【初中数学】专项01-数轴贯穿有理数的八种考法-重难点题型

数轴贯穿有理数的八种考法-重难点题型【题型1数轴上点表示的数】【例1】（庐阳区期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（）A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1【变式1-1】（门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④【变式1-2】（满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（）A．﹣5 B．0 C．1 D．2【变式1-3】（东台市期末）点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果ab＜0，a+b＞0，ac＞bc，那么表示数b的点为（）A．点M B．点N C．点P D．点O【题型2数轴上点的运动规律】【例2】（旌阳区校级月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，则数2020对应的点为（）A．点A B．点B C．点C D．这题我真的不会【变式2-1】（武昌区校级月考）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上﹣2020的点是（）A．M B．N C．P D．Q【变式2-2】（历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（）A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010【变式2-3】（解放区校级月考）电子虫落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4…，按以上规律跳了100步时，电子虫落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，则K0表示的数是（）A．﹣19.94 B．30.06 C．19.94 D．﹣30.06【题型3数形结合之判断原点】【例3】（越秀区二模）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【变式3-1】（越秀区校级期中）如图，A、B、C、D是数轴上的四个整数所对应的点，且B﹣A＝C﹣B＝D﹣C＝1．而数m在A与B之间，数n在C与D之间，若|m|+|﹣n|＝3且A、B、C、D中有一个是原点，则此原点可能是（）A．A点或D点 B．B点或D点 C．A点 D．D点【变式3-2】（临沭县期末）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d﹣2a＝11，那么数轴上原点的位置应在（）A．点A B．点B C．点C D．点D【变式3-3】（章贡区期末）如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，那么，原点应是点（）A．P B．Q C．S D．T【题型4数形结合之判断符号】【例4】（都江堰市期末）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别是a、b，对于以下四个代数式：①a+b、②a﹣b、③ab、④|a|﹣|b|，其中值为正数的是（填番号）．【变式4-1】（海淀区校级模拟）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④baA．①② B．③④ C．①③ D．②④【变式4-2】（松桃县月考）a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列代数式中值为正的是（）A．（1﹣a）（c﹣b） B．(1C．(a+1b)(a−c) D．ac【变式4-3】（开福区校级月考）有理数a、b在数轴上分别对应的点为M、N，则下列式子结果为负数的个数是（）①a+b；②﹣a+b；③ab；④ab；⑤a+bab；⑥a3×b3；⑦b3﹣aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个【题型5数形结合之判断结论】【例5】（香洲区期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c．下列结论：①a+b+c＞0；②abc＞0；③a+b﹣c＜0；④0＜bA．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【变式5-1】（兴宁区校级期中）如图，已知点M，N，Q在数轴上表示的数分别为m，n，q，点Q为MN的中点，m＜0＜n且m+n＞0，则下列结论中：①m﹣n＜0；②n+q＞0；③|n|＞|m|＞|q|；④m+n＝2q．正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【变式5-2】（江北区校级期中）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【变式5-3】（岳麓区校级月考）如图，数轴上A、B两点分别表示有理数a、b，给出下列结论：①|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣2b；②1a③1a④|a|a⑤1a⋅a其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型6数形结合之化简求值】【例6】（大冶市期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）；（2）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2019（m+c）2019的值．【变式6-1】（铜官区期末）有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；（2）化简：|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|．【变式6-2】（九龙县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，b﹣a0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．【变式6-3】（万州区校级期中）已知a，b，c，数在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a|a（2）若|b|＞|a|＞|c|，化简：|c﹣a|+|b+c|﹣|b﹣a|+|a+c|．【题型7数轴探究之折叠问题】【例7】（新北区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）①则数轴上数4表示的点与数表示的点重合．②若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是．③若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是，则N点表示的数是．【变式7-1】（天宁区月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是；（2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝；（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：，N：．【变式7-2】（新吴区期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为；（3）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围；（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与﹣3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合．若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是M：；N：．【变式7-3】（商城县期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M，N．《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图：由图易得：12+12【题型8数轴探究之几何意义】【例8】（槐荫区期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为．（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】（肃州区期末）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|，利用上述结论，回答以下四个问题：（1）若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么AB＝；（2）在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3，那么x＝；（3）若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间，那么|a+4|+|a﹣3|＝；（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是．【变式8-2】（渝北区校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：（1）若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣5与2之间，则|a﹣2|+|a+5|＝．（3）代数式|a+4|+|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|的最小值是．（4）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是﹣1，点N对应的数是3，令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数．【变式8-3】（平谷区期末）阅读下面材料，回答问题．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示AB．（一）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（二）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|．③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下几个问题：（1）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是x，且点B与点A在原点的同侧，AB＝3，则x＝．（2）数轴上点A到原点的距离是1，点B表示的数绝对值是3，则AB＝．（3）若点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4、2，设P在数轴上表示的数是x，当|PA|+|PB|＝8时，直接写x的值.

