中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题28 网格中的三角函数（提优）-（解析版）

专题28网格中的三角函数（提优）一．选择题1．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sinA=32 B．cosA=12 C．tanA=【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sinA＝sin45°=22，cosA＝cos45°=22，tan∴选项D是正确的，故选：D．【点评】本题考查勾股定理及逆定理，特殊锐角三角函数值，掌握勾股定理及逆定理和特殊锐角三角函数值是正确判断的前提．2．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠C＝（）A．12 B．22 C．32【分析】连接BD，根据图形，可以求得AB、AD、DB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△ADB时直角三角形，再根据图形，可以得到AC、BC的长，即可得到CD的长，然后即可得到cos∠C的值．【解答】解：连接BD，由图可得，BD=12+22=5∴BD2+AD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，∵AC=32+62=35，∴CD＝25，∴cos∠C=CD故选：D．【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．在如图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是（）A．23 B．32 C．35【分析】如图取格点K，连接BK，则CD∥BK．过点K作KH⊥AB于H．利用面积法求出HK，再利用勾股定理求出BH即可解决问题．【解答】解：如图取格点K，连接BK，则CD∥BK．过点K作KH⊥AB于H．∵S△ABK=12•AK•4=12•AB•KH∴HK=20∵BH=B∵CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，∴tan∠AOC＝tan∠ABK=HK方法二：如图取格点M，连接AM，BM．证明∠AMB＝90°，求出tan∠ABM即可解决问题．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4．△ABC在网格中按如图所示放置，则sinA的值是（）A．12 B．22 C．32【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用勾股定理先求出AC、AB的长，再利用三角形的面积求出BD的长，在Rt△ABD中，求出sinA．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．在Rt△AEC中，AC=AE2在Rt△AEB中，AB=A∵S△ABC=12BC=12×=15又∵S△ABC=12AC=12×3∴12×35×∴BD=5∴sinA=BD故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（）A．5 B．3 C．10 D．2【分析】根据网格，设出小正方形的边长为1，表示出AD＝DC=2，再根据平行线分线段成比例定理可得出DP=13DC，进而在Rt【解答】解：设小正方形的边长为1，由图形可知，AD=DC=2∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD⊥DC．∵AC∥BD，∴ACBD∴PC＝2DP，∴AD＝DC＝3DP，∴tan∠APD=AD故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系和平行线分线段成比例定理是解决问题的前提．6．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是（）A．13 B．12 C．55【分析】首先判断∠ACB＝90°，利用勾股定理求出AB，BC即可解决问题．【解答】解：观察图象可知：∠ACB＝90°，∵AB=32+4∴cos∠ABC=BC故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tan∠AFB的值（）A．12 B．33 C．49【分析】如图，连接MC和BM，把∠AFB转化成∠BCM，进而证明∠BMC＝90°，问题便迎刃而解．【解答】解：如图，连接MC和BM，∵AM∥EC，AM＝EC＝1，∴四边形AMCE为平行四边形，∴AF∥MC，∴∠AFB＝∠MCB，∵tan∠ABM=AMAB=14∴∠ABM＝∠CMN，∵∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠CMN+∠AMB＝90°，∴∠BMC＝90°，∴tan∠AFB＝tan∠BCM=BM故选：A．【点评】本题是解直角三角形的应用，难度较大，主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，关键是把所求角的三角函数值转化到格点直角三角形中解决问题，体现了数学中的转化思想．8．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为（）A．23417 B．22 C．85【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以求得AC、CE的长，再根据等积法可以求得AH的长，再利用勾股定理即可求得CH的长，从而可以求得cos∠ACB的值．【解答】解：如右图所示，∵网格中小正方形的边长都为1，∴CE=22+42=25，AC作AH⊥CE于点H，∵CE⋅AH2∴25解得，AH=6∵AC=17，AH=655，∠∴CH=(∴cos∠ACH=CH即cos∠ACB=7故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．9．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2 B．12 C．23 【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK=AK故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二．填空题10．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是35【分析】连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．说明CD∥BE，∠ABE＝∠AOC，利用勾股定理和三角形的面积公式求出EF、BE，再利用直角三角形的边角间关系求出∠ABE的正弦值得结论．【解答】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵AB=22+S△ABE=12AB×EF=12×25∴EF=3在Rt△BEF中，∵BE=1+∴sin∠ABE==3=3∴sin∠AOC=3故答案为：35【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点，作平行线把∠AOC平移到∠ABE是解决本题的关键．