中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题26 三角形的外接圆（提优）-（解析版）

专题26三角形的外接圆（提优）一．选择题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，若∠OBC＝30°，则∠A的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】连接OA，OC，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接OA，OC，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，∵∠OBC＝30°，∴∠OCB＝30°，∴∠BAC=12（180°﹣30°﹣30°）＝60故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB为圆O的直径，点D在圆O上，∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．65°【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝50°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=12∠BOC＝30故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．4．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE＝1，则⊙O的直径为（）A．32 B．3 C．233【分析】连接OB、OC，作OF⊥BC于F，根据三角形中位线定理求出BC，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，利用余弦的概念计算即可．【解答】解：连接OB、OC，作OF⊥BC于F，则BF＝CF=12∵点D，E分别AB，AC边的中点，∴BC＝2DE＝2，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠OBF＝30°，∴OB=BF∴⊙O的直径为43故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形中位线定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．5．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4 B．43 C．833 【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD=12∴AC=AD2故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，已知圆心〇在AB边上，CD平分∠ACB交圆于点D，连接BD，若BD＝BC，则∠ABC的度数为（）A．30° B．42.5° C．45° D．60°【分析】易证AB为⊙O的直径，∠ACB＝90°，由角平分线的性质得出∠ACD＝∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质得出∠BCD＝∠BDC＝45°，再∠DBC＝90°，由圆周角定理得出∠ABD＝∠ACD＝45°，即可得出结果．【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，圆心〇在AB边上，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、角平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角形外接圆与外心性质是解题的关键．8．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140° B．110° C．70° D．40°【分析】在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，易求∠AOC的度数，则∠P的度数可得，再根据圆的内接四边形定理即可求出∠ABC的度数．【解答】解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，∴∠P＝70°，∵∠ABC+∠P＝180°，∴∠ABC＝110°，故选：B．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．9．如图，△ABC，AC＝3，BC＝43，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．3−1 B．7﹣43 C．3 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，连接O'A交BC于E′，此时AE′的值最小．【解答】解：如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，连接O'A交BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．∵∠BE'C＝120°∴BC所对圆周角为60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝43，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A=O'C∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故选：D．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．10．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15° B．18° C．20° D．22°【分析】如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，求得∠OEF＝∠OFE=12（180°﹣80°）＝50°，连接OB，推出△OFD为等边三角形，得到OD＝OF＝【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE=12（180°﹣80°）＝50连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC=1∵∠BAC=12∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴O、E、F、D四点共圆，∴∠FED=1∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．11．如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，cotC=233，则关于xA．没有实数根 B．有两个相等的正实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的正实数根【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形．过O点作OF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．【解答】解：过O点作OF⊥BC，垂足为点F，连接CE．在Rt△CDF中，cotC=2设CF＝2，则DF=3已知弧BC等于120°，BE为直径，所以∠E＝60°，∠ECB＝90°，∠EBC＝30°．在Rt△BDF中，BD＝2DF＝23，BF＝3．在Rt△BCE中，BC＝BF+CF＝5，BE=5DE＝BE﹣BD=4∵△＝（3BD）2﹣4•BD•DE＝（3×23）2﹣4×2＝36﹣32＝4＞0，又x1+x2=3BD＞0，x1•x2＝BD•DE∴方程有两个不相等的正实数根，故选：D．【点评】本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况．二．填空题12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为43．【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD=12∴AC=82−故答案为：43．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝40°．【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是120度．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（0，8）．点B的坐标为（6，0），⊙D过A，B，O三点，C为优弧OAB上一点（不与点O重合），则cosC的值为45【分析】连接AB，由勾股定理可求AB的长，由圆周角定理可得∠C＝∠BAO，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，连接AB，∵点A的坐标为（0，8）．