专题06 线段与角的等量代换模型解读与提分精练-2025年人教版七年级《数学》寒假培优分层作业

PAGE1专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34模型1.线段与角度的等量代换模型等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换图1图2条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF.如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（23-24·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得答案．【详解】∵，∴，即．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握各线段之间的数量关系是解题的关键．例2．（23-24·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（

）A．3 B．7 C．10 D．13【答案】B【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论．【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．例3．（23-24七年级上·山西·阶段练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若．①比较线段的大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若，且，则的长为cm；(2)若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长．【答案】(1)①＝，②20(2)27cm【分析】（1）①根据等量代换，计算线段的和，后判断；②根据线段之间的关系，线段的和计算即可．（2）设未知数，运用一元一次方程的思想求解即可．【详解】（1）解：①∵，∴，所以，故答案为：=；②∵，且，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：20．（2）解：如图：设，根据已知得：，∴，，∵，∴，所以，解得，∴．答：的长是．【点睛】本题考查了线段之间的数量关系，线段的中点的意义，线段的和，一元一次方程的解法，熟练掌握线段的关系，灵活解方程是解题的关键．例4．（23-24广东广州·七年级校考期末）如图，（1）若，则；（2）若，则．【答案】///【分析】（1）根据几何图形，结合等式的性质即可求解．（2）根据几何图形，结合等式的性质即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，即，故答案为：；（2）∵，∴，即，故答案为：，．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．例5．（23-24七年级上·江苏·课后作业）如图所示，，，则．【答案】68【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵，，又，，∴．故答案为68．【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可．例6．（23-24天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度数，然后根据，即可得出答案．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出的度数．例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．无法确定【答案】C【分析】由，，可知，进而可得答案．【详解】解：∵，∴故选C．【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等．例8．（23-24广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（

）A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换【答案】B【分析】根据等角的补角相等判定即可.【详解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的补角相等)，故选：B.【点睛】本题主要考查了补角的性质：同角或等角的补角相等.例9．（23-24七年级上·湖北·期末）如图，两个直角，有相同的顶点O，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】根据角的和差关系和角平分线的定义，对四个结论逐一进行判断即可．【详解】解：①∵，∴，，∴，①正确；②∵只有当，分别为和的平分线时，，②错误；③∵，平分，∴，则∴平分，③正确；④∵，；∴的平分线与的平分线是同一条射线，④正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查角的和差关系，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．例10．（23-24河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案；（3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案．【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在内部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）设，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题关键．例11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系(1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是：．(2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是：．(3)由（1）（2）你得出的结论是：如果，那么．(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数．【答案】(1)相等(2)互补(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补(4)20°，20°或55°，125°【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余即可得解；（2）根据四边形内角和即可求解；（3）由（1）（2）总结归纳，即可得出的结论；（4）设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α-40°，根据这两角相等或互补即可求解．【详解】（1）解：如图，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，故答案为：相等；（2）解：∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠2+90°+90°=360°，∴∠1+∠2=360°-90°-90°=180°，故答案为：∠1+∠2=180°；（3）解：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补，故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补；（4）解：设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α－40°，根据题意可得，α＝3α－40°或α+3α－40°＝180°，解得α＝20°或55°，当α＝20°时，3α－40°＝20°，当α＝55°时，3α－40°＝125°，∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．【点睛】此题考查了多边形的内角，余角的定义和垂直的定义，熟记多边形的内角和公式是解题的关键，在解题的过程中，要注意分类讨论．例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，．(1)若，，求的度数；(2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可；（2）利用余角的定义，求得两个角的和为即为垂直．【详解】（1）解：，，，，，；（2），证明：，，，即，．【点睛】本题考查的是余角、垂直的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直以及对顶角的定义，会识别余角、垂直、对顶角．1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C,D在线段AB上，若AC=DB,则（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB【答案】D【详解】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断.故选D.【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键．2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由作图可得点和点分别是、的中点，再根据线段中点的定义可得答案．【详解】解：，，点与点恰好重合，点和点分别是、的中点，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义．3．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD．【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B．【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（

）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对【答案】A【分析】首先求出，，然后根据互补的定义找出相加等于的角即可．【详解】解：，，，，，，综上，互补的角共有7对，故选：A．【点睛】本题考查了角的和差计算，互补的定义，如果两个角的和等于，就说这两5．（2023春·河南焦作·七年级统考期中）如果，，那么与的关系是（

）A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意可得和都是的余角，则根据同角的余角相等可知和的关系相等．【详解】解：∵，∴故选C．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，掌握相关定理是解题关键．6．（2023春·山西太原·七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“”处的依据为（

）

如图，因为直线，相交于点，所以与都是平角．所以，．所以（据：）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．平角的定义【答案】B【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案．【详解】解：因为直线，相交于点，所以与都是平角，所以，．由同角的补角相等，即可得到．故选：B．【点睛】本题考查了补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（）

A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据同角的余角相等得到，即可得到结论．【详解】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，∴，，∴，又∵，∴，故选：A．

【点睛】本题考查同角的余角相等，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决问题．8．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：①；

②若，则；③；④．其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答．【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．，∴，∴，故①不符合题意；∵，∴，即，∴，∴，故②符合题意；∵，∴，故③符合题意；④∵，∴，∴，∴∴，故④不符合题意；故选：B．9．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（

