2021届湖南省娄底市娄星区高一下学期期中考试数学试题

第第页2020-2021学年湖南省娄底市娄星区高一下学期期中考试数学试题时量：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共8小题，总分40分）1.定义集合运算：A*B=z|z=xy,x∈A,y∈B.设A.0 B.2 C.3 D.62.已知函数f(x)=log2x,x>0,2x,xA.(-∞,-1) B.(0,23.若不等式|x-1|<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围是A.a|a≥3 B.a|a≥14.如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BCA.12a+14bB.5.已知向量a=(x,2),b=(2,y),则|A.3 B.10 C.11 D.26.已知函数f(x)=ex+e-x，若a=f(21.1)A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a7.A4纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同；②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为2A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米8.若函数fx=3sinx+cosx在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-A.是增函数 B.是减函数

C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值-二、多项选择题（本大题共4小题，每小题满分5分，每小题少选按2分计算，多选或选错按0分计算）9.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2A.x=70 B.x>70， C.10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2A.π6 B.π3 C.2π11.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lgA.6 B.9 C.8 D.712.已知函数f(x)=x2-2ax+9,x≤1x+4A.1 B.2 C.3 D.4三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量xx1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.021010.328430.64115则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)14.已知方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]时有解，求实数a的取值范围________．

15.已知函数f(-π8)的值为________．

16.已知函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D上的值域为[a2,b2]，那么就称y=f(x)且a≠1)是“半保值函数”，则t三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）17.已知a=(1,0)，b(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线QUOTE(2)若AB=2a+3b，且A，B，C18.已知复数z的共轭复数是z，i是虚数单位，且满足z+2z(1)求复数z；(2)若复数z(2-mi)在复平面内对应的点在第一象限，求实数19.已知．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且，求f(α)的值；(3)若α=-31π320.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，Cx=12x2+40x(万元)，当年产量不小于80(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式．(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

21.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，CE⊥AD，垂足为E，AD=3BC=3，EC=1.将▵DEC沿EC折起到ΔD1EC的位置，如图2(Ⅰ)连结BE，证明：AB⊥平面D(Ⅱ)在棱AD1上是否存在点G，使得BG//平面D1EC，若存在，直接指出点G的位置(不必说明理由22.设函数f(x)=kax-2a-x(a>0,a≠1,k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．

(1)确定k的值；

(2)若f(1)=3，函数g(x)=a2x+在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

2021年上学期高一期中考试数学答案一、选择题（本大题共8小题，共40分）定义集合运算：A*B=z|z=xy,x∈A,y∈B.设A.0 B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】本题考查了元素的性质，元素与集合的关系，属于基础题．

根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．

【解答】

解：依题意，当x=1，y=0时，z=0，

当x=1，y=2时，z=2，

当x=2，y=0时，z=0，

当x=2，y=2时，z=4，

则A*B={0,2，4}，其所有元素之和为6，

故选已知函数f(x)=log2x,x>0,2x,x≤0,则f(a)<1A.(-∞,-1)B.(0,2)【答案】D【解析】本题考查对数函数及其性质、指数函数及其性质和分段函数不等式求解，属于基础题．分区间讨论不等式的解集，取两者之并即可得出原不等式的解集．

【解答】

解：由题意，若a>0，则不等式f(a)<12可化为log2a<12，解得a∈0,2，

若a⩽0，则不等式f(a)<12若不等式|x-1|<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围是(

A.a|a≥3 B.a|a≥1【答案】A【解析】本题考查充分条件的判断，属于基础题．

由已知中不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4，令不等式的解集为A，可得x|0<x<4⊆A，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．

【解答】

解：∵不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4，

设不等式的解集为A，则x|0<x<4⊆A，

当a≤0时，A=⌀，不满足要求；

当a>0如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BC=b，则BE=

A.12a+14bB.【答案】D【解析】本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用，属于基础题，难度不大．

本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可．

【解答】

解：取BC中点F，连接FA，

因为在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四边形ADCF是平行四边形，

所以FA//CD，FA=CD，

则BE=BC+CE=BC+12CD已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,-4),且A.3 B.10 C.11 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计算能力，属于基础题．

由题已知计算可得x=-1，y=1，即可得a-b=(-3,1)，即可得到答案．

【解答】解：由题得向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,-4)，

且a//c，，

∴a//c⇒已知函数f(x)=ex+e-x，若a=f(21.1)，b=f(A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a【答案】D【解析】【分析】

本题考查指数对数函数的性质以及函数奇偶性和单调性，属于中档题，首先根据f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数，因为f(x)在R上单调递增，然后根据对数指数函数的性质比较大小即可．

【解答】

解：由f(-x)=f(x)，知f(x)为偶函数，

因为f(x)在R上单调递增，

又由2=log24>log23，1=log2 27.A4纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同；②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为2:1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米【答案】C【解析】【分析】

本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

根据题意设A4纸的长度为x，118.9x=(2)4=4，可求解答案．

【解答】

解：设A4纸的长度为x8.若函数fx=3sinx+cosx在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-A.是增函数 B.是减函数

C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值-【答案】C【解析】【分析】

本题考查三角函数的图像和性质，涉及辅助角公式和诱导公式，属于中档题．

由题意和辅助角公式以及诱导公式得出g(x)的图象由f(x)得图象向左平移π2个单位长度所得，然后由图像变换可得答案．

【解答】

解：f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+π6)，g(x)=3cosx-sinx=2cos(x+π6)=2sin(x+π6+π2)，

