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文档简介

第二章导数与微分第一节导数概念一、引例1.直线运动的速度若质点变速直线运动,考察其速度.2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置如图,让点N沿曲线C趋于M时，割线MN的极限位置MT，就称为曲线C在M点的切线。极限位置即

就定义为曲线上任意一点切线斜率的大小,它反映了该切线斜率就是函数值改变量对自变量改变量的变化率。比较两个公式

相同点:

数学问题相同变化率问题数学结构相同函数改变量与自变量改变量之比的极限思想方法相同矛盾转化的辩证方法二.导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数定义其它形式即注:注意:2.求导数举例步骤:例1解例2解更一般地例如,例3解例4解例5解3.单侧导数例6解三、导数的几何意义切线方程为法线方程为曲线y=f(x)在点x0处的切线可能垂直于x轴、平行于x轴、或不存在，这些反映出的导数值是：切线平行于x轴：即k=tg

=0切线垂直于x轴：即k=tg

=

，曲线为连续曲线;在点x0处无切线：f

(x0)不存在.

y

O

xx0

y=cf

(x0)=0

yO

xf

(x0)=

x0

O

xyx0

y

O

xx0例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为四、函数可导性与连续性的关系定理(可导的必要条件)如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点必连续.证注意:该定理的逆定理不成立.即:函数在某点连续并不一定在该点可导.01例9例10.y=|x|在点x=0连续，但不可导.故f

(0)不存在.y=|x|0xy小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考1思考1解答思考2解思考3

在点x=0连续性和可导性.解：(n

N)又当n

N时，函数在在点x=0处连续.当n=1时

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