）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【答案】B【分析】根据互余的性质得出相等的角即可得出答案．【详解】解：图中相等的角有，共5对故选：B．【点睛】此题考查了找等角的问题，解题的关键是掌握互余的性质．10．（海南澄迈县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）已知且，则，依据是（

）A．等角的补角相等B．补角的定义C．同角的余角相等D．同角的补角相等【答案】D【分析】本题主要考查了等角或同角的补角相等的性质，根据同角的补角相等进行解答．【详解】∵，，∴是的补角，是的补角，∴（同角的补角相等）．故选：D11．（23-24福建省福州市七年级期中）由，得到的依据是（

）A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等 D．等角的补角相等【答案】A【分析】根据互余的概念及性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，是根据同角的余角相等，故选：．【点睛】本题主要考查余角的性质，掌握互余的概念及性质是解题的关键．12．（23-24云南昆明·七年级校考期末）如图，和都是直角．下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．【详解】解：①∵，∴，，∴；故①正确．②∵，故②正确；③∵，平分，∴，则，∴平分；故③正确．④∵，（已证）；∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④正确．故选：A．【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，，于点．若，则的度数是．

【答案】【分析】根据垂直的定义分别得到，，再利用同角的余角相等可得结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等．14．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，和都是直角，则（填，，）．【答案】【分析】由和都是直角，得，，从而即可得到答案．【详解】解：和都是直角，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同角的余角（补角）相等，熟练掌握该知识点是解题的关键．15．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，点在线段上，且，点E是线段的中点，若，则的长为．【答案】/24厘米【分析】根据线段中点的定义，可得，代入数据进行计算即可得解求出的长．【详解】解：∵，点E是线段的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．16．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为．【答案】9【分析】先M是线段的中点，得出，根据，得出，即可得出，从而得出．【详解】解：∵M是线段的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出．17．（23-24福建省仙游县七年级期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是．（填序号）【答案】①③④．【分析】根据同角的余角性质可判断①与②，根据角平分线定义可判断③，设∠AOD的平分线为OE，设∠BOC的平分线为OF，根据角平分线定义可算出∠BOE=∠COE=22.5°，则∠BOF=∠COF=22.5°，然后得出OE与OF重合即可【详解】因为∠AOC和∠BOD是两个直角，所以∠AOB与∠COD都与∠BOC互余，所以∠AOB=∠COD；故①正确；也能得出②错误；∵OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=45°，从而得出∠COD=45º，故③正确；此时∠AOD=135°，设∠AOD的平分线为OE，可算出∠BOE=∠COE=22.5°，设∠BOC的平分线为OF，则∠BOF=∠COF=22.5°，得∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，故④正确；综上所述，正确的序号是①③④．【点睛】本题考查余角性质，角平分线定义，掌握余角性质，角平分线定义是关键．18．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图：已知在线段上，分别为线段的中点，且．(1)如图，线段上共有个点，则图中共有条线段；(2)比较线段的大小：；（填“”、“”或“”）(3)若，求的长度．【答案】(1)15(2)(3)10【分析】（1）根据线段的条数等于（其中为点的个数）即可得；（2）根据，再结合即可得出答案；（3）先根据线段中点的定义可得，从而可得，再根据即可得．【详解】（1）解：线段上共有个点，图中线段的条数为（条），故答案为：15．（2）解：，且，，故答案为：．（3）解：是的中点，，，，，，．【点睛】本题考查了线段的条数问题、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．19．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且．(1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”）(2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度．(3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示）【答案】(1)=；(2)；(3)．【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算．理清线段之间的数量关系，是解题的关键．（1）根据线段的和的关系，进行比较即可；（2）先求出的长，中点，求出的长，再根据，求出的长即可；（3）同法（2），进行计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，即：；故答案为：；（2）∵∴，∵是的中点，是的中点，∴，∴，∴；（3）∵∴，∵是的中点，是的中点，∴，∴，∴．故答案为：．20．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，．(1)图一，若在的内部，，求；(2)绕点O顺时针旋转，若，请说明是的平分线；(3)图二中，在的内部，请推断与的关系．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义：（1）根据角度之间的关系进行求解即可；（2）根据垂线的定义得到，进而得到，则，即是的平分线；（3）根据，即可得到．【详解】（1）解：∵，，，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的平分线；（3）解：∵，，∴，∴．21．（2024春·广东珠海·七年级开学考试）对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据．理由：因为（已知），所以（等式的性质）．因为，所以（

）．所以（

）．【答案】已知，等式的性质，等量代换【分析】根据各步前后式的逻辑关系写出依据．【详解】，理由如下：因为（已知），所以（等式的性质）．因为（已知），所以（等式的性质）．所以（等量代换）．故答案为：已知，等式的性质，等量代换．【点睛】本题考查推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键．22．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：；(3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度数；（2）由角平分线定义，得到，而，即可证明；（3）由余角的定义，得到，而，，即可求出的度数，从而得出结论．【详解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角．23．（2023秋·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，，，平分，（）．(1)求的度数（用含的式子表示）；请将以下解答过程补充完整：解：因为，所以，因为，所以，所以_____，（理由：_____），因为，所以，因为平分，所以_____，（理由：_____）所以__________°．(2)用等式表示与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；同角的余角相等；；角平分线的定义；；(2)，理由见解析【分析】（1）由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义可得，进而可求解的度数；（2）由角的和差问题可求解，即可求解．【详解】（1）解：，，，，（理由：同角的余角相等），，，平分，（理由：角平分线的定义），，故答案为：