数轴贯穿有理数的八种考法-重难点题型（解析版）【题型1数轴上点表示的数】【例1】（庐阳区期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（）A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1【解题思路】先求出圆的周长为π，从A滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．【解答过程】解：∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；故选：B．【变式1-1】（门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④【解题思路】数轴上单位长度是统一的，利用图象，根据两点之间单位长度是否统一，判断即可．【解答过程】解：①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2，故①说法正确；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3，故②说法正确；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1，故③说法正确；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5，故④说法正确；故选：D．【变式1-2】（满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（）A．﹣5 B．0 C．1 D．2【解题思路】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．【解答过程】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，故选：D．【变式1-3】（东台市期末）点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果ab＜0，a+b＞0，ac＞bc，那么表示数b的点为（）A．点M B．点N C．点P D．点O【解题思路】根据数轴和ab＜0，a+b＞0，ac＞bc，可以判断a、b、c对应哪一个点，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵ab＜0，a+b＞0，∴数a表示点M，数b表示点P或数b表示点M，数a表示点P，则数c表示点N，∴由数轴可得，c＞0，又∵ac＞bc，∴a＞b，∴数b表示点M，数a表示点P，即表示数b的点为M．故选：A．【题型2数轴上的运动规律】【例2】（旌阳区校级月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，则数2020对应的点为（）A．点A B．点B C．点C D．这题我真的不会【解题思路】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2020为3的整数倍余1，可得出数2020对应的点为B．【解答过程】解：∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，∴点的变化周期为3．又∵2020÷3＝673…1，∴连续翻转2020次后，则数2020对应的点为B．故选：B．【变式2-1】（武昌区校级月考）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上﹣2020的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解题思路】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示点P、N、M、Q重合．【解答过程】解：∵2﹣（﹣2020）＝2022，2022÷4＝505…2，∴数轴上表示﹣2020的点与圆周上点M重合．故选：A．【变式2-2】（历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（）A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010【解题思路】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【解答过程】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]═（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）＝﹣2020，故选：C．【变式2-3】（解放区校级月考）电子虫落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4…，按以上规律跳了100步时，电子虫落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，则K0表示的数是（）A．﹣19.94 B．30.06 C．19.94 D．﹣30.06【解题思路】根据将数轴上的点向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增加，可以求K0【解答过程】解；由题意得：﹣1+2﹣3+4﹣5+…﹣99+100＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+…（﹣99+100）＝50∴k0+50＝19.94，∴k0＝﹣30.06故选：D．【题型3数形结合之判断原点】【例3】（越秀区二模）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解题思路】先确定a，b的正负情况，再根据数轴上原点与正负数的位置关系确定原点的可能位置．【解答过程】解：∵a•b＜0，且数轴上a在b的左侧，∴a＜0，b＞0，∵a+b＞0，∴|a|＜|b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，∴点B可能是原点，故选：B．【变式3-1】（越秀区校级期中）如图，A、B、C、D是数轴上的四个整数所对应的点，且B﹣A＝C﹣B＝D﹣C＝1．而数m在A与B之间，数n在C与D之间，若|m|+|﹣n|＝3且A、B、C、D中有一个是原点，则此原点可能是（）A．A点或D点 B．B点或D点 C．A点 D．D点【解题思路】先利用数轴特点确定m，n的关系，从而求出m，n的值，再确定原点．【解答过程】解：由“B﹣A＝C﹣B＝D﹣C＝2且数m在A与B之间，数n在C与D之间”可以得出：各个点在数轴上的排列顺序为：A＜m＜B＜C＜n＜D，又因为各点为整数点，所以可得：n﹣m＝2①，结合|m|+|﹣n|＝3②，当m＞0或m＝0时，有n＞0，则②式变为m+n＝3③，由①③可得：m＝0.5，n＝2.5，此时可知数轴原点为A；当m＜0，n＞0或n＝0时，②式变为：n﹣m＝3这与①式矛盾，不成立；当m＜0，n＜0时，②式变为：﹣m﹣n＝3④，由①④可得：m＝﹣2.5，n＝﹣0.5，此时可知数轴原点为D．综上可知：数轴原点可能是A点或D点．故选：A．【变式3-2】（临沭县期末）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d﹣2a＝11，那么数轴上原点的位置应在（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解题思路】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．