2024-2025学年上海市浦东新区高二上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区高二上学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是(

)A.l⊂αA⊂l⇒A⊂α B.l⊂αA∈l⇒A∈α

C.2.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且PA=0.1，PC=0.4，则A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.73.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five−ℎundred−meter Aperture Spℎerical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是(

)

A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据4.某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示(“叶”是个位数字)，则下列选项叙述错误的是(    )．

A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分

B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散

C.讲座前答卷得分的中位数是70

D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差二、填空题：本题共12小题，共54分。5.两条异面直线所成角的范围是

．6.记事件A的对立事件为A，若PA=13，则P(A7.表面积为16π

的

球的体积是

(结果保留π)8.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

9.某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为

．10.已知PA=0.2,PB=0.7，若A，B互斥，则PA∪B11.若五个数a,0,1,2,3的平均数为1，则这五个数的方差等于

．12.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为

．13.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为

．14.若平行四边形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知A′B′=4,∠D′A′B′=45∘，平行四边形A′B′C′D′的面积为8，则原平面图形ABCD中AD的长度为

．15.设地球的半径为R，若A在北纬30∘的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为

.(结果用R表示16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)如图，在▵ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=120∘，将▵ABC绕(1)求这个旋转体的体积；(2)求这个旋转体的表面积．18.(本小题15分)如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C(1)求异面直线EF与BC所成角的大小；(2)求点D到平面AEF的距离．19.(本小题16分)如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的大小．20.(本小题17分)如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；(2)求二面角P−BC−A的大小．21.(本小题17分)2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.0,π6.237.32π38.0.6

9.21510.0.9

11.2

12.7.5或15213.2314.42

15.3πR16.217.【小问1答案】▵ABC绕BC轴旋转一周，形成的几何体(一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分)如图所示.在Rt▵AOB中，∠ABO=60∘，AB=4，∴OB=∴OC=OB+BC=5．设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为S1和SV=V【小问2答案】由(1)得旋转体的表面积S表

18.【小问1答案】连接D1B，D1C，因为所以EF//D1B，故异面直线EF与BC又BC⊥平面DD1CC1所以BC⊥D所以tan∠故异面直线EF与BC所成的角为arctan【小问2答案】在正方体中ABCD−A1B1C所以ED⊥平面ADF，且ED=因为F是线段BD的中点，所以S▵ADF故三棱锥E−ADF的体积V=1因为E,F分别为线段DD所以EF=1又因为AE=所以在▵AEF中满足EF2+A则S▵AEF设点D到平面AEF的距离为d，则三棱锥E−ADF的体积V=13S因此点D到平面的距离为6

19.【小问1答案】由ACDE是正方形，则AM⊥EC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AC⊥BC，BC⊂面ABC，所以BC⊥面ACDE，又AM⊂面ACDE，所以BC⊥AM，又因为EC∩BC=C，EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以AM⊥平面EBC．【小问2答案】过C作CF⊥AB交AB于F，连接EF，因为ACDE是正方形，则AE⊥AC，因为面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AE⊂面ACDF，所以AE⊥面ABC，又CF⊂面ABC，所以AE⊥CF，又因为CF⊥AB，AE∩AB=A，AE⊂面ABE，AB⊂面ABE，所以CF⊥面ABE，所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成角，因为正方形ACDE边长为2，AC=BC，AC⊥BC，所以CF=2，所以sin∠CEF=因为

∠CEF∈0,所以∠CEF=π6，即直线EC与平面ABE所成角的大小为

20.【小问1答案】因为PA⊥底面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA⊂面PAB，PB⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，因为AC=2,BC=1,AB=所以AB2+B又因为

PA⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，所以BC⊥面PAB，所以AD//BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC．【小问2答案】由(1)可知，BC⊥面PAB，因为PB⊂面PAB，所以BC⊥PB，又因为AB⊥BC，所以∠PBA即为二面角P−BC−A的平面角，在Rt△PAB中，PA=2,AB=所以tan∠PBA=所以∠PBA=arctan所以二面角P−BC−A的大小为arctan2

21.解：(1)由题意可知10a+10b=0.3100.045+0.020+a=0.7可知每组的频率依次为：

0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为

50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.