9.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2A.x=70 B.x>70， C.【答案】AC【解析】本题主要考查了平均数，方差，属于基础题．

先求出平均数，再70-602+70-902=500因为70-602+70所以s2故选AC．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+A.π6 B.π3 C.2π【答案】BC【解析】本题主要考查考查解三角形，余弦定理，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．根据同角三角函数关系式及余弦定理即可求解．

【解答】

解：由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB，

因为(a2+c211.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：A.6 B.9 C.8 D.7【答案】BC【解析】本题考查实际应用问题，考查对数的运算，属于基础题．

根据题意，设至少需要过滤n次，则0.02×(23)n≤0.001，进而可建立不等式，由此可得结论．

【解答】

解：设至少需要过滤n次，则0.02×(23)n≤0.001，

即(23)n≤120，

所以nlg23≤lgA.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】本题考查分段函数的最值问题，处理时应对每段函数进行分类讨论，找到每段的最小值，属中档题．

当x>1时，利用基本不等式可知f(x)min=4+a，当x⩽1时，若f(1)为最小值，需使得对称轴满足x=a⩾1，且由分段函数，f(1)⩽4+a，进而求解即可．

【解答】

解：当x>1，f(x)=x+4x+a⩾4+a，

当且仅当x=2时，等号成立；

当x⩽1时，f(x)=x2-2ax+9为二次函数，要想在x=1处取最小，

则对称轴要满足x=a⩾1，且f(1)⩽4+a，

即1-2a+9⩽a+4，解得a⩾2，

结合选项可知a的值可以是213.为了求函数f(x)=2x+3x-7x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.021010.328430.64115则方程2x+3x=7的近似解(精确度【答案】1.4【解析】【分析】

本题考查了函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，试题难度较易．

根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可．

【解答】

解：由题表知f(1.375)·f(1.4375)<0，且1.4375-1.375=0.0625<0.1，

所以方程的一个近似解可取为1.4，

故答案为1.4．

14.已知方程cos2【答案】[1,4]【解析】本题主要考查了三角函数的同角公式，正弦函数的性质，方程得零点，属于中档题．

方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]时有解，转化为y=cos2x+4sinx，x∈[0,π]与y=a有交点，求出函数的值域即可得出a的取值范围．

【解答】

解：方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]时有解，

转化为y=【答案】-2【解析】【分析】

本题考查考查函数的奇偶性，三角函数的性质，辅助角公式，属于中档题．是解题的关键，结合函数是奇函数求出，进而可得答案．

【解答】

解：由题设得是定义在R上的奇函数，则，

由，得

则，．

故答案为-2．

16.已知函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[a2,b2]，那么就称y=f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)=loga(ax+【答案】(【解析】解：∵函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”，

由a>1时，z=ax+t2在R上递增，

y=logaz在(0,+∞)递增，可得f(x)为R上的增函数；

当0<a<1时，z=ax+t2在R上递减，

y=logaz在(0,+∞17.已知a=(1,0)，b(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线QUOTE(2)若AB=2a+3b，且A，B，C【答案】解：(1)ka-b因为ka-b与a+2b(2)因为A，B，C三点共线，

所以AB=λBC(λ∈R)，即2a【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．

(1)结合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再结合向量共线定理可得2(k-2)-(-1)×5=0，解方程即可求出k(1)求复数z；(2)若复数z(2-mi)在复平面内对应的点在第一象限，求实数【答案】解：(1)设复数z=x+yi(x,y∈R)，则于是x+yi+2(x-yi)=(5+i)(1-所以3x=3-y=-2，解得故|z|=1(2)由(1)得z(2-由于复数z(2-所以2+2m>04-m>0，

解得-1<m<4.

所以【解析】本题考查了复数的四则运算,复数的模以及复数的几何意义,共轭复数,属于基础题．

(1)设复数z=x+yi(x,y∈R)，利用复数的运算以及复数相等求得x，y，即可得到复数(2)由(1)求得复数z(2-mi)的实部和虚部，由实部和虚部都大于0解得19.已知

f(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα-3π(3)若α=-31π3【答案】解：(1)fα(2)∵cosα又α是第三象限的角，∴cosα=-(3)f-【解析】【试题解析】

本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简求值和证明的相关知识，试题难度一般．

(1)直接利用诱导公式化简即可；

(2)利用诱导公式可得sinα=-15，然后利用同角三角函数关系求出结果；

(3)利用诱导公式求解即可．

20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，Cx=12x2+40x((1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式．(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．【答案】解：(1)当0<x<80时，y=100x-(12x2+40x)-500=-12x2+60x-500，

当x≥80时，y=100x-(101x+8100x-2180)-500=1680-(x+8100x)，

于是y=-12【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．

(1)通过利润=销售收入-成本，分0<x<80、x≥80两种情况讨论即可；

(2)通过(1)配方可知当0<x<80时，当x=60时y取得最大值为1300(万元)，利用基本不等式可知当x≥80时，当x=90时y取最大值为1500(万元)，比较即得结论．

21.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，CE⊥AD，垂足为E，AD=3BC=3，EC=1.将▵DEC沿EC折起到ΔD(Ⅰ)连结BE，证明：AB⊥平面D(Ⅱ)在棱AD1上是否存在点G，使得BG//平面