《力学与结构》课件-6.受弯构件

6.1平面弯曲概述一、平面弯曲二、受力特点及计算简图工程实际中的弯曲问题：建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水槽壁等一、平面弯曲的概念

当直杆受垂直其轴线的横向外力或者在杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变成曲线，称为弯曲。产生弯曲变形的杆称为梁。矩形截面梁有一个纵向对称面，当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。梁的轴线在变形后仍保持在同一平面(荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。ABF2F1M对称平面F2F1一、平面弯曲的概念弯曲变形杆件外力特点：杆件受包含杆件轴线在内的纵向平面内的力偶或垂直于杆轴的横向外力作用。

变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线。ABF2F1M纵向对称平面F2F1二、受力变形特点及计算简图1.受力变形特点2.梁的计算简图（1）梁的荷载

①集中力：作用在微小局部上的横向力；

②集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面平行的平面）内的力偶。③沿梁长连续分布的横向力。

（2）支座形式①固定铰约束

②可动铰约束

二、受力变形特点及计算简图2.梁的计算简图（2）支座形式③固定支座计算简图确定梁的“计算简图”包含：①以梁的轴线经代替实际的梁；②以简化后的支座代替实际的支座；实际支承→理想支承③以简化后的荷载代替实际的荷载。

PABl二、受力变形特点及计算简图2.梁的计算简图（3）梁的分类

简支梁：一端固定铰，一端可动铰

外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁

悬臂梁：一端固定支座，另一端自由以上这三类梁的约束反力都可以通过列静力平衡方程求解，因此这三类梁都称为静定梁。

二、受力变形特点及计算简图6.2平面弯曲梁的内力计算一、平面弯曲内力计算二、例题讲解一、平面弯曲梁的内力计算求梁的内力的方法——截面法AFRAFRBlaF1F211MQFRAaA剪力N或kN弯矩N·m或kN·m求梁的内力的方法——截面法内力的正负号剪力弯矩MMMMFQFQ左上右下为正左下右上为负上部受压下部受拉时为正FQFQ二、例题讲解[例1]：图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。。BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m解：(1)求支座反力(2)求1-1截面上的内力

FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m二、例题讲解

(3)求2-2截面上的内力

F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m二、例题讲解

结论：1梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下）的外力使截面产生正号的剪力。2梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ[课堂练习]：求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m6.3平面弯曲梁的内力图（1）一、写方程法求解内力图一、写方程法作梁的内力图

为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。

具体作法是：

剪力方程：弯矩方程：FQ图ql/2ql/2M图BqA

绘制剪力图和弯矩图时，以沿梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。一般将正的剪力画在x轴的上方，负的剪力画在x轴的下方，并以正、负号区别；弯矩画在梁的受拉一侧，不标明正、负号。若梁上作用有多个荷载，则需要以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起止处、梁的支承处以及梁的端部为界点，将梁分段，分段列出各段的剪力方程和弯矩方程，再绘出内力图。所以这种作剪力图和弯矩图的方法称为方程法。内力图绘制步骤：（1）求支座反力：由静力平衡方程求出支座反力。（2）将梁分段：以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起止处、梁的支承处以及梁的端部为界点，将梁分段。（3）列出各段的剪力方程和弯矩方程：通常取梁的最左端为坐标原点（4）画剪力图和弯矩图①先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状。②确定内力控制截面。③根据剪力方程(或弯矩方程)计算控制截面的剪力值(或弯矩值)。④描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。[例]：求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图。xFRAFRBBqlAFQ图ql/2ql/2M图BqA[例]：简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，试作出其剪力图和弯矩图。（1）求支座反力（2）将梁分段：就一段（3）列出各段的剪力方程和弯矩方程（4）画剪力图和弯矩图①判断剪力图(或弯矩图)的形状——直线和抛物线②确定内力控制截面。（直线：两点；抛物线：三点）③计算控制截面的剪力值(或弯矩值)。④描点并画图。11223344BA(O)lCDFMel/3l/3[例]：简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，试作出其剪力图和弯矩图。（1）求支座反力（2）将梁分段：3段（3）列出各段的剪力方程和弯矩方程AC段CD段

DB段112233BA(O)lCDFMel/3l/3112233BA(O)lCDFMel/3l/3FQ图M图

结论：

●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界。●剪力图和弯矩图一般是连续的

。在集中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。q[例]简支梁如图所示，其中q=3KN/m,Me=3KN.m作此梁的剪力图和弯矩图。（1）求支座反力（2）将梁分段：3段（3）列出各段的剪力方程和弯矩方程CA段AD段

DB段11223344BAMeCD2m4m2m4.83m6KN8.5KN3.5KN556KN.m7KN.m4KN.m6.04KN.mFRAFRB6.4平面弯曲梁的内力图（二）二、控制截面法画弯矩图一、直接法画剪力图

具体作法是：先求出支座反力，

内力图自左先右绘制，起点由零开始回归为零集中力作用点处（包括支座反力）：剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同。均布荷载作用段，剪力图为一条斜线，倾斜方向同力方向，斜直线的起止点差值为均布荷载大小

建立坐标系，从左往右开始按照荷载特点开始画图即可。一、直接法画剪力图xFRAFRBBqlAxFRAFRBBqlA二、控制截面法画弯矩图

具体作法是：（1）先求出支座反力

；

（2）

直接法画出剪力图；（3）确定弯矩图的控制截面：梁的起、止点，集中力作用点，均布荷载起、止点，集中力偶作用处的左、右两点，均布荷载段剪力为零点。

（4）按照弯矩计算规律计算弯矩控制值（假设弯矩为正弯）；

（5）绘控制点，按弯矩图规律连接控制点。

xFRAFRBBqlA二、控制截面法画弯矩图1、内力图自左先右绘制，起点由零开始回归为零；2、圆柱铰链的铰处不承担和传递弯矩，所以弯矩值为零；3、剪力图为正值时，弯矩图向右下方倾斜，斜率为负值；剪力图为负值时，弯矩图向右上方倾斜，斜率为正值。4、集中力作用点处（包括支座反力）：弯矩图发生转折，尖角指向与力同；5、集中力偶（包括支座反力偶）：弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。；7、均布荷载作用段，弯矩图为一抛物线，开口方向与力反，剪力为零点是弯矩图的极值点，极值大小为该点的弯矩值大小。

建立坐标系，从左往右开始按照荷载特点求解出弯矩值，连点呈线画图即可。解：1.求约束反力[例]简支梁如图所示，作此梁的剪力图和弯矩图。2.画FQ图FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.画M图MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM­D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=06.5梁的强度分析二、提高梁的强度措施一、梁的强度条件一、梁的强度条件梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。图6.5.1图6.5.2图6.5.3一、梁的强度条件

为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。1、

弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在单向受力时的许用应力[σ]。

利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。一、梁的强度条件

为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。2、

弯曲剪应力强度条件

最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：

要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]

在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。

对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，

则不