【解答过程】解：若原点是A，则a＝0，d＝7，此时d﹣2a＝7，和已知不符，排除；若原点是点B，则a＝﹣3，d＝4，此时d﹣2a＝10，已知不符，排除，若原点是点C，则a＝﹣4，d＝3，此时d﹣2a＝11，和已知相符，正确．故数轴的原点应是C点．故选：C．【变式3-3】（章贡区期末）如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，那么，原点应是点（）A．P B．Q C．S D．T【解题思路】根据数轴可以分别假设原点在P、Q、S、T，然后分别求出p+q+s+t的值，从而可以判断原点在什么位置，本题得以解决．【解答过程】解：由数轴可得，若原点在P点，则p+q+s+t＝10，若原点在Q点，则p+q+s+t＝6，若原点在S点，则p+q+s+t＝﹣2，若原点在T点，则p+q+s+t＝﹣14，∵数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，∴原点应是点S，故选：C．【题型4数形结合之判断符号】【例4】（都江堰市期末）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别是a、b，对于以下四个代数式：①a+b、②a﹣b、③ab、④|a|﹣|b|，其中值为正数的是（填番号）．【解题思路】由数轴可以看出a＞b，且a＞0，b＜0，根据|a|＜|b|，据此做题．【解答过程】解：根据题意可得b＜0＜a，且|a|＜|b|，∴a+b＜0；a﹣b＞0；ab＜0；|a|﹣|b|＜0．故正数有②．故答案为：②【变式4-1】（海淀区校级模拟）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④baA．①② B．③④ C．①③ D．②④【解题思路】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．【解答过程】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，①2a﹣b＞0；②a+b＜0；③|b|﹣|a|＞0；④ba故其中值为负数的是②④．故选：D．【变式4-2】（松桃县月考）a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列代数式中值为正的是（）A．（1﹣a）（c﹣b） B．(1C．(a+1b)(a−c) D．ac【解题思路】先根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，判断选项中每一项的正负，然后可确定答案．【解答过程】解：由图知：0＜a＜1，b＞1，c＜0，∵1﹣a＞0，c﹣b＜0，∴（1﹣a）（c﹣b）＜0，∴A选项不符合题意，∵1b−1c＞∴（1b−1c）（∴B选项不符合题意，∴（a+1b）＞0，a﹣即（a+1b）（a﹣∴C选项符合题意，∵ac＜0，1﹣bc＞0，∴ac（1﹣bc）＜0，∴D选项不符合题意，故选：C．【变式4-3】（开福区校级月考）有理数a、b在数轴上分别对应的点为M、N，则下列式子结果为负数的个数是（）①a+b；②﹣a+b；③ab；④ab；⑤a+bab；⑥a3×b3；⑦b3﹣aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解题思路】由点M、N在数轴上的位置可得，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，根据有理数的加减法、乘除法、乘方的计算法则得出答案．【解答过程】解：由点M、N在数轴上的位置可得，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，因此，a+b＜0，﹣a+b＞0，ab＜0，ab＜0，a+bab＞0，a3×b3＜0，b3故结果为负数的有①③④⑥，故选：A．【题型5数形结合之判断结论】【例5】（香洲区期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c．下列结论：①a+b+c＞0；②abc＞0；③a+b﹣c＜0；④0＜bA．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【解题思路】先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．【解答过程】解：由数轴可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴a+b+c＜0，故①错误；∵a，b，c中两负一正，∴abc＞0，故②正确；∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b﹣c＜0，故③正确；∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴0＜ba＜综上，可知，正确的有3个．故选：D．【变式5-1】（兴宁区校级期中）如图，已知点M，N，Q在数轴上表示的数分别为m，n，q，点Q为MN的中点，m＜0＜n且m+n＞0，则下列结论中：①m﹣n＜0；②n+q＞0；③|n|＞|m|＞|q|；④m+n＝2q．正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解题思路】根据数轴上数的意义及有理数比较大小进行解析．【解答过程】解：∵m＜0＜n且m+n＞0，∴q＞0，m﹣n＜0，故①正确；∴n+q＞0，故②正确；设点m为﹣1，点N为3，点p为1，则|m|＝|n|，故③错误．∵Q为MN中点，∴q=m+n2，即m+n＝2q，故∴①②④均正确，故选：B．【变式5-2】（江北区校级期中）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1，0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．【解答过程】解：由数轴可得a＜﹣1，0＜b＜c＜1，∴a﹣1＜0，b﹣1＜0，c﹣1＜0，∴（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，故①正确，∵|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确，∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故③正确，∵0＜bc＜1，∴0＜1﹣bc＜1，∵|a|＞1，∴|a|＞1﹣bc，故④错误，故选：B．【变式5-3】（岳麓区校级月考）如图，数轴上A、B两点分别表示有理数a、b，给出下列结论：①|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣2b；②1a③1a④|a|a⑤1a⋅a其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．【解答过程】解：∵由数轴可知，b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，∴ab＜0，a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b﹣（﹣a﹣b）＝2a，故①错误；令a=12，b=−32，则1a−1|a|a+|b|1a⋅a=11a⋅a＞1∴正确的结论有②④⑤，共3个，故选：C．【题型6数形结合之化简求值】【例6】（大冶市期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）；（2）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2019（m+c）2019的值．