点B的坐标为（6，0），∴AO＝8，BO＝6，∴AB=AO∵∠C＝∠BAO，∴cosC＝cos∠BAO=AO故答案为：45【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为2．【分析】可以连接OB，根据∠DOC＝2∠ACD＝90°．得∠ACD＝45°，进而得∠BCD＝30°，∠BOC＝150°，∠DOB＝60°，证明△BOD是等边三角形，即可求得BD的长．【解答】解：如图，连接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质．17．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D，E是⊙O上两点，且∠DOE＝120°，若OD＝2，则图中阴影部分的面积为4π3−【分析】连接OB，OC，过O作OH⊥BC于H，根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，OC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BOC＝120°，∵∠DOE＝120°，∴S扇形DOE＝S扇形BOC，过O作OH⊥BC于H，∴∠OBH＝30°，∠OHB＝90°，BC＝3BH，∴BH=32OB=3，OH∴BC＝23，∴图中阴影部分的面积=120⋅π×22360−故答案为：4π3【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．18．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB＝6，则EF＝35．【分析】由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，DG=12【解答】解：设AC，EF相较于G，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，AB＝6，∴AC＝BC＝AB＝6，∵弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，∴BD＝CD＝3，AG＝CG＝3由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，∴DE•（3+FG）＝9，FG•（3+DE）＝9，∴DE＝FG=−3+3∴EF＝35，故答案为：35．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．19．△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝103【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根据旋转的性质得到AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，设CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE=10x，根据相似三角形的性质得到BD=【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∵tanD=CE∴设CE＝3x，CD＝x，∴DE=10x∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△BCD，∴ACBC=CECD=AEBD∵AE＝2，∴BD=∵∠EAC+∠CBE＝180°，∴∠CBD+∠CBE＝180°，∴D，B，E三点共线，∴BE＝DE﹣BD=10x−∵AE2+BE2＝AB2，∴22+（10x−23）2＝（10x）∴x=10∴AB＝DE=10故答案为：103【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．20．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF=152，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为45或210【分析】延长AO交BD于H，连接OB，OD，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，推出AH垂直平分BD，根据平行线分线段成比例得到OHBH=OABF=43，根据勾股定理得到OO′=O'H2+OH2=45，过O作OO′⊥AB【解答】解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，∵∠ADC=12∠AOC=12（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）=12（180°﹣4∠CAB∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，∴∠AOB＝∠AOD，在△OAB与△OAD中OA=OA∠AOB=∠AOD∴△OAB≌△OAD，∴AB＝AD，∵∠OAB＝∠OAD，∴AH垂直平分BD，∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，∴OB∥AF，∴OHBH令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，∴BD＝2BH＝12，当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4，∴OO′=O'H2过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，则四边形OAO′B是菱形，∴O′B＝OB＝5，BK=12AB＝3∴OK=O∴OO′＝2OK＝210．故答案为：45或210．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：∠DBA＝∠CAD；（2）若BC的长度为2π，求∠AEB的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CBD＝∠DBA，由圆周角定理可得∠DAC＝∠CBD，继而可得出结论；（2）连接OC，根据弧长公式得到n＝90，根据圆周角定理得到∠BAC＝45°，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DBA＝∠CAD；（2）解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝8，∴OB＝OC＝4，∵BC的长度为2π，设∠BOC＝n°，∴n⋅π×4180=2∴n＝90，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算公式，正确的理解题意是解题的关键．22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）若BD＝3，AD＝5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；（2）作CM⊥ED于点M，结合（1）可得△CDE是等边三角形，然后证明△BCD≌△ACE，可得BD＝AE＝3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得△CAE面积．【解答】解：（1）∵CD平分∠ADB，∴∠BDC＝∠ADC，∴BC=∴BC＝AC，∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）如图，作CM⊥ED于点M，由（1）知：∠CDA＝∠BDC＝60°，∵CE∥BD，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∵∠BCD＝60°﹣∠ACD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝3，∴DC＝DE＝DA+AE＝8，∵CM⊥ED，∴DM=12∴CM=DC2∴△CAE面积为：12AE•CM＝63【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；（2）连接PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA=12，求线段【分析】（1）连接CM，PB，DM，证∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，证MD为⊙O的直径，由直角三角形的性质得出CM=12AB＝BM，则CM=BM，得出DM垂直平分BC，则（2）连接BD、CD、BP，由圆周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，则四边形PDBM为矩形，则PM＝BD，证PC＝BD，证Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函数定义求出BC即可．