2024高考数学一轮复习专练35基本不等式含解析文新人教版

PAGE专练35基本不等式命题范围：基本不等式及其应用[基础强化]一、选择题1．假如a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．3D．42．[2024·天水一中高三测试]若a>0，b>0且2a＋b＝4，则eq\f(1,ab)的最小值为()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)3．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为4C．当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值4．[2024·宝鸡一中高三测试]若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3)B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3)D．7＋4eq\r(3)5．[2024·四川仁寿一中开学考试]若x>0，y>0，x＋2y＝1，则eq\f(xy,2x＋y)的最大值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,12)6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为()A．8B．4C．2D．17．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．58．[2024·兰州一中高三测试]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A．12B．2C．3D．69．[2024·宝鸡中学高三测试]当x>0时，x＋eq\f(a,x＋1)(a>0)的最小值为3，则实数a的值为()A．4B．－4C．2D．－2二、填空题10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为________．11．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b[实力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7B．8C．9D．1014．若对于随意的x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥eq\f(1,5)B．a>eq\f(1,5)C．a<eq\f(1,5)D．a≤eq\f(1,5)15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．16．[2024·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝4，则eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值为________．专练35基本不等式1．D∵a>0，∴a＋eq\f(1,a)≥2(当且仅当a＝eq\f(1,a)即a＝1时等号成立)，∴a＋eq\f(1,a)＋2的最小值为4.2．B∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴0<ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，∴eq\f(1,ab)的最小值为eq\f(1,2).3．C当x∈(0,1)时，lgx<0，故A不成立，对于B中sinx＋eq\f(4,sinx)≥4，当且仅当sinx＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－eq\f(1,x)在(0,2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(当且仅当eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1时等号成立)．故C正确．4．D由log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝eq\f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋eq\f(4b,b－3)＝b＋eq\f(4b－3＋12,b－3)＝(b－3)＋eq\f(12,b－3)＋7≥2eq\r(12)＋7＝4eq\r(3)＋7，即a＋b的最小值为7＋4eq\r(3).5．Cx＋2y＝1⇒y＝eq\f(1－x,2)，则eq\f(xy,2x＋y)＝eq\f(x－x2,3x＋1).∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.设3x＋1＝t(1<t<4)，则x＝eq\f(t－1,3)，原式＝eq\f(－t2＋5t－4,9t)＝eq\f(5,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,9)＋\f(4,9t)))≤eq\f(5,9)－2eq\r(\f(4,81))＝eq\f(1,9)，当且仅当eq\f(t,9)＝eq\f(4,9t)，即t＝2，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)时，取等号，则eq\f(xy,2x＋y)的最大值为eq\f(1,9)，故选C.6．B∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.7．C因为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.8．D∵a⊥b，∴a·b＝(x－1,2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.9．Ax＋eq\f(a,x＋1)＝x＋1＋eq\f(a,x＋1)－1≥2eq\r(x＋1·\f(a,x＋1))－1＝2eq\r(a)－1，由2eq\r(a)－1＝3，得a＝4.10.eq\f(1,4)解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋eq\f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)＝2eq\r(2a－3b)＝2eq\r(2－6)＝eq\f(1,4).当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值为eq\f(1,4).11．36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即：x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，由eq\f(\r(a),2)＝3，a＝36.12．2＋eq\r(3)解析：由3a＋b＝2ab，得eq\f(3,2b)＋eq\f(1,2a)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(3a,2b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋eq\r(3)(当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(3a,2b)即b＝eq\r(3)a时等号成立)．13．Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a时等号成立)．14．A∵eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x>0，∴x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝eq\f(1,x)即x＝1时等号成立)，∴eq\f(x,x2＋3x＋1)≤eq\f(1,5)，由题意得a≥eq\f(1,5).15．30解析：一年的总运费为6×eq\f(600,x)＝eq\f(3600,x)(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3600,x)＋4x))万元．因为eq\f(3600,x)＋4x≥2eq\r(\f(3600,x)·4x)＝240，当且仅当eq\f(3600,x)＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．16.eq\f(9,2)解析：本题主要考查基本不等式的运用．考查学生对基本不等式及其简洁变形运用条件的驾驭程度，以及学生的推理、运算实力．eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq