福建省南平市顺昌县建西中学2020年高三数学理联考试题含解析

/福建省南平市顺昌县建西中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面四边形ABCD中，，，且，现将沿着对角线BD翻折成，则在折起至转到平面BCD内的过程中，直线与平面BCD所成角最大时的正弦值为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：D设AC与BD交于点O，由于AB＝AD，CB＝CD，所以AC⊥BD，因此在折叠过程中，A’C在平面ACD内的射影是CO，所以是直线A’C与平面BCD所成的角，由已知可得OA＝OA’＝，OC＝2，易知在中，当时，最大，且．故选D．

2.已知复数z=1+i,则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略3.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为R，值域为；②函数的图像关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数.其中正确的命题的序号是

．参考答案：.①②③略4.在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），给出△ABC满足条件，就能得到动点A的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2=25②△ABC面积为10C2：x2+y2=4（y≠0）③△ABC中，∠A=90°C3：+=1（y≠0）则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（）A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3 C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2参考答案：A【考点】轨迹方程．【分析】①中可转化为A点到B、C两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A点到BC距离为常数，轨迹为两条直线；③中∠A=90°，可用斜率或向量处理．【解答】解：①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，∵BC=4，∴AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10，∴BC?|y|=10，即|y|=5，与C1对应；③∵∠A=90°，∴=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与C2对应．故选：A．5.已知集合，，若，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设集合，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C7.一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度．则此质点在第8秒末到达点P（4，2）的跳法共有（）A．98 B．448 C．1736 D．196参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】由题意跳动8次从原点O到P（4，2），可以分为2类，第一类，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，第二类，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，根据分类计数原理即可得到答案．【解答】解：可分二种情况来解．第一类，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，故有C84C43=280种，第二类，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，故有C85C32=168种，根据分类计数原理，共有280+168=448，故选：B．【点评】本题考查了分类计数计数原理，关键是分类，属于中档题．8.在等差数列{an}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故选：C．9.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B.C. D.参考答案：C四棱锥的表面积为10.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，内角的对边分别为，且，的外接圆半径为，若边上一点满足，且，则的面积为

.参考答案：12.某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学

生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在

高二学生中的抽样人数应该是

．参考答案：8013.圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是．参考答案：x2+（y+1）2=13考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键14.已知正实数,则的值为___________.参考答案：略15.设数列的前项和为,若,N,则数列的前项和为

.

参考答案：16.过抛物线的焦点，且被圆截得弦最长的直线的方程是_____________参考答案：x+y-1=0

略17.在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则=________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知，且．（1）求证：；（2）不等式对一切实数恒成立，求的取值范围．参考答案：见解析考点：不等式证明：（Ⅰ）所以当且及仅当时等号成立。（Ⅱ）由（Ⅰ）知对一切实数恒成立等价于 因为只需，即或19.

已知数列，满足条件：，．（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并求使得对任意N*都成立的正整数的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）∵∴，∵，…………2分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．

∴∴

…………4分（Ⅱ）∵，

…………6分∴

．

…………8分

∵，又，∴N*，即数列是递增数列．∴当时，取得最小值．

…………10分

要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5．

…………12分

略20.已知函数(,为自然对数的底数).(I)讨论函数的单调性;(II)若,函数在区间上为增函数,求整数的最大值.参考答案：解：(I)因为，当a≤0时，，所以函数在其定义域R上为增函数；当a＜0时，由得，且当时，，当，，所以函数的单调减区间为，单调增区间为；(II)当a=1时，，若g(x)在区间(0,＋∞)上为增函数，则在(0,＋∞)上恒成立，即在(0,＋∞)上恒成立，令，令，又当x∈(0,＋∞)时，所以函数在(0,＋∞)只有一个零点，设为α，即由上可知x∈(0,α)时L(x)＜0，即；当x∈(α,＋∞)时L(x)＞0，即，所以有最小值，把代入上式可得,又因为,所以,又恒成立,所以,又因为为整数,所以,所以整数的最大值为1.略21.已知数列的前项和为，且满足：，

N*，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若存在

N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.参考答案：解析：（Ⅰ）由已知可得，两式相减可得，即，又，所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……；当时，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比数列，当时，。综上，数列的通项公式为：（Ⅱ）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：当r=0时，由（Ⅰ），知，故对于任意的，且，7成等差数列；当时，，。若存在，使得成等差数列，则，，即，由（Ⅰ），知的公比，于是对于任意的，且，，从而，，即成等差数列。综上，对于任意的，且，成等差数列。22.（本小题满分12分）如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿

将折起，使（如图2所示）．

图1

图2（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．参考答案：（I）；（II）是的靠近点的一个四等分点，大小为．试题解析：解析：（Ⅰ）方法一：在图1所示的中，设，则.由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后(如图2)，，，且.所以平面.又，所以.于是，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大．方法二：同方法一，得.令，由，且，解得.当时，；当时，.所以当时，取得最大值．故当时，三棱锥的体积最大．（Ⅱ）方法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，.于是可得，，且．设，则，因为等价于，解得，．所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时，.设平面的一个法向量为，由，及，得可取．设与平面