11．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于3．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先求出△ABC的各边及CD的长，利用三角形的面积公式再求出BD的长，最后在直角三角形中求出∠ACB的正切值．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．∵AB＝5，AC=1+32=∴CD=10∵S△ABC＝15−32−12S△ABC=12×AC∴12×10∴BD=15在Rt△BCD中，tan∠ACB=BD故答案为：3．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系并利用勾股定理和三角形的面积求出BD的长，是解决本题的关键．12．如图，点A，B，C为正方形网格中的3个格点，则tan∠ACB＝2．【分析】连接格点B、D．利用勾股定理先计算BC、AB、CD、AD的长，根据等腰三角形的性质，再判定△BCD是直角三角形，最后根据直角三角形的边角间关系求出∠ACB的正切值．【解答】解：如图，连接格点B、D．∵BC＝AB=12+32=∴BD⊥AC．在Rt△BCD中，BD=BC2tan∠ACB=BD故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及解直角三角形，根据题目特点构造直角三角形是解决本题的关键．13．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是12【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK=AK故答案为：12【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则tan∠AOB＝2．【分析】利用格点构造直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，取格点E，连接AE，OE．在Rt△AEO中，tan∠AOB=AE故答案为2．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题．15．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC＝2．【分析】如图，连接BE交CD于O．证明OB＝2OP，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE交CD于O．∵四边形BDEC是正方形，∴BE⊥CD，OC＝OD＝OE＝OB∴∠POB＝90°，∵AD∥BC，∴PCPD∴PC＝OP，∴OB＝2OP，∵∠APC＝∠BPO，∴tan∠APC＝tan∠BPO=OB故答案为：2．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝277【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD【解答】解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°，同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a=3a，∴AD=AE∴sin（α+β）=AE故答案为：27【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．17．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝277【分析】如图，连接BC，构造直角三角形ABC，由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质，得出∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，从而α+β＝∠ACB，分别求出△ABC的边长，利用正弦函数的定义可得答案．【解答】解：如图，连接BC∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形∴∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，∴α+β＝∠ACB∵每个小正三角形的边长均为1∴AB＝2，在Rt△DBC中，BCBD=BC1∴BC=∴在Rt△ABC中，AC=∴sin（α+β）＝sin∠ACB=故答案为：27【点评】本题考查了构造直角三角形求三角函数值，正确作出辅助线，明确正弦函数的定义，是解题的关键．18．在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点O，则tan∠BOC的值为103【分析】如图，连接AD，取格点E，连接DE，则E，D，C共线．在Rt△AOD中，求出AD，OD即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD，取格点E，连接DE，则E，D，C共线．∵AE∥BC，∴BCAE∵EC＝42，ED＝DC＝AD＝22∴OC=4∴OD＝22−∵∠ADO＝90°，∴tan∠BOC＝tan∠AOD=AD故答案为53【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（1）如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=13，tanβ=12，则ɑ+β＝（2）如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ＝5，tanβ=23时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON＝ɑ﹣β．此时ɑ﹣β＝【分析】（1）如图1中，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．（2）如图2中，由OB=26，MB＝22，OM＝32，推出OB2＝MB2+OM2，推出∠BMO＝90°，推出tan∠MOB=23，推出∠MOB＝β，由∠OBN＝α，即可推出∠MON＝α﹣β【解答】解：（1）如图1中，∵AC=5，BC=5，AB∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴α+β＝45°．故答案为45°；（2）如图2中，∵OB=26，MB＝22，OM＝32∴OB2＝MB2+OM2，∴∠BMO＝90°，∴tan∠MOB=2∴∠MOB＝β，∵∠BON＝α，∴∠MON＝α﹣β＝45°．故答案为45．【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为2+3【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC＝1、OA＝OB＝2，从而得出OC=OA2−AC2=3、BC＝OB﹣OC＝2−【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC＝1，OA＝OB＝2，∵在Rt△AOC中，OC=O∴BC＝OB﹣OC＝2−3∴在Rt△ABC中，tan∠ABO=ACBC=故答案是：2+3【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．