1

D.π

8.下列数列中，为等差数列的是（）

A.{1,3,5,7,...}

B.{1,4,9,16,...}

C.{1,1/2,1/4,1/8,...}

D.{2,4,6,8,...}

9.下列不等式中，正确的是（）

A.3^4>4^3

B.log2(5)>log2(4)

C.e^2>2^e

D.1^3<2^1

10.已知函数f(x)=e^x，则f'(0)的值是（）

A.1

B.e

C.e^0

D.0

二、判断题

1.在实数范围内，指数函数y=a^x（a>1）是单调递增的。（）

2.若一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则根据费马定理，f(x)在[a,b]上的任意极值点一定是驻点。（）

3.在解析几何中，点到直线的距离公式是d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。（）

4.在数列中，若存在一个项an，使得对于所有n>n0，都有an>0，则该数列是单调递增的。（）

5.在一元二次方程ax^2+bx+c=0中，如果a=0，则方程退化为一次方程。（）

三、填空题

1.函数f(x)=x^3-3x+2在x=0处的导数值为_________。

2.数列{an}中，若an=n^2-n，则该数列的前n项和S_n=_________。

3.在直角坐标系中，点P(2,3)到直线2x-3y+6=0的距离为_________。

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内恒大于0，则f(x)在区间[a,b]上的图像是_________。

5.在一元二次方程x^2-4x+3=0中，解的和为_________。

四、简答题

1.简述函数的极限的定义及其性质，并举例说明。

2.如何判断一个数列是否收敛？请给出收敛数列和发散数列的例子。

3.简述解析几何中如何求点到直线的距离，并写出公式。

4.在解决一元二次方程ax^2+bx+c=0时，如何判断方程的根的性质（实根、重根或无实根）？

5.简述微积分中微分和积分的基本概念及其关系，并举例说明。

五、计算题

1.计算极限：lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

2.求函数f(x)=x^2-4x+3的导数f'(x)。

3.已知数列{an}的定义为an=n^2-n，求该数列的前5项和S_5。

4.计算点到直线的距离：点P(1,2)到直线3x-4y+5=0的距离。

5.求解一元二次方程：2x^2-5x+3=0，并判断其根的性质。

六、案例分析题

1.案例背景：

某公司销售部在一段时间内，记录了每月销售额与销售人员的数量之间的关系。根据数据，销售额y（万元）与销售人员数量x的关系可以近似表示为二次函数y=ax^2+bx+c。已知当销售人员数量为10人时，销售额为200万元；当销售人员数量为15人时，销售额为300万元。

问题：

（1）根据上述信息，建立销售额y与销售人员数量x的二次函数模型。

（2）分析该模型在实际销售中的适用性，并讨论可能存在的局限性。

2.案例背景：

某班级学生在一次数学测验中，成绩分布呈现正态分布。已知平均成绩为70分，标准差为10分。

问题：

（1）根据正态分布的性质，计算该班级成绩在60分以下的学生人数大约是多少？

（2）如果班级中有50名学生，那么预计有多少名学生的成绩在80分以上？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知每件产品的生产成本为30元，销售价格为50元。根据市场调查，若降价x元，则销售量将增加2x件。请计算：

（1）该工厂的利润函数L(x)；

（2）若要使利润最大化，应降价多少元？

2.应用题：一家公司计划在一个月内完成一项工程，工程包括两部分工作，分别为A和B。已知完成A部分工作需要10天，B部分工作需要15天。若A部分工作由2名工人完成，B部分工作由3名工人完成，则完成整个工程需要多少天？

3.应用题：某班级有学生50人，其中男生30人，女生20人。为了提高学生的数学成绩，学校决定进行一次数学辅导。已知男生平均每次辅导提高成绩1分，女生平均每次辅导提高成绩0.8分。若每周进行一次辅导，每次辅导时间为2小时，问每周至少需要辅导多少次，才能使全班学生的平均成绩提高2分？

4.应用题：一家商店正在促销，规定顾客购买商品时，满100元减20元，满200元减40元，以此类推，每满100元减去相应金额。某顾客购买了商品，实际支付了500元，求该顾客购买商品的原价是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.C

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题

1.0

2.n(n^2-n)/2

3.1

4.上凸的抛物线

5.5

四、简答题

1.函数的极限定义：当自变量x趋近于某一点a时，函数f(x)的值如果无限接近于某一点L，则称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。性质：极限的保号性、极限的连续性、极限的局部保号性等。

2.收敛数列：若数列{an}的极限存在，则称该数列为收敛数列。发散数列：若数列{an}的极限不存在，则称该数列为发散数列。

3.点到直线的距离公式：d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中(A,B)是直线的法向量，(x,y)是点的坐标，C是直线的截距。

4.一元二次方程的根的性质：若判别式Δ=b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。

5.微分和积分的基本概念：微分是研究函数在某一点处的变化率，积分是研究函数在某一区间上的累积量。关系：微分的逆运算是积分，积分可以看作是微分的反过程。

五、计算题

1.1/6

2.f'(x)=2x-4

3.S_5=1+4+9+16+25=55

4.1

5.x=3/2或x=1/2，均为实根

六、案例分析题

1.（1）二次函数模型：y=-2x^2+50x-200

（2）利润最大化时，x=10，即降价10元。

2.完成整个工程需要5天。

3.每周至少需要辅导3次。

4.原价为580元。

知识点分类和总结：

1.微积分基础知识：极限、导数、积分、数列、函数等。

2.解析几何：直线、圆、抛物线等图形的方程和性质。

3.应用题解法：方程求解、函数优化、数据分析等。

4.案例分析：建立模型、分析问题、提出解决方案等。

各题型知识点详解及示例：

一、选择题：考察学生对基本概念和定理的理解，如极限、函数性质、数列、几何图形等。

二、判断题：考察学生对基本概念和定理的判断能力，如数列的收敛性、函数的奇偶性、几何图形的性质等。

三、填空题：考察学生对