2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=2x2的焦点坐标是(

)A.(0,12) B.(12,0)2.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有(

)A.36种 B.60种 C.75种 D.85种3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)有最小值

B.函数f(x)有最大值

C.函数f(x)有且仅有三个零点

D.函数f(x)有且仅有两个极值点4.在等比数列{an}中，已知a2=2，aA.−2 B.2 C.2 D.5.已知抛物线x2=4y的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆(x−1)2+(y−4)A.5 B.4 C.3 D.26.已知函数f(x)=aex−x2(a∈R)A.(0,4e2) B.(0,2e7.已知函数f(x)=ex(sinx−cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为A.e2π(1−e2012π)e2π−1 8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为8π，则该正三棱柱的体积的最大值为(

)A.42 B.32 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下四个命题表述正确的是(

)A.直线mx+4y−12=0(m∈R)恒过定点(0,3)

B.圆C：x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线4x−3y+3=0的距离为2

C.圆C1：D.两圆x2+y210.已知曲线C：y2=|x|+1，则下列判断正确的是(

)A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.曲线C上的点与原点的最小距离为32

C.曲线C在第一、四象限的任意一点到点(−34,0)的距离与其横坐标之差为定值32

D.直线l：y=kx+b11.已知正项数列{an}满足a1=1，an+2(aA.{1an}是等差数列 B.a2025=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线y=f(x)=lnx+32x在x=2处的切线的倾斜角为α，则sinα+cosαsin13.若不等式(−1)na<2+(−1)n+1n14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，AB=3，AC=2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC．

(1)若BC=3，求ADCD；

(2)若∠BAC=π3，求线段AD16.(本小题15分)

如图，三棱锥P−ABC由三个以C为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板ABC和PAC为两个全等的直角三角板，且∠BAC=π6，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．

(1)证明：l⊥平面PBC；

(2)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为α，直线PQ与平面BEF的夹角为β，是否存在点Q，使得α+β=π217.(本小题15分)

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差为d(d≠0)，其前n项和为Sn，bn=anan+1−2Sn．

(1)求证：数列18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，F(3,0)为双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，以F为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切．

(1)求C1的方程；

(2)记C1的左、右顶点为A，B.弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线C2．

(Ⅰ)求C2的方程；

(Ⅱ)直线l1，l219.(本小题17分)

设函数f(x)=x2−ax−a2lnx.(a∈R)

(1)当a=2时，讨论函数y=f(x)的单调性；

(2)曲线y=f(x)与直线y=m交于A(x1,y1)参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.AD

11.ACD

12.3

13.−2≤a<314.615.解：(1)设∠BAD=∠CAD=θ,θ∈(0,π2)，

因为AD平分∠BAC，AB=BC=3，故∠C=∠BAC=2θ，

在△ADC中，由正弦定理，可得ADCD=sin∠ACDsin∠DAC=sin2θsinθ=2cosθ，

又由余弦定理有cos2θ=cosC=CA2+CB2−BA22CA⋅CB=3216.解：(1)证明：∵E，F分别为PA，PC的中点，∴EF/​/AC，

∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴EF/​/平面ABC，

又EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面ABC=l，

∴l//EF//AC，

∵AC⊥BC，PC⊥AC，且PC∩BC=C，

PC，BC⊂平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，∴l⊥平面PBC．

(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设BC=2，则A(23,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，F(0,0,1)，

∵AC//BQ，设Q(a,2,0)，则PQ=(a,2,−2)，FE=12CA=(3,0,0)，FB=(0,2,−1)，

设平面BEF的法向量n=(x,y,z)，

则FE⋅n=3x=0FB⋅n17.(1)证明：由题知，bn+1−bn=an+1an+2−2Sn+1−(anan+1−2Sn)，

又{an}是公差为d的等差数列，

故bn+1−bn=2d⋅an+1−2an+1=2an+1(d−1)，

(bn+2−bn+1)−(bn+118.解：(1)由题知，取C1的一条渐近线y=bax，设以F为圆心1为半径的圆与y=bax相切于T，

则Rt△OFT中，tan∠TOF=ba，且|OF|=c，

所以b=|FT|=1，a=|OT|=2，

故所求双曲线C1的方程为x22−y2=1；

(2)(Ⅰ)设P(x0,y0)，则Q(x0,−y0)，设点M(x,y)，又A(−2,0)，B(2,0)，

所以直线PA的方程为y=y0x0+2(x+2)①，

直线QB的方程为y=−y0x0−2(x−2)②，

①×②得y2x2−2=−y02x02−2，

又P(x0,y0)在双曲线x22−y2=119.解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x−4lnx，

f′(x)=2x−2−4x=2(x+1)(x−2)x，

x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)证明：f(x)=−a2lnx+x2−ax，则f′(x)=−a2x+2x−a，

由题意，知f(x)=m有两解x1，x2，不妨设