【解答】（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，∴∠C+∠BMP＝180°，∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，又∵PD∥AB，∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，∴MD为⊙O的直径，∵∠C＝90°，M为AB的中点，∴CM=12AB＝∴CM=又∵MD为⊙O的直径，∴DM垂直平分BC，∴PC∥MD，∴四边形APDM为平行四边形；（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：∵MD和BP均为⊙O的直径，∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，∴四边形PDBM为矩形，∴PM＝BD，∵PM＝PC，∴PC＝BD，在Rt△BPD和Rt△PBC中，BP=PBBD=PC∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），∴PD＝BC，在Rt△ACB中，AC＝4，tanA=BC∴BC＝4tanA＝2，∴PD＝BC＝2．【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的关键．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BD与AC交于E点，AD⊥BD，过D作DF⊥AB于F，交AC于G，FD与BC的延长线相交于点H．（1）求证：点G是△ADE的外心；（2）若FG＝2，DH＝5，求EG的长．【分析】（1）证得∠DEG＝∠FDB，得出DG＝EG，由∠ADE＝90°可证得DG＝AG＝EG，则结论得证；（2）过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△HDM∽△HGC，得出DHHG=DMGC，设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，可得出CG，则CE可用x表示出来，证得EN＝2FG＝4，由角平分线的性质可得出【解答】（1）证明：∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴∠ADE＝90°，∠DFB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE，∵∠FDB+∠FBE＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，∴∠FDB＝∠CEB，又∠CEB＝∠DEG，∴∠DEG＝∠FDB，∴DG＝EG，∵∠ADG+∠GDE＝∠DAG+∠DEF＝90°，∴∠ADG＝∠DAG，∴DG＝AG，∴DG＝AG＝EG，∴点G是△ADE的外心；（2）过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DM⊥AH，EN⊥AB，EC⊥BH，∴DF＝DM，EN＝EC，∵DM⊥BH，∠ACB＝90°，∴DM∥GC，∴△HDM∽△HGC，∴DHHG设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，∴55+x∴CG=x∴CE＝CG﹣EG=x2+7x+10∵GF⊥AB，EN⊥AB，∴GF∥EN，又∵AG＝EG，∴AF＝FN，∴EN＝2GF＝4，∴x2解得x=11−1，x∴EG=11【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．【分析】（1）连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半径256（2）连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH=15a，求出AB＝26a，则可得出sin∠ACB=【解答】解：（1）如图1，连接OA，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AE＝4，AB＝5，∴BE=A设OA＝x，则OB＝x，∴OE＝x﹣3，在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，解得x=25∴⊙O的半径为256（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，∵AB＝AC，∴OA⊥BC，∴∠BHO＝90°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠BHO＝∠BCD，∴OA∥CD，设OH＝a，则CD＝2a，∵BD＝2DF，BD＝2OD，∴DF＝OD，∴OA＝2CD＝4a，∴AH＝3a，∴BH=OB∴AB=AH2+B∴sin∠ACB＝sin∠ABC=AH【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．26．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，作△BDE的外接圆．（1）判断直线AC与△BDE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ABD=22，AD＝6，求【分析】（1）取BE中点O，连接OD，根据已知条件证明OD⊥AC，即可得结论；（2）结合（1）证明△ADE~△ABD，利用锐角三角函数可得AE=32，AB=62，再证明△AOD~△【解答】解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．理由：∵DE⊥BD．∴BE为△BDE外接圆的直径，如图，取BE中点O，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD．∵∠C＝90°∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ODB+∠BDC＝90°，即OD⊥AC，又点D在AC上，∴直线AC与△BDE外接圆相切；（2）∵OD⊥AC，∴∠ADE+∠ODE＝90°，∵DE⊥BD，∴∠ODB+∠ODE＝90°，∴∠ADE＝∠ODB，∴∠ADE＝∠ABD，又∠A＝∠A，∴△ADE~△ABD，∴AEAD=ADAB=即AE6解得AE=32，AB=6∴OD=OE=1∴AO＝AE+EO＝92,∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90°，∴△AOD~△ABC，∴ODBC∴BC=OD⋅AB【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考题型．27．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，试探究∠GOD与∠【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论．（2）作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据AG与GE的关系推出DG＝OD，然后可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG=62∴DG=322x，BG＝√3x，GC＝3x，DC=362x，DM=∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30°的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°以及证明DG＝OD是解答的关键．28．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD＝80°，求∠BDE【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB＝∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD＝180°，从而得：∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC＝90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC＝∠AGB＝90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC＝DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，所以DH=12①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD＝∠ABD，则∠ADM＝∠BDE，并由DH＝OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∵∠BAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，∴BC∥DF，