三．解答题21．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．（1）AB的长度为25，CD的长度为13（2）若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．【分析】（1）把AB和CD看成格点直角三角形的斜边，再根据勾股定理进行解答便可；（2）找一格点E，使得CE∥AB，再过E作EF⊥CD于G，得另的格点F，由△DEG∽△FED的比例线段求得EG，DG，进而得CG，再计算∠ECG的正切值，便是tanα的值．【解答】解：（1）根据题意得，AB=2CD=2故答案为：25；13；（2）取格点E，连接CE，则CE∥AB，取格点F，连接EF，使得EF于点G，如图所示∵∠EDF＝∠EGD＝90°，∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED，∴EGED=DG∴EG=41313，∴CG＝CD﹣DG=7∴tan∠ECG=EG∵AB∥CE，∴α＝∠ECG，∴tanα=4【点评】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，关键是正确构造直角三角形．22．如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且（1）使tan∠AOB的值为1；（2）使tan∠AOB的值为12【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、12【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2所示；【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．23．如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．（1）tan∠ABC的值等于15（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=2【分析】（1）根据三角函数的定义即刻得到结论；（2）根据三角函数值作出图形即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，tan∠ABC=1故答案为：15（2）如图所示，tan∠CBD=2【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．24．阅读下列的材料，某数学学习小组遇到这样的一个问题：如图α、β都为锐角，且tanα=14，tanβ=35，求该数学课外小组最后是这样解决问题的，如图1，把α、β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBE＝β，且BA，BC直线BD的两侧，连接AC．（1）观察图象可知，α+β＝∠ABC＝45°；（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝3，tanβ=12时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α﹣β，并求∠【分析】（1）由BC2＝AB2+AC2＝2AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，那么α+β＝∠ABC＝45°；（2）连接MN，由OM2＝ON2+MN2＝2ON2，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，那么α﹣β＝∠MON＝45°．【解答】解：（1）如图1．∵BC2＝32+52＝34，AB2＝42+12＝17，AC2＝42+12＝17，∴BC2＝AB2+AC2＝2AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴α+β＝∠ABC＝45°．故答案为45；（2）如图2，连接MN．∵OM2＝32+12＝10，ON2＝22+12＝5，MN2＝22+12＝5，∴OM2＝ON2+MN2＝2ON2，∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，∴α﹣β＝∠MON＝45°．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，作图﹣应用与设计作图，利用网格结构进行计算，判断所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解题的关键．25．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．（1）求每个小矩形的长与宽；（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．（3）求sin∠BAC的值．【分析】（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽＝矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长＝6，据此列出方程组，并解答即可；（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；（3）由锐角三角函数的定义进行解答．【解答】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意得：x+2y=62y=x解得x=3y=1.5所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；（2）如图所示：，AE＝3或35或32（3）∵由图可计算AC=3∴AB=3设AC边上的高为h．则有12•35•h=12•∴h=∴sin∠BAC=6【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．26．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角．且tanα=13，tanβ=12．求甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ=23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α﹣β．求出α﹣【分析】（1））①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形．②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α+β＝45°．（2）如图3中，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α﹣β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．【解答】解：（1）①如