中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题24 正方形存在性问题巩固练习（提优）（原卷版）

正方形存在问题巩固练习1．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（1，0），B（5，0）两点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，①当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？②在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点的距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．（3）如图2，若四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6，0）和（1）求抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一交点C的坐标；（2）D为坐标平面上一点，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标；（3）如图2，点E（x，y）是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是矩形吗？是菱形吗？②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交于⊙O于点E．（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系；（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6，点B是线段OA上一动点，过点B作直线MN∥x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证：EB＝BF；（2）当OBOA为何值时，四边形AEOF（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOM，请直接写出点P的坐标．（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA＝OB＝3，过点A，B的抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的另一交点为点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C在x轴上滑动，一直角所在的直线过点B，另一条直角边与抛物线交点为E，其横坐标为4，试求点C的坐标；（3）如图3，点P为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在x轴上方图象上一点，N为平面内一动点，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD＝CD，∠ABC＝90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD=43，（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒5个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是x轴上一点，且PC⊥PB，求P点的坐标；（3）在抛物线上是否存在两点E、F，使四边形ABEF是正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1经过坐标原点，交x轴的正半轴于点D．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点为M，利用尺规，在抛物线的对称轴上，作点N，使得△OMN为等腰三角形．若不止一个，则分别记作N1、N2、N3、…；（3）若点P为抛物线对称轴右侧部分上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，PB∥x轴交抛物线左侧部分于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，问：是否存在这样的点P，使得矩形PACB恰好为正方形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点D处，连接AC．（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）直接写出tan∠CAD的值；（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．12．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，AD平分∠BAO交y轴于点D，线段OD的长是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，sin∠DAO=5（1）求点C