2024-2025学年吉林省松原市五校高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省松原市五校高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x=tan75°的倾斜角为(

)A.0° B.75° C.90° D.不存在2.已知等差数列{an}中，a1=4，a5A.13 B.14 C.15 D.163.若两条直线ax+2y=0与x+(a+3)y+4=0垂直，则实数a的值为(

)A.−1 B.−2 C.1 D.24.如图，在四面体A−BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令AB=a，AC=b，AD=cA.13a+16b+165.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作直线交A.14 B.12 C.10 D.86.已知圆C1：x2+yA.1 B.2 C.3 D.47.正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，则BA.217 B.2217 8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B，若该双曲线上存在点P，使得A.(32,+∞) B.(1,3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(2,−1,−2),b=(3,2,2)，则A.a−2b=(−4,−5,−6) B.|a|=10.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S1=−1，且∀n∈A.a2>0 B.0<q<1 C.an+111.已知A，B分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，离心率为e，P(x0,A.|PA||PB|的值随着x0的增大而减小

B.tanαtanβ是定值

C.tanα−tanβ≤2ba

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若抛物线y=ax2(a>0)上一点(m,1)与焦点的距离等于2，则a=13.已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足MN⋅MP=6|NP|14.棱长为6的正四面体A−BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM=5，则直线AM与直线BD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2,−2)，且圆心C在直线l：x−y+1=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线2x+y=0与圆的交点为M，N两点，求|MN|．16.(本小题15分)

记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知Snan−1=a1．

(1)证明：数列{an}17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB=PD=4,∠PDA=π3,M是CD的中点，AM=5．

(1)证明：平面PAM⊥平面ABCD；

(2)若N是棱PB上靠近点P的三等分点，求直线CD18.(本小题17分)

已知M(1,−2)，A，B是抛物线C1：y2=2px(p>0)上三点，直线MA和MB均与抛物线C2：y=ax2(a>0)相切．

(1)若MA⊥MB，求19.(本小题17分)

已知无穷数列{an}中，an≥0，记An=max{a1,a2,…,an}，Bn=min{an+1,an+2,…}，dn=An−Bn．

(1)若{an}为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列(即∀n∈N参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.D

9.AC

10.BC

11.ABD

12.1413.x214.[0,15.解：(1)∵A(1,1)，B(2,−2)，∴弦AB的中点坐标为(32,−12)，kAB=1−(−2)1−2=−3，

∴弦AB的垂直平分线的斜率为13，

∴弦AB的垂直平分线的方程为y+12=13(x−32)，即x−3y−3=0，

x−3y−3=0x−y+1=0，解得：x=−3，y=−2，∴圆心C坐标为(−3,−2)，∴圆的半径r=|AC|=5，

则圆C16.解：(1)证明：由Snan−1=a1，令n=1得a1a1−1=a1，

解得a1=2或a1=0，

又因为{an}是正项数列，

所以a1=2，

所以Snan−1=2，

即Sn=2(an−1)，

当n≥2时，Sn−1=2(an−1−1)，

两式作差得an=2an−2an−1，

17.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，M为CD的中点，AM=5，所以AD=2，

在△PAD中，由余弦定理得PA=AD2+PD2−2AD⋅PDcos∠PDA=23，

因为PA2+AD2=PD2=16，所以∠PAD=90°，即PA⊥AD，

因为AB=AD，PB=PD，PA=PA，所以△PAB≌△PAD，所以PA⊥AB，

又因为AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，

又因为PA⊂平面PAM，

所以平面PAM⊥平面ABCD；

(2)由(1)得PA=23,AB=AD=2,AB,AD,AP两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0),C(2,2,0),M(1,2,0),N(23,0,433),D(0,2,0)，

于是AM=(1,2,0),CD=(−2,0,0),AN=(23,0,433)．18.解：设经过点M(1,−2)与C2相切的直线方程为y+2=k(x−1)，

联立y+2=k(x−1)y=ax2，消去y并整理得ax2−kx+k+2=0，

此时Δ=(−k)2−4a(k+2)=0，

整理得k2−4ak−8a=0，

因为直线MA，MB都与抛物线C2相切，

所以直线斜率是方程k2−4ak−8a=0的两根，

所以−8a=−1，

解得a=18；

(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为点M(1,−2)在C1上，

所以p=2，

此时C1：y2=4x，

因为A，B两点均在抛物线上，

所以y12=4x2,y22=4x2，

切线MA的方程为y+2=y1+2x1−1(x−1)，

即y=4y1−2x−2y1y