【解题思路】（1）直接利用a，b，c在数轴上的位置得出答案；（2）直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答过程】解：（1）∵0＜c＜1，b＜a＜﹣1，∴a＜c＜|b|；（2）∵a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣1＜0，∴m＝（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（﹣b+1）＝﹣a﹣b﹣c+a+b﹣1＝﹣c﹣1，∴原式＝1﹣2019×（﹣1）2019＝2020．【变式6-1】（铜官区期末）有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；（2）化简：|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|．【解题思路】（1）根据a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．即可求解．（2）先判断2a﹣c、b+c、a﹣b的正负号，即可化简．【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．∴c＜0＜a＜b．在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示：（2）根据数轴位置关系，可得：2a﹣c＞0、b+c＞0、a﹣b＜0．∴|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝2a﹣c+b+c+a﹣b＝3a．【变式6-2】（九龙县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，b﹣a0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．【解题思路】（1）观察数轴可知a＜0＜b＜c，由此即可得出结论；（2）由b﹣c＜0、b﹣a＞0、c﹣a＞0结合绝对值的定义，即可得出|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|的值．【解答过程】解：（1）观察数轴可知：a＜0＜b＜c，∴b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0．故答案为：＜；＞；＞．（2）∵b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0，∴|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|＝c﹣b+b﹣a﹣c+a＝0．【变式6-3】（万州区校级期中）已知a，b，c，数在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a|a（2）若|b|＞|a|＞|c|，化简：|c﹣a|+|b+c|﹣|b﹣a|+|a+c|．【解题思路】（1）根据数轴上点的位置判断出a，b，c，bc，ca，abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；（2）由数轴上点的位置，以及绝对值的大小关系判断出c﹣a，b+c，b﹣a，a+c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．【解答过程】解：（1）由图中数轴可得b＜a＜0＜c，∴bc＜0，ca＜0，abc＞0，则原式=＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3；（2）又∵|b|＞|a|＞|c|，∴c﹣a＞0，b+c＜0，b﹣a＜0，a+c＜0，∴原式＝c﹣a﹣（b+c）+（b﹣a）﹣（a+c）＝c﹣a﹣b﹣c+b﹣a﹣a﹣c＝﹣3a﹣c．【题型7数轴探究之折叠问题】【例7】（新北区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）①则数轴上数4表示的点与数表示的点重合．②若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是．③若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是，则N点表示的数是．【解题思路】①数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，可得数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是5或7；③依据M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1007，N点表示的数是﹣1013．【解答过程】解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，∴数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；故答案为：﹣6；②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4，当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8，∴B点表示的数是4或﹣8；故答案为：4或﹣8；③M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，∴﹣1+12×又∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1009，N点表示的数是﹣1011，故答案为：1009，﹣1011．【变式7-1】（天宁区月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是；（2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝；（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：，N：．【解题思路】（1）由于点P到点A、点B的距离相等，所以点P为线段AB的中点，即可得出点P对应的数；（2）由题点P到点A、点B的距离之和为10，对P的位置进行分类讨论，即可求出x；（3）由题若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，即可求解；（4）由题M，N两点经过（3）折叠后互相重合，可求出对折点对应的数值为1，根据M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧）即可求出M，N两点表示的数．【解答过程】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P为线段AB的中点，∴点P对应的数为1；故答案为：1；（2）∵点P到点A、点B的距离之和为10，对点P的位置分情况讨论如下：①点P在点A左边，∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，∴点P到点A的距离为3，∴x＝﹣4；②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；③点P在点B右边，∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，∴点P到点B的距离为3，∴x＝6；∴综上所述：x＝﹣4或6；故答案为：﹣4或6；（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，∵﹣3到1的距离为4，∴5到1的距离也为4，∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合；故答案为：5；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，∴点M到1的距离为1010.5，∴M对应的数为﹣1009.5，∵点N到1的距离为1010.5，∴N点对应的数为1011.5．故答案为：﹣1009.5，1011.5．【变式7-2】（新吴区期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为；（3）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围；（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与﹣3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合．若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是M：；N：．【解题思路】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；先得到方程|a+2|＝3，去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；（2）根据a的范围，先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；（3）利用分类讨论，根据已知的不等式进行分析，从而求得有理数x的取值范围；（4）根据点1与﹣3表示的点重合可得对称中心，根据题意得出M、N两点到对称中心的距离，继而由对称中心分别向左和向右得出点M、N所表示的数．【解答过程】解：（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是|5﹣1|＝4，依题意有|a﹣（﹣2）|＝3，所以a+2＝3或a+2＝﹣3，解得a＝1或﹣5．故答案为：4，1或﹣5；（2）∵表示数a的点位于﹣2与5之间，∴﹣2＜a＜5，∴|a+2|+|a﹣5|＝a+2﹣（a﹣5）＝a+2﹣a+5＝7．故答案为：7；（3）当x＜﹣3时，原式＝﹣x+1﹣x﹣3＝﹣2x﹣2＞4，解得x＜﹣3；当﹣3＜x＜1时，原式＝﹣x+1+x+3＝4，不符合题意，故舍去；当x＞1时，原式＝x﹣1+x+3＝2x+2＞4，解得x＞1．故有理数x的取值范围是x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1；（4）∵数轴上M、N两点之间的距离为2020，∴点M，N到对称中心的距离为2020÷2＝1010，∵将数轴折叠，使得1表示的点与﹣3表示的点重合，∴对折点是（1﹣3）÷2＝﹣1，∴点M表示的数是﹣1﹣1010＝﹣1011，点N表示数﹣1+1010＝1009．故答案为：﹣1011，1009．【变式7-3】（商城县期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M，N．《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图：由图易得：12+12【解题思路】（1）根据点A、B在数轴上的位置可得答案；（2）分在点A的左边和右边两种情况进行解答即可；（3）求出折叠点所表示的数，再根据距离相等求出答案；（4）由点M、点N到折叠点的距离都等于2019212+1【解答过程】解：（1）由数轴上点A、B所在位置可得，点A所表示的数为1，点B所表示的数为﹣2.5，故答案为：1，﹣2.5；（2）1+4＝5，1﹣4＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（3）A点与﹣2表示的点重合，则折合点所表示的数为1+(−2)2设点B重合的点所表示的数为x，则x+0.5＝﹣0.5﹣（﹣2.5），解得x＝1.5，故答案为：1.5；（4）点M所表示的数为﹣0.5−2019点N所表示的数为﹣0.5+2019故答案为：﹣1010，1009；12+1故答案为：2n【题型8数轴探究之几何意义】【例8】（槐荫区期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为．（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【解题思路】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么那么|a﹣（﹣2）|＝3，化简绝对值即可得答案；|a+4|+|a﹣2|表示数a与﹣4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值等于2和﹣4之间的距离；（3）|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和，据此找到中间点可解．【解答过程】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4﹣1＝3；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x﹣5|，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为|y+1|．故答案为：3，5，|x﹣5|，|y+1|；（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么|a﹣（﹣2）|＝3∴|a+2|＝3∴a+2＝3或a+2＝﹣3解得a＝1或a＝﹣5；∵|a+4|+|a﹣2|表示数a与﹣4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值等于2和﹣4之间的距离，等于6．故答案为：1或﹣5；（3）|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和，∴当a＝1时，该式的值最小，最小值为6+0+3＝9．∴当a＝1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．【变式8-1】（肃州区期末）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|，利用上述结论，回答以下四个问题：（1）若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么AB＝；（2）在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3，那么x＝；（3）若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间，那么|a+4|+|a﹣3|＝；（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是．【解题思路】（1）根据两点的距离公式计算即可；（2）根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可；（3）根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可；（4）结合数轴得出：|x﹣3|+|x﹣6|表示数x到3和6两点的距离之和，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，则x一定在3和6之间，则最小值为3．【解答过程】解：（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么AB＝|3﹣1|＝2，故答案为：2；（2）根据题意得，|x﹣（﹣1）|